prim-a Schnapszahl²

[Otmar]

Gesucht ist das Quadrat a² der kleinsten natürlichen Zahl a, für die Folgendes gilt:

a hat mehr als 2 Ziffern.
a ist eine Schnapszahl.
a ist eine Primzahl.

Um zu prüfen, ob ein Kandidat für a wirklich eine Primzahl ist, kann z.B. Primzahltest verwendet werden. Das Quadrat von a sollte aber per Hand ausgerechnet werden, genau wie der Rest des Rätsels ohne weitere Computerhilfe lösbar ist.

[Neuling]

Danke!

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a kann nur aus einer ungeraden Anzahl von Einsen bestehen und die Quersumme darf nicht durch 3 teilbar sein. Mit dem Primzahlprüfer habe ich dann als kleinstes a eine Zahl mit 19 Einsen gefunden.
Und damit - per Hand mit Bleistift und Papier errechnet:

a² = 1234567901234567900987654320987654321

[kurth]

Das war leicht:
Es ist natürlich, glaube ich:
(Wenn ich mich nicht verrechnet, oder verschrieben habe)

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1 234 567 901 234 567 900 987 654 320 987 654 321

1111111111111111111²

[Otmar]

Herzlichen Glückwunsch an Neuling und Kurth!
Ihr habt das beide "prima" gelöst.

Neuling hat sogar zwei Details ihrer Lösung mitgeteilt:

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a kann nur aus einer ungeraden Anzahl von Einsen bestehen und die Quersumme darf nicht durch 3 teilbar sein.

Da findet man die Teilbarkeitsregel für Division durch 3. Aber warum muss es eine ungerade Anzahl sein? Da könnte die Teilbarkeitsregel für 11 dahinter stecken

oder ein anderer Gedanke, der mich bewog ein Remake der Rätsels zu machen.

Meine Lösung:

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a kann nur aus Einsen bestehen, da man durch jede andere Ziffer größer als 1 teilen könnte und a dann keine Primzahl wäre.
a hat eine Quersumme, die nicht durch 3 teilbar ist, da a sonst durch 3 teilbar wäre und die alternierende Quersumme von a ist nicht durch 11 teilbar, also auch nicht 0. Z.B. 111111 hätte die alternierende Quersumme 1-1+1-1+1-1 = 0 und ist deshalb durch 11 teilbar.

Dann bleiben die Zahlen mit 5,7,11,13,17,19 Einsen zu testen, denn bei 19 Einsen findet man die erste Primzahl.

Das Produkt rechnet man mit schriftlicher Multiplikation, wobei sich anbietet bei der Addition der Spalten erstmal keine Überträge mitzurechnen. Dann bleibt unten die Zahlenreihe:
1 2 3 ... 18 19 18 ... 3 2 1
stehen. In einem zweiten Schritt habe ich dann die Überträge addiert und das beteits genannte Ergebnis erhalten.

a² = 1 Sextillion 234 Quintilliarden 567 Quintillionen 901 Quadrilliarden 234 Quadrillionen 567 Trilliarden 900 Trillionen 987 Billiarden 654 Billionen 320 Milliarden 987 Millionen 654 Tausend 321

a = 1 Trillionen 111 Billiarden 111 Billionen 111 Milliarden 111 Millionen 111 Tausend 111

edit: Zitat ergänzt.

[Friedel]

Hallo.

Mir hat die Aufgabe sehr gut gefallen. Ich hatte in der letzten Woche viel Zeit, wo ich irgendwo warten musste. Dabei habe ich ausgiebig über diese Aufgabe nachgedacht. Wahrscheinlich lag es auch daran, dass mir dadurch der Primzahlenrechner nicht zur Verfügung stand, dass ich die Möglichkeiten noch viel weiter eingrenzt habe, bevor ch angefangen habe, Zahlen durch zu probieren. Tatsächlich bin ich auch nicht auf die Lösung gekommen, hatte aber schon die Zahl bis einschließlich 17 Stellen im Kopf durchprobiert.

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Dass die Zahl aus lauter Einsen bestehen muss, war mich auch schnell klar. Jede Schnapszahl, die aus anderen Ziffern besteht, ist zwangsläufig durch diese andere Ziffer teilbar.

