Beetbepflanzung

[Neuling]

Ich habe ein quadratisches Innenbeet von 3,5 Metern Seitenlänge. Darauf möchte ich Rosenpflanzen setzen. Die Mittelpunkte der Pflanzlöcher sollen zueinander einen Mindestabstand von einem Meter haben. Natürlich möchte ich möglichst viele Pflanzen auf diesem Beet unterbringen.
Wie viele Rosenpflanzen muss ich denn kaufen?

[Friedel]

Ist es wichtig zu wissen, was ein "Innenbeet" ist? Wenn ja, was ist das?

Gibt es einen Mindestabstand, den die Mittelpunkte der Pflanzen vom Beetrand haben sollen? Oder darf man die Pflanzen auch direkt auf den Rand setzen?

Wenn es einfach nur um ein quadratisches Beet geht und man die Pflanzen auch genau auf den Beetrand setzen darf, komme ich auf

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20 Pflanzen.

rosenbeet.gif (3.82 KiB) 1281-mal betrachtet

[Neuling]

Innenbeet bedeutet, es sind noch Beete drumherum. Und ja, es darf auch auf den Beetrand gepflanzt werden.

[Otmar]

Hallo Neuling,
das ist eigentlich ein sehr schweres Problem. Mit deinen Zahlen geht es aber:

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Es sind 20 Rosen auf einem 3 Ecks Muster. Mach das Beet mal 4 cm kleiner und beweise, dass noch 19 Rosen Platz haben. Schon bist du jenseits von einer harten Nuss

.

[Claudi]

Hallo Neuling, ich bin zwar gärtnerisch ziemlich unbegabt, aber mir scheint,

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18 Pflanzen könnten auf dem Beet Platz finden.

[Otmar]

Hab mal eine Skizze gemacht und ausgerechnet, wie viel Toleranz der Gärtner noch hat:

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Dazu folgende in der Skizze:

rosenbeet.png (9.04 KiB) 1277-mal betrachtet

Die grünen Linien zwischen den Rosen haben die Länge 1 Meter. Nun versuche ich erstmal die Rosen am Rand, genau auf den Rand eines etwas kleineren Quadrates zu legen. Dazu habe ich x und y als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks eingetragen. Offenbar ist y = (3+x)/4. Und wegen x²+y²=1 kann man nun x leicht über eine quadratisch Gleichung ausrechnen:
x²+(x+3)²/16 = 1 oder 17x²+6x-7=0
Die positive Lösung davon ist:
x = (8*wurzel(2)-3)/17 = 0,489...
Also würde ein Quadrat mit 3+x = 3,489... Metern Kantenlänge reichen. Oder wenn der Gärtner im ursprünglichen Beet genau auf den Rand pflanzt, könnten die Rosen einen Abstand von mindestens
r=3,5/(3+x) = (42-7*wurzel(2))/32=1,0031407832309... Metern haben. D.h. der Gärtner hat über 3,14 Millimeter Toleranz für die Löcher.

[Neuling]

Hallo Otmar!

Schön, dass Du eine Rechnung gepostet hast, da kann ich inzwischen meinen (oder Deinen?) Fehler suchen.

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Habe gleich Deine Grafik benutzt. Einer von uns beiden hat "unsauber" gezeichnet, denn eigentlich müsste es deckungsgleich sein. Für die Höhe brauche ich die 3,5 Meter, aber für die Breite nur 3,464 Meter. Letzteres ergibt sich aus 4 Höhen im gleichschenkligen Dreieck mit Kantenlänge 1.
1² - (0,5)² = 0,866
0,866 * 4 = 3,464

rosenbeet Otmar.png (13.58 KiB) 1273-mal betrachtet

Gruß Neuling

[Friedel]

Vorausgesetzt, dass meine Anordnung die optimale ist, ist der Abstand der in meiner Skizze linken Pfanzenreihe zur rechten Pflanzenreihe

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7*0,5m = 3,5m. Seitlich bleibt also kein Platz mehr. Die äußeren Pflanzenreihen stehen genau auf dem Rand des Beets.
Der Abstand von der oberen zur unteren Pflanzenreihe ist 4* √(1-0,5²) = 4* √(3/4) = 2*√3 ≈ 3,464m. Es bleiben also noch etwa 3,6cm Platz.

[Otmar]

Hab noch eine andere Grafik der optimalen Konfiguration gezeichnet.

