Im Land der (un)begrenzten Möglichkeiten

[Musagetes]

Nachdem im Augenblick eine Welle von Geometrierätsel die Runde machte,
möchte ich euch in der etwas besinnlicheren Zeit zum Jahresabschluss in den
Wilden Westen verführen.


Im Land der (un)begrenzten Möglichkeiten

Ein Rancher will sein 25km^2 großes Weideland mit einer umzäunten, quadratischen Grundfläche,
zu gleichgroßen Teilen, so unter seinen drei Söhnen aufteilen, dass zur Aufteilung aus Kostengründen
die geringste Zaunlänge benötigt wird.

Welche Länge muss die kleinstmögliche Zaunlänge haben?

Begründe deine Lösung so einfach und ausführlich wie nötig!
Ein Beweis wäre die Krönung.

Die Aufgabe ist ohne eine Extremwertberechnung durchzuführen lösbar.

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes,
hab das vor einem Jahr mal gerechnet und im Moment nicht so viel Zeit, alles detailliert aufzuschreiben. Aber die Lösung ist:

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(10 Pi + 40 + 15 Wurzel(3)) / 12 km also ca. 8116,4 Meter

[Friedel]

Ich kannte die Aufgabe noch nicht und habe im Moment eigentlich auch was anderes vor. Wenn meine Überlegungen beim Essen richtig waren, sollte der Zaun

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65/9 km ≈ 7,222 km lang sein.

[Musagetes]

Hi Friedel

Hi Otmar,

es tut mir leid, dass ich erst heute auf die eure Antworten zurückkommen kann.

Aber das scheint ja nicht nur mir in dieser „stillen besinnlichen Zeit“ zugehen.

@Otmar:
…… alles detailliert aufzuschreiben. Aber die Lösung ist:…..

Bis zur Spoilersperre schaffst du es wohl nicht mehr, aber du hast ja noch bis zum nächsten Jahr Zeit.

Ich bin bei diesem Rätsel überrascht, dass nach so kurzer Zeit auch noch zwei Lösungsantworten eingingen.

@Otmar:
….. hab das vor einem Jahr mal gerechnet ……

Bei welcher Gelegenheit rechnet man denn einfach mal so etwas?

@Friedel:

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Dein Ergebnis mit 7,222 km liegt in etwa 1000m zu kurz oder aber du hättest hierfür einen Beweis!

Freundliche Grüße
Musagetes

[Friedel]

Mist. Da hab ich mich verrechnet.

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√36 ≠ 9
Dann taugt meine Teilungsidee leider nicht viel. Dann bin ich auf die Lösung gespannt. Ich glaube zwar zu wissen, wie die Weide ungefähr geteilt werden muss und könnte auch die nötige Zaunlänge berechnen, aber eben nicht ohne eine Extremwertberechnung. Ohne diese kann ich nur sagen, dass die nötige Zaunlänge deutlich unter 8⅓ km liegen muss.

[Otmar]

Bei welcher Gelegenheit rechnet man denn einfach mal so etwas?

Muss ich leider für mich behalten, weil ich sonst indirekt gegen die Regel

b) Aus dem gleichen Grund möchte ich euch bitten, keine Links zu Lösungsseiten zu posten.

verstoßen würde und eine Lösungsseite zu diesem Rätsel preisgeben würde.

[Musagetes]

Hi,

schade, dass keiner mehr versucht hat eine Lösung zu finden.

@Otmar:
Du willst sagen, dass du vor einem Jahr dieses Problem auf einer anderen Rätselseite gefunden,
und gerechnet hast.
Dann würde aber doch nichts dagegen sprechen, den Lösungsweg auf dieses Rätsel zu modifizieren und zu posten.
Du musst ja auch keinen Hinweis oder Link zu der Rätselseite geben.

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes,
mal sehen was sich machen lässt, ist ja kein Dreizeiler Allerdings bin ich sehr gespannt auf deine Musterlösung, denn ich bin mir gar nicht sicher ob alle meine Argumente hieb- und stichfest sind. Plausibel sind sie aber und es kommt darin weder Variationsrechnung noch Kurvendiskussion etc. vor.

Kleiner Vorgeschmack:

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Zuerst wird gezeigt, dass der Zaun aus 3 Teilen besteht, die geradlinig oder auf Kreisbögen verlegt werden müssen, und ohne Ecken vom Rand zum Treffpunkt aller drei Zäune reichen.

Dann wird gezeigt, dass die Zäune oder deren Tangenten im Randpunkt senkrecht auf den Kanten des Quadrats stehen müssen.

