Zahlenreihe 75 Rätsel ist gelöst

Für Zahlenfetischisten und solche, die es werden wollen.

Zahlenreihe 75

Beitragvon Otmar » Montag 23. Juli 2012, 22:24

Die Zahlen
 
1   81   2704   7744   12544   26244
 

habe ich gerade mit einem Computerprogramm berechnet. Es fehlt noch genau eine Zahl mit den gleichen Eigenschaften, wie die bereits aufgeschriebenen. Sie ist fünfstellig und macht die Zahlenreihe komplett.

Was sind die Eigenschaften der Zahlen und wie lautet die letzte? Für die Lösung ist kein Computerprogramm nötig. Ein Taschenrechner könnte allerdings hilfreich sein. :kaffeepc:
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Start: Montag 23. Juli 2012, 22:24
Ende: Donnerstag 26. Juli 2012, 22:24
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Re: Zahlenreihe 75

Beitragvon Otmar » Montag 30. Juli 2012, 18:51

:tipp:
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Dass es sich bei den Zahlen um Quadratzahlen handelt, ist ja leicht zu sehen. Dennoch habe ich ganz bewusst, die Quadratzahlen und nicht die Zahlen, die quadriert wurden, hingeschrieben. Der Grund dafür ist, dass wie so oft bei Zahlenreihen, Quersummen eine wichtige Rolle spielen.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Zahlenreihe 75

Beitragvon Psychomantia » Montag 6. August 2012, 22:30

Hallo Otmar,

magst du vielleicht noch einen weiteren Hinweis geben? Habe deinen Tipp berücksichtigt, bin aber trotzdem nicht weiter gekommen. -.-'
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Re: Zahlenreihe 75

Beitragvon Otmar » Dienstag 7. August 2012, 19:23

Psychomantia hat geschrieben:magst du vielleicht noch einen weiteren Hinweis geben?

Ja gern,
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Man kann auch Quersummen von mehrstelligen Quersummen bilden und wenn möglich auch davon wieder Quersummen uns so weiter und so fort.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Zahlenreihe 75

Beitragvon Otmar » Samstag 1. September 2012, 12:41

Ich versuche nochmal den letzten Tipp anhand der Zahlen aufzuschreiben:
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Otmar hat geschrieben:
 
1 81 2704 7744 12544 26244
 

1 hat Quersumme 1
81 hat Quersumme 9
2704 hat Quersumme 13 hat Quersumme 4
7744 hat Quersumme 22 hat Quersumme 4
12544 hat Quersumme 16 hat Quersumme 7
26244 hat Quersumme 18 hat Quersumme 9

nicht vergessen, dass die Ausgangszahlen Quadratzahlen waren.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Zahlenreihe 75

Beitragvon YMBY » Donnerstag 13. September 2012, 23:30

Gelöst.
Mehr ->
Das Produkt der weitergeführten Quersummen deiner Quadratzahlen ergibt die Wurzel der Quadratzahlen.

Beispiel: sqrt(7704) = 88 = 22 * 4 = Quersumme(7704) * Quersumme(Quersumme(7704)

Und obwohl ich heute meinen Rechner neu installiert habe und noch kein VisualStudio drauf ist, konnte ich dank http://rextester.com/runcode die Zahl 243 als letzte Zahl ausrechnen (also genau genommen 59049).

Mmm, mal testen, ob's stimmt:
243 * 243 = 59049
Quersumme(59049) * Quersumme(Quersumme(59049)) = 27 * 9 = 243 :P


Gerne mehr davon!
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Re: Zahlenreihe 75

Beitragvon Otmar » Montag 17. September 2012, 21:23

YMBY hat geschrieben:Gelöst.

:supercool: :glueckwunsch: :respekt:

Hier noch meine Lösung:
Mehr ->
Die gegebenen Zahlen haben die Eigenschaft, dass sie mit dem Quadrat des Produktes von Quersummen übereinstimmen. Dabei ist die erste Quersumme die Quersumme der Zahl selbst. Wenn diese mehrstellig ist, wird daraus die zweite Quersumme gebildet und so weiter.

1     -Q-> 1:                   1² = 1
81 -Q-> 9: 9² = 81
2704 -Q-> 13 -Q-> 4: (13*4)² = 2704
12544 -Q-> 16 -Q-> 7: (16*7)² = 12544
26244 -Q-> 18 -Q-> 9: (18*9)² = 26244

Da noch eine fünfstellige Zahl x fehlt und diese kleiner als 99999 ist, ist die erste Quersumme Q1 davon kleiner gleich 5*9=45. Die nächste Quersumme Q2 ist kleiner gleich Q(39)=12 und es könnte noch eine dritte Quersumme Q3 gebildet werden, die dann kleiner gleich 3 sein muss. Die Fälle mit drei Quersummen sind:
Q3    Q2    Q1
3 12 39
2 11 38
2 11 29
1 10 37
1 10 28
1 10 19

Keiner der Fälle bildet Zahlen mit obiger Eigenschaft. Z.B (1*10*28)²=78400 -Q-> 19 aber wenn es passen soll, hätte 28 herauskommen müssen. Also untersuchen wir die Fälle mit weniger als 3 Quersummen und weil die nächste Zahl x größer als 26244 also ihre Wurzel y größer als 18*9 = 162 ist aber Q1 <= 45 muss es also genau zwei Quersummen im gesuchten Fall geben. Q1 ist deshalb zweistellig und habe die Ziffern z und e. Also Q1 = 10z+e und Q2 = z+e. Die gesuchte Zahl sei x = y² mit y = Q1*Q2 = (10z+e)*(z+e) also gilt e²+11ze+10z²-y=0 woraus man für die nicht negative Einerziffer e=(Wurzel(121z²-4(10z²-y))-11z)/2=(Wurzel(81z²+4y)-11z)/2 erhält. Da 162 < y <= Wurzel(99999) gilt, also 163<=y<=316 erhält man bei den möglichen Zehnerziffern 1 bis 4 Intervalle für die Einerziffer:
z e
1 9..9 (19 hatten wir schon)
2 5..8 (hier hatten wir schon die 28)
3 3..5
4 1..3

Es bleiben also für Q1 nur noch die Möglichkeiten 25, 26, 27, 33, 34, 35, 41, 42 und 43. Davon liefert nur Q1 = 27 eine Zahl x mit den gewünschten Eigenschaften:
27 -Q-> 9: (27*9)² = 59049 -Q-> 27
Wenn man sich fragt, warum es keine weiteren Zahlen x mit dieser Eigenschaft gibt, dann kann man z.B. alle Q1 von 1 bis 100 durchprobieren und danach mit einer sehr groben aber etwas trickreichen Abschätzung zu dem Schluss kommen, dass für Q1 >= 100 das Produkt der Quersummen zum Quadrat immer viel kleiner ist, als die Zahl x aus der