Da a eine mehr als 1000 stellige Schnapszahl ist, besteht sie aus lauter gleichen Ziffern größer als 0. Da eine Ziffer größer als 1 ein echter Teiler dieser Zahl wäre, kommt als Ziffer nur 1 in Frage. Weiterhin stellt man fest, dass auch x eine Primzahl sein muss, denn wäre y ein echter Teiler von x, dann wäre a durch die y-stellige Schnapszahl aus lauter Einsen teilbar: Beispiel x = 7*5 = 35 --->
a = 11111111111111111111111111111111111 = 1000010000100001000010000100001 * 11111 = 10000001000000100000010000001 * 1111111
Da x also eine Primzahl ist, muss die Einerziffer von x ungerade sein und da die Quersumme von x Fünf ist, ist keine Ziffer von x größer als 4 und die letzte Ziffer ist entweder 1 oder 3. Für x bleiben dann noch 13 Zahlen übrig. Davon kann man den Rest nach Division durch 13 einfach bestimmen, wenn man erstmal die Reste folgender Zahlen nacheinander bestimmt. (Ab hier verwende ich den Ausdruck a % b für die Bezeichnung des Restes den a bei Division durch b übrig lässt. Die Spalte z % 7 brauchen wir später.)
z z % 13 z % 7
10 10 3
20 7 6
30 4 2
100 9 2
200 5 4
300 1 6
1000 12 6
2000 11 5
3000 10 4
4000 9
Z.B. im Kopf 1000 % 13 = (3 * (300 % 13) + (100 % 13)) % 13 = (3 * 1 + 9) % 13 = 12. Oder mit der Tabelle z.B.: 1211 % 13 = (12+5+10+1) % 13 = 28 % 13 = 2
Weil für (x-5) % 13 nur 1, 2, 10, 11 oder 12 möglich ist, darf x % 13 nur 6, 7, 2, 3 oder 4 sein.
x x % 13 möglich x % 7 möglich
4001 10 nein
3101 7 ja 0 nein
3011 8 nein
2201 4 ja 3 ja
2111 5 nein
2021 6 ja 5 ja
2003 1 nein
1301 1 nein
1211 2 ja 0 nein
1121 3 ja 1 ja
1103 12 nein
1031 4 ja 2 ja
1013 12 nein
Es verbleiben also noch 6 Möglichkeiten für x. Als nächstes sortieren wir alle Zahlen aus, die keine Primzahlen sind. Keine der Zahlen ist offenbar durch 2 oder 5 teilbar. Auch 3 ist kein Teiler, da die Quersumme 5 ist. Ebenfalls ist 11 kein Teiler, da die alternierende Quersumme nicht durch 11 teilbar sein kann, wenn die normale Quersumme 5 ist. Auch ist 13 kein Teiler von x, da x % 13 niemals 0 war. Als letzte kleinere Primzahl verbleibt die 7. Der Teilbarkeitstest für 7 erfolgte wieder mit der Berechnung des Restes im Kopf und ist schon in obigen Tabellen eingetragen.
Der nächste mögliche Primteiler t von x wäre demnach >= 17. Da t³ >= 17³ > 10*15² = 2250 > 2201 ist, hat x höchstens zwei echte Teiler und x/t ist wieder eine Primzahl. Also prüfen wir x = p*q mit 17 <= p <= q und den Primzahlen p und q, die offenbar nur auf 1, 3, 7 oder 9 enden. Weil x auf 1 endet, gibt es drei Fälle:
Fall A: p und q enden beide auf 1
Fall B: p endet auf 3 oder 7 und entsprechend q auf 7 oder 3
Fall C: p und q enden beide auf 9
Wir haben noch x = 2201, 2021, 1121, 1031.
Fall A: p, q = 31, 41, 61, 71, (91 ist zu groß, da 31 * 91 > 30*90 = 2700 > 2201 ist)
Überschlagsmäßig mit den Zehnern gerechnet, trifft nur das Produkt 30*70 = 2100 etwas unterhalb eines verbliebenen Wertes für x. Tatsächlich ist 31*71 = 2100 + 30 + 70 + 1 = 2201 ein noch verbliebenes x, das also keine Primzahl ist und gestrichen wird.
Wir haben noch x = 2021, 1121, 1031.
Fall B: p, q = 17, 23, 43, 47, 53, 67... (Primzahlen >= 17, die auf 3 oder 7 enden)
Um eine Grenze für p zu finden rechnen wir 43*47 = 4*(4+1) | 3*7 = 20 | 21 = 2021 nach einem alten Rechentrick aus. (Der Trick geht immer, bei geichen Zehnern und sich zu 10 ergänzenden Einern.) Und weil es der Zufall wollte, haben wir gleich ein übriges x getroffen und wissen, dass für weitere Treffer p <= 23 sein muss. Die Überschläge schließen aber weiter Treffer aus Fall B aus.
Wir haben noch x = 1121, 1031.
Fall C: p, q = 19, 29, 59,...
Wegen 19*59= 20*60-20-60+1=1200-80+1=1121 bleibt nur noch 1031 als Primzahl übrig. Tatsächlich ist auch a, also die Zahl, die aus 1031 Einsen besteht eine Primzahl, was man sicher nicht im Kopf nachrechnen kann. Aber da oben gesagt wurde, dass es so ein a gibt, bleibt ja nur dieses übrig.
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Hier noch ein Link zur Anzahl von Einsen, die eine prime Schnapszahl haben kann:
http://oeis.org/A004023