Dann wird motiviert, dass alles spiegelsymmetrisch ist. Das ist plausibel aber m.E. schwer sauber zu beweisen. Ich werde nur zeigen, dass eine spiegelsymmetrische Lösung ein lokales Minimum für die Zaunlänge ist.

Dann wird gezeigt, dass am mittleren Treffpunkt alle Zäune zueinander einen Winkel von 120° bilden. Das ist m.E. der schönste Teil der Lösung.

Der Rest ist noch etwas Geometrie und Rechnen, um mit den obigen Erkenntnissen die geeignete Form auszuwählen. Von zwei verbleibenden Formen ist dann noch die mit dem kürzeren Zaun auszuwählen.

Vielleicht kommen mit diesem Programm aber auch noch andere Lösungen?

[Otmar]

Also dann, los geht's.

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Ich fang mal mit dem Versuch an, zu motivieren, dass die Lösung symmetrisch ist. Dazu folgendes Bild:

g1.png (5.61 KiB) 1500-mal betrachtet

Wenn das Grundstück ein gleichseitiges Dreieck gewesen wäre, dann wäre die Lage des Zaunes klar, so wie oben links. Tun wir mal so, es wäre so gewesen und wir schneiden danach etwas vom Dreieck ab, bis das rote Quadrat im Bild rechts oben verbleibt. In diesem Bild ist gezeigt, wie das Quadrat relativ zum ursprünglichen Zaun liegt. Um besser zu erkennen, dass das Quadrat höher ist, als der Zaun, habe ich das graue Dreieck gezeichnet, das die Eckpunkte des Zaunes verbindet.

Wenn wir uns an den oberen Ecken des Quadrates jeweils zwei Schenkel vorstellen, so weit geöffnet, dass sie aus den Dreieckskanten liegen, und diese auf beiden Seiten gleichzeitig bis auf die Quadratkanten einklappen, dann geht das Grundstück von einem Dreieck in ein Quadrat über. Das machen wir auf beiden Seiten spiegelsymmetrisch. Dann muss sich auch der anfangs optimale Zaun spiegelsymmetrisch verändern, wenn er für jede Phase der Umwandlung drei gleich große Flächen teilen soll und dabei minimal lang sein soll.

Die unteren 4 Bilder sollen Phasen dieses Prozess zeigen.

Der neue Zaun im ganz rechten Bild ist sicher ein lokales Optimum, ob es auch ein globales ist, kann man nur hoffen! Jedenfalls reicht meine Erklärung dafür nicht.

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Deshalb hab ich ein Gegenbeispiel gemacht, bei dem so ein Prozess nicht zum globalen Optimum führt:

g2.png (14.48 KiB) 1500-mal betrachtet

Der grüne Kreis war am Anfang optimal geteilt. Danach wurde er wie oben fast bis auf ein Quadrat beschnitten. Der dabei entstandene Zaun hat ein lokales Minimum seiner Länge erreicht. D.h. jede kleine Änderung macht ihn länger. Aber eine große sprunghafte Änderung zu der oben gegebenen Grafik würde eine noch bessere Lösung liefern.

Auch kann man nicht generell sagen, dass optimale Lösungen immer symmetrisch sein müssen.

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Ein Beispiel gibt es aus der Fragestellung gleiche Kreise in ein Quadrat mit minimalem Umfang zu packen. Bei 10 Kreisen hat die Lösung, die ich ins Bild darunter gezeichnet habe, keinerlei Symmetrie.

g3.png (6.47 KiB) 1500-mal betrachtet

Siehe Dichteste Packungen von gleichen Kreisen in einem Quadrat

[Otmar]

Fortsetzung:

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Wir gehen jetzt aber mal davon aus, dass die Lösung symmetrisch ist und erweitern diese Annahme noch damit, dass der Zaun an der unteren, und die beiden Seitenkanten anstößt.
Nun zeigen wir, dass die oberen Zaunteile auf Kreisbögen oder auf Geraden liegen. Dazu folgendes Bild:

g4.png (11.22 KiB) 1500-mal betrachtet

Links oben ist eine übertrieben falsche Annahme für die optimale Lösung. Rechts daneben ist diese falsche Lösung zweimal gezeichnet und zwischen den beiden Treffpunkten der Zaunteile eine orange Stecke eingetragen. Mal angenommen der Treffpunkt der Zaunteile liegt schon richtig, dann müssen wir über oder unter der Sehne eine Kurve zeichnen, die eine vorgegebene Fläche begrenzt und dabei minimal lang ist. Frau Dido hätte ihre Freude, die Frage nach der Kurve zu beantworten und wir machen es ähnlich: Zur Verdeutlichung habe ich eine graue Figur gezeichnet mit einem etwas ausgefranstem Rand der aus 7 gleichen Teilen besteht. Nun ist der Kreis jene Figur, die bei maximaler Fläche den kleinsten Umfang hat. Der konzentrisch eingetragene gelbe Kreise habe die gleiche Fläche wie die graue Figur. Wegen der Symmetrie ist deshalb der gelbe Kreisbogen über der orangen Sehne die gesuchte Begrenzung. Wenn die zwischen Sehne und Bogen zu begrenzende Fläche 0 ist, dann ist natürlich eine Gerade die Lösung. Das gilt jetzt nicht nur für Sehnen und Bögen eines Regelmäßigen n-Ecks, sondern für alle Kreissektoren. D.h. die gesuchten Kurven sind Geraden oder Kreislinien. Die unteren Bilder zeigen noch, dass die oberen Zäune senkrecht auf den Quadratkanten stehen.

Es gibt noch eine für die Lösung wichtige Eigenschaft.

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Die Teilzäune stoßen paarweise in einem Winkel von 120° aufeinander. Um das zu sehen gibt es folgendes Bild:

g5.png (12.76 KiB) 1500-mal betrachtet

Um den Punkt, an dem die Zäune zusammenstoßen, habe ich ein gleichseitiges Dreieck gelegt. Es soll so klein sein, das wir die Krümmung der Kreislinien vernachlässigen können. Die lila Linien im oberen Dreieck haben zueinander keinen 120° Winkel und sind innerhalb des Dreiecks nicht optimal. Wenn wir den Zaun nur im Dreieck so verändern, dass die Linien 120° einnehmen, dann ist der Zaun kürzer. Sagen wir um die Länge d>0. Leider verändern sich auch die Flächen der Söhne dabei. Hellgrün wird in dem Beispiel größer und wir schaffen wieder Gerechtigkeit, indem wir den Flächengewinn F der hellgrünen Fläche mit einem schmalen Streifen oben abschneiden und unten für die anderen beiden Brüder anfügen. Ist a = 5km eine Quadratkantenlänge, dann wird der untere Zaun um s=F/a länger. Falls wir einen Streifen von unten nach oben verschieben müssen, wird der Zaun noch kürzer. Falls s < d ist, auch dann ist der Zaun kürzer geworden, falls s >= d ist, dann wurde der Zaun länger oder ist gleich lang geblieben. Im Fall s >= d fangen wir noch mal von vorne an, machen aber das gleichseitige Dreieck um einen Faktor t > s/d keiner. Dann erhalten wir d’ = d/t und F’ = F/t² und damit

s’=F’/a = (F/t²)a = (F/a)/t² = s/t² = (s/t)/t < (s/(s/d))/t = d/t = d’

also bleibt s’ < d’ übrig und wir konnten auch in diesem Fall eine um d’-s’ kleinere Zaunlänge finden. Deshalb muss der optimale Zaun, zu dem es keine kleinere Zaunlänge gibt, so beschaffen sein, dass sich von vornherein alle drei Zaunteile paarweise in einem Winkel von 120 treffen.

Der Rest der Aufgabe ist einfach.

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Letztes Bild:

g6.png (9.8 KiB) 1500-mal betrachtet

Der 30° Winkel kommt aus der 120° Bedingung von oben. RT = a/2 ist die halbe Quadratkante der Länge des Quadrates mit der Grundfläche a². Deshalb hat der Radius r des Bogens b den Wert r = 2 (a/2) = a. Im Dreiecks MTR gilt c² = r²-(a/2)² = a²-(a/2)² = ¾ a². Der Sektor MTS hat die Fläche As = (30°/360°) Pi r² = Pi a²/12 und damit das halbe Kreissegment SRT die Fläche Ag = As-c a / 4. Das Geländestück AFTS hat bei gerechter Teilung des Quadrates die Fläche A = a²/3 = Ag + h a/2. Also ist h = 2a/3 – 2Ag/a. Der Bogen b hat die Länge b = (30°/360°) 2Pi r = Pi a/6.

Damit hat der Zaun die Länge z = 2b + h = Pi a / 3 + 2a/3 – 2(As-c a / 4) / a
= Pi a / 3 + 2a/3 – Pi a / 6 + c/2 = a (2/3+Pi/6+Wurzel(3/4)/2) = 5 (2/3+Pi/6+Wurzel(3)/4)km

Das ist das Ergebnis, was schon ganz oben in meiner allerersten Antwort steht.