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rosen2.png (19.83 KiB) 1274-mal betrachtet

Man kann sich das so vorstellen: Der Gärtner beginnt mit einer Planung, bei der alle benachbarten Rosen einen Abstand von 1m haben. Für die dichteste Packung ergibt sich dann, dass die Vebindungslinien der benachbarten Rosen lauter gleichseitige Dreiecke mit 1m Kantenlänge bilden. Diese Anordnung würde für das Rätsel schon reichen, da wir 20 Rosen so auswählen können, dass sie in ein rechteckiges Beet mit 3,5m Länge (Höhe in der Grafik) und 4*Wurzel(1²-0,5²) = 3,464m Breite passen. Es gibt also noch Optimierungspotential. Wenn der Gärtner bei dieser Planung in der Grafik von oben auf die zweite und vierte Reihe drückt, dann wird das Rechteck niedriger und geht etwas in die Breite. Das macht er so lange, bis das von mir angegeben Quadrat entstanden ist.

Dass diese Konfiguration optimal ist, ist bewiesen. Ich hatte schonmal bei einer anderen Aufgabe einen Link zu einem Artikel eingestellt, der sich mit diesem Problem beschäftigt. Hier noch mal ein Link zum Link:
Unterm dritten Spoiler des Beitrags vom 20.12.2012, 7:59

Das Packungsproblem wurde in dem Artikel freundlicher Weise auf Neulings Rosenpflanzproblem zurückgeführt, so dass die berechneten Durchmesser (dort m genannt), gleich die Rosenabstände in einem Einheitsquadrat sind. Die Quadrate in den Grafiken haben die Kantenlänge 1+m und sich berührende Kreise sind mit einem Querstrich markiert. Wenn der Querstrich fehlt, gibt es einen kleinen Abstand, den ich in meiner Grafik stark übertrieben dargestellt habe.

Meine Toleranzaussage von 3,14mm muss ich noch etwas päzisieren, denn sie ist nur für die Rosen innerhalb des Beetes gültig. Für auf dem Rand geplante Rosen hat der Gärtner weniger Spielraum.

[Neuling]

Ein an alle, die mir als Ratgeber zur Seite standen und Glückwunsch an diejenigen, die mir den Kauf von

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20

Rosenpflanzen empfohlen haben.


@ Claudi

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Anhand der Grafiken von Friedel und Otmar wirst Du sicher schnell herausfinden, was an Deiner Anordnung ungünstiger war, sodass Du nur 18 Pflanzen auf's Beet bekommen hast.

@ Friedel

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Alles richtig, aber warum diese "übergroße" Grafik. Ich selbst versuche immer, möglichst ohne den Scroll-Balken auszukommen. Ist doch auch bei dieser Größe alles gut zu erkennen.

rosenbeet Friedel verkleinert.gif (19.36 KiB) 1271-mal betrachtet

@ Otmar

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Hatte meine Zeilen schon vor Deinem letzten Kommentar fertig. Musste sie daher leicht korrigieren.

Auch Dein Ergebnis ist richtig, aber - Deine erste "Berechnung" verstehe ich mal wieder nicht.
Interessanterweise entspricht aber dieses Ergebnis genau der optimalen (minimalen) Seitenlänge des Quadrates, für das eine 20 - Punkteverteilung möglich ist. Aber kann man das denn hieraus herleiten?
Ich weiß, dass man auf einem Quadrat mit der Seitenlänge von 3,489... Metern, genau 20 Punkte unterbringen kann, die zueinander einen Mindestabstand von einem Meter haben. Wie diese Lösung allerdings aussieht, weiß ich nicht.
Und ich weiß auch, dass auf meinem "Vorgabequadrat" mit der Seitenlänge von 3,5 Metern, keine 21 Punkte möglich sind, denn dafür bräuchte man ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 3,7 Metern.
Und "last not least" weiß ich auch, dass für 19 Punkte mindestens eine Quadratseitenlänge von 3,448 Metern erforderlich ist. Du hättest also oben ruhig noch einen cm mehr abziehen können.

Aber, all das hier in den letzten Zeilen erwähnte, ist für mich schon jenseits von gut und böse. Ich weiß das nur aus der Literatur.

Ja, Deine zweite Erklärung verstehe ich besser.

Und auch an Dich die Frage, warum diese "riesige" Grafik? Ich würde immer ganz gern ohne zu scrollen das komplette Bild sehen.

rosen2 Otmar verkleinert.png (10.47 KiB) 1271-mal betrachtet

@ an mich selbst

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Man hätte diese Aufgabe wesentlich eleganter formulieren können. Das Beet ein wenig größer wählen und für die Pflanzlöcher einen Mindestabstand zum Rand festlegen. Dann wäre es auch optisch ansprechender und anfängliche Zweifel, ob ein Punkt auch auf dem Rand liegen darf, gar nicht erst entstanden.
Nehme diese Kritik an.

LG Neuling