Die gegebenen Zahlen haben die Eigenschaft, dass sie mit dem Quadrat des Produktes von Quersummen übereinstimmen. Dabei ist die erste Quersumme die Quersumme der Zahl selbst. Wenn diese mehrstellig ist, wird daraus die zweite Quersumme gebildet und so weiter.
1 -Q-> 1: 1² = 1
81 -Q-> 9: 9² = 81
2704 -Q-> 13 -Q-> 4: (13*4)² = 2704
12544 -Q-> 16 -Q-> 7: (16*7)² = 12544
26244 -Q-> 18 -Q-> 9: (18*9)² = 26244
Da noch eine fünfstellige Zahl x fehlt und diese kleiner als 99999 ist, ist die erste Quersumme Q1 davon kleiner gleich 5*9=45. Die nächste Quersumme Q2 ist kleiner gleich Q(39)=12 und es könnte noch eine dritte Quersumme Q3 gebildet werden, die dann kleiner gleich 3 sein muss. Die Fälle mit drei Quersummen sind:
Q3 Q2 Q1
3 12 39
2 11 38
2 11 29
1 10 37
1 10 28
1 10 19
Keiner der Fälle bildet Zahlen mit obiger Eigenschaft. Z.B (1*10*28)²=78400 -Q-> 19 aber wenn es passen soll, hätte 28 herauskommen müssen. Also untersuchen wir die Fälle mit weniger als 3 Quersummen und weil die nächste Zahl x größer als 26244 also ihre Wurzel y größer als 18*9 = 162 ist aber Q1 <= 45 muss es also genau zwei Quersummen im gesuchten Fall geben. Q1 ist deshalb zweistellig und habe die Ziffern z und e. Also Q1 = 10z+e und Q2 = z+e. Die gesuchte Zahl sei x = y² mit y = Q1*Q2 = (10z+e)*(z+e) also gilt e²+11ze+10z²-y=0 woraus man für die nicht negative Einerziffer e=(Wurzel(121z²-4(10z²-y))-11z)/2=(Wurzel(81z²+4y)-11z)/2 erhält. Da 162 < y <= Wurzel(99999) gilt, also 163<=y<=316 erhält man bei den möglichen Zehnerziffern 1 bis 4 Intervalle für die Einerziffer:
z e
1 9..9 (19 hatten wir schon)
2 5..8 (hier hatten wir schon die 28)
3 3..5
4 1..3
Es bleiben also für Q1 nur noch die Möglichkeiten 25, 26, 27, 33, 34, 35, 41, 42 und 43. Davon liefert nur Q1 = 27 eine Zahl x mit den gewünschten Eigenschaften:
27 -Q-> 9: (27*9)² = 59049 -Q-> 27Wenn man sich fragt, warum es keine weiteren Zahlen x mit dieser Eigenschaft gibt, dann kann man z.B. alle Q1 von 1 bis 100 durchprobieren und danach mit einer sehr groben aber etwas trickreichen Abschätzung zu dem Schluss kommen, dass für Q1 >= 100 das Produkt der Quersummen zum Quadrat immer viel kleiner ist, als die Zahl x aus der Q1 gebildet wurde.