Die Form einer maximalen Flächenausdehnung in Abhängigkeit des Umfanges ist immer eine Kreisfläche, dies gilt hier für Johanns und Friedrichs Grundstück.
Demzufolge müssen zuerst die beiden Zaunlängen bestimmt werden.
Johanns Rechteck:
Aj = 1000m^2
Uj = 2a + 2b
Nach der Flächenteilung des Rechteckes ergibt sich folg. Beziehung
a/b = b/(a/2) => a^2 =2b^2 =>
a=sqrt(2)*b =>
a^2/sqrt(2) =1000m^2 => a=sqrt(sqrt(2) *1000m^2) =>
a = 37,606m a=sqrt(2)*b => b = a/sqrt(2) b = 37,606/sqrt(2) =>
b = 26,5948mUj = 2a + 2b Uj = 2*37,606m + 2*26,5948m =>
Uj = 128,395mSomit wäre Johanns Zaun Uj = 128,395m lang.
Friedrichs Rechteck:
Af = 700m^2
Uf = 2c + 2d
Nun kann man analog von Johann verfahren.
a/b = b/(a/2) => a^2=2b^2 =>
a=sqrt(2)*b =>
a^2/sqrt(2) =700m^2 => a=sqrt(sqrt(2) *700m^2) =>
a = 31,4635m a=sqrt(2)*b => b = a/sqrt(2) b = 31,4635/sqrt(2) =>
b = 22,248mUf = 2a + 2b Uf = 2*31,4635m + 2*22,248m =>
Uf = 107,423mDemnach hat Johanns Kreisfläche einen Umfang von
UA=128,395m mit einem Radius r1=U
A/2Pi von
rA=20,4347m und einer Kreisfläche von
AA = 1311,8567m^2.
- Zwei sich schneidende Kreise.PNG (69.55 KiB) 1454-mal betrachtet
Nun kann man sich das weitere Vorgehen so vorstellen, dass Friedrich mit seinem Zaun mit der Länge U
B1 ebenfalls eine Kreisfläche bildet
und diese kleinere Kreisfläche in Johanns Kreisfläche unter einen Öffnungswinkel Beta=ß (S
1M
aS
2) so hineinschiebt,
dass Friedrichs Fläche A
B1 erst einmal kontinuierlich bis zu seinem Grenzwert anwächst.
Friedrichs Fläche erreicht dann den Grenzwert ihres Maximums an Ausdehnung, wenn der Winkel (M
A S
1 M
B) bzw. (M
A S
2 M
B) von 90° erreicht ist.
Wie zu erkennen ist, ergibt sich die optimal Fläche A
B1 für Friedrich, wenn man von der Kreisfläche A
B die beiden Schnittflächen in Form der beiden Kreissegmente A
SA und A
SB in Abzug bringt.
Somit ist:
A
B1 = A
B - A
SA - A
SBAB = r^2
BPi
A
SA= A
ASektor – A
ADreieckA
SB= A
BSektor – A
BDreieckA
ASektor= r^2
APi*W
a/360° (W
a=Winkel Alpha)
A
BSektor= r^2
BPi*W
ß/360° (W
ß=Winkel Beta)
A
ASektor + A
BSektor = r^2
APi*W
a/360° + r^2
BPi*W
ß/360°
A
ADreieck=S*h
A/2 (S=Sehne; h
A=Höhe Dreieck A)
A
BDreieck=S*h
B/2 (S=Sehne; h
B=Höhe Dreieck B)
S =2r
A*sin (W
a/2)
S =2r
B*sin (W
ß/2)
h
A= r
A*cos (W
a/2)
h
B= r
B*cos (W
ß/2)
Somit kann dies in A
ADreieck =A
AD und A
BDreieck= A
BD eingesetzt werden.
A
AD=2r
A*sin (W
a/2) * r
A * cos (W
a/2)/2 => A
AD = r^2
A* sin (W
a/2) * cos (W
a/2)
A
BD=2r
B*sin (W
ß/2) * r
B * cos (W
ß/2)/2 => A
BD = r^2
B* sin (W
ß/2) * cos (W
ß/2)
sin (Wa/2) * cos (Wa/2) = sin(Wa)/2) =>AAD = r^2A* sin(Wa)/2
ABD = r^2B* sin(Wß)/2
AAD + ABD = [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2 A
SA + A
SB = A
ASektor + A
BSektor – (A
ADreieck + A
BDreieck) =>
ASA + ASB = r^2APi*Wa/360° + r^2BPi*Wß/360° - [r^2A* sin(Wa) + r^2B * sin(Wß)]/2 A
B1 = A
B – (A
SA + A
SB)
AB1 = r^2B Pi - r^2APi*Wa/360° - r^2BPi*Wß/360° + [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2Zum anderen berechnet sich Friedrichs gegebene Kreisbogenlänge wie folgt.Ub1 = [(2rB Pi(360°-ß)]360° => rB = 360°* Ub1/[2 Pi(360°-ß)] eingesetzt.
AB1 ={360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}2 Pi - r^2APi*Wa/360° - {360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 Pi*Wß/360° + r^2A* sin(Wa)/2 +
{360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 * sin(Wß)/2Aus obiger Sehnenberechnung S folgtS =2r
A*sin (W
a/2) S =2r
B*sin (W
ß/2) => 2r
A*sin (W
a/2) = 2r
B*sin (W
ß/2) =>
sin(Wa/2) = rB/rA*sin (Wß/2) => sin(Wa/2) = 360°*Ub1*sin (Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]
2arcsin(Wa/2) = Wa => Wa = 2arcsin{360° * Ub1*sin(Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]}In die Gleichung eingesetzt
AB1 ={360° Ub1/[2Pi(360°-ß)]}^2 Pi - r^2APi*2arcsin{360°*Ub1*sin(Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]}/360° - {360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 Pi*Wß/360°
+ r^2A* sin(2arcsin{360° * Ub1*sin(Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]})/2+{360° Ub1 /[2 Pi(360°-ß)]}^2*sin(Wß)/2Etwas vereinfacht und umgeformtAB1 = {Ub1*360°/[2Pi(360°-ß)]}^2 [Pi(1-ß/360°)+sinß/2] - r^2A/2{2arcsin[Ub1*360°*sin(ß/2)/(2rAPi(360°-ß))] – sin(2arcsin[Ub1*360°*sin(ß/2)/(2rAPi(360°-ß))])} AB1 = [(107.423*360)/(2Pi(360-ß))]^2[Pi(1-ß/360)+sinß°/2]-20.435^2/2{2sin^-1[107.423*360sin(ß°/2)/(20.435 *Pi *2(360-ß))]-sin(2sin^-1[107.423*360sin(ß°/2)/(20.435*Pi*2(360-ß))])} AB1=f(β)=[(UB1*360°)/(2π*(360°-β) )]^2*[π(1-β/(360°))+sinβ/2]-〖rA^2/2 {2〖sin〗^(-1) ((UB1*360°*sin(β/2))/(2rA π*(360°-β) ))-sin{ 2〖sin〗^(-1) [(UB1*360°*sin(β/2))/(2rA π*(360°-β) )]}} A
B1 soll maximal werden => Berechnung der Extremwerte aus dem Öffnungswinkel ß des Terms
Der Sachverhalt kann aber noch etwas vereinfacht werden.
Da Friedrichs Fläche seinen Grenzwert des Maximums an Ausdehnung bei einem Winkel (M
A S
1 M
B) bzw. (M
A S
2 M
B) von 90° erreicht.
Folgt daraus, dass die Winkel (M
A S
1 M
B) + (M
A S
2 M
B) = 180° entsprechen und somit sind die W
a + W
ß = 180° => W
ß = ß = 180° - W
aWenn aber die beiden Radien r
A und r
B einen Rechtenwinkel bilden, dann ergibt sich hieraus ein Rechteck, was dem Flächeninhalt der beiden Dreiecke der beiden Kreissektoren entspricht.
AAD + ABD = [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2 =>
rA* rB = [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2 Das nun in die obigen Ausgangsgleichung eingesetzt
AB1={360°Ub1/[2Pi(360°-ß)]}^2 Pi -r^2APi(180°-ß)/360°-{360°Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 Pi*ß/360° + rA*360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)] =>
AB1= {Ub1*360°/[2Pi(360°-ß)]}^2*Pi(1 - ß/360°) + rA*Ub1*360°/[2 Pi(360°-ß)] - r^2APi(180°-ß)/360°AB1= {107.423*360/[2Pi*(360-ß)]}^2 *Pi*(1 - ß/360) + 20.435 * 360 * 107.423/[2 Pi*(360-ß)] - 20.435^2 *Pi*(180-ß)/360AB1=f(β)=[(UB1*360°)/(2π*(360°-β) )]^2*π (1-β/360)+rA 〖[(UB1*360°)/(2π*(360°-β) )]- 〗^(〖rA^2 )*π*((180°-β))/(360°) A
B1 soll maximal werden => Berechnung der Extremwerte aus dem Öffnungswinkel ß des Terms
Nach einer Maximum Extremwertberechnung für AB1 stellt sich ein Öffnungswinkel ß = 84.8325° ein.
AB1 = 1311,66m2
Demnach haben in diesem Jahr Johann als auch Friedrich 1311 Leseratten gezüchtet.