Auch mein nächster Gedanke war, dass die Zahl der Ziffern nicht gerade sein kann und nicht durch 3 teilbar sein kann. Aber mir ist beim Prüfen der Primzahlenkandidaten aufgefallen, dass die Zahl der Stellen der Zahl, ich nennen sie x, auch eine Primzahl sein muss. Wenn x durch 2 teilbar ist, ist a durch 11 teilbar. Wenn x durch 3 teilbar ist, ist a durch 111 teilbar. Wenn x durch 5 teilbar ist, ist a durch 11111 teilbar. Usw. Die folgenden Beispiele zeigen, warum das so ist:
11 * 101 = 1.111;
111 * 1001001 = 111.111.111;
1111 * 10001 = 11.111.111;

Damit bleiben als Kandidaten für a nur noch

• 11111
• 1111111
• 11111111111
• 1111111111111
• 11111111111111111

usw.

Bis hierhin habe ich das im Kopf durchgerechnet. Aber es ist recht aufwendig, im Kopf zu prüfen ob eine Zahl eine Primzahl ist. Deshalb habe ich hier aufgegeben. Die nächste Zahl, nämlich 1.111.111.111.111.111.111 mit 19 Einsen wäre eine Primzahl gewesen. Inzwischen weiß ich, dass auch die übernächste Zahl, mit 23 Stellen, eine Primzahl gewesen wäre.

[Otmar]

Hallo Friedel,

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du bist immer wieder für eine Überraschung gut. Sicher hast du die übriggebliebenen Schnapszahlen nicht im Kopf faktorisiert. Denn spätestens bei 11111111111111111 = 2071723*5363222357 hätte man doch sehr viel probieren müssen. Oder doch? Es gibt ja einige Primfaktortestverfahren, die wesentlich schneller als das Faktorisieren sind. Kannst du eins davon im Kopf machen?

Ich hatte lange gezögert, ein Rätsel zu stellen, bei dem Computerhilfe nötig ist. Aber jetzt gibt es ja noch ein Remake, das kann man sogar ohne Taschenrechner mit "angemessenem" Aufwand lösen. Ich hab dazu sogar schon eine Lösung fertig, die jetzt stellenweise so aussieht, als ob ich bei dir abgeschreiben hätte

Freut mich, dass dir das Rätsel gefallen hat.

[Friedel]

Ertappt.

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Ich habe die Primzahlentests tatsächlich alle im Kopf gemacht. Allerdings habe ich vorzeitig aufgegeben und war überzeugt (aber nicht sicher) dass 11111111111111111 (17 Einsen) eine Primzahl ist. Dass das nicht so ist und dass die nächste Zahl tatsächlich eine Primzahl ist, habe ich dann zuhause am PC festgestellt. Bei einigen Zahlen hatte ich Kuli und einen Zettel als Hilfe benutzt.
Bei 11111111111 war ich schonmal überzeugt, eine Primzahl gefunden zu haben. Dass ich den Fehler ohne PC bemerkt habe, habe ich einer Firma aus Bruchsal zu verdanken, die mich mehr als 1,5 Stunden auf ein Vorstellungsgespräch warten lassen hat.

Primzahlentests, die man im Kopf machen kann, kenne ich leider nicht. Ich habe immer durchprobiert, ob die Zahlen durch die kleineren Primzahlen teilbar sind. Die Methode ist bei fast allen Kandidaten sehr mühsam. Meine Wartezeiten, die ich zum Rechnen benutzt habe, waren nicht zusammenhängend, aber meist mehrere Stunden pro Tag. An 1111111 habe ich fast 4 Tage gerechnet. (Der kleinste Primfaktor war sogar so hoch, dass ich die Primzahlen bis dahin nicht auswendig wusste.) Die anderen Zahlen waren nicht ganz so schwer.

P.S. Als Jugendlicher habe ich ein paar mal bei Wettbewerben mitgemacht, bei denen es u.a. hauptsächlich um Kopfrechnen ging. Als Training habe ich immer z.B. im Schulbus versucht, alle Zahlen, die ich auf Nummernschildern sehe, in Primfaktoren zu zerlegen. Aber das ist ein paar Jahrzehnte her und ich bin lange nicht mehr so fit, wie ich mal war. Und auch damals hat es nie für einen Sieg bei den Wettbewerb gereicht. "Nur" ein paar zweite Plätze und Erwähnungen in der Zeitung habe ich erreicht . Und einen Kopfrechenmeister, der vor etwas mehr als 30 Jahren mal in Speyer in der Stadthalle eine Vorstellung gegeben hat, habe ich in der Vorstellung "besiegt". Wir mussten Kopfrechenaufgaben, die vom Publikum gestellt wurden, lösen. Ich war bei 6 von 11 Aufgaben schneller als er. (Ich bin allerdings 4 mal angetreten, um ein mal zu gewinnen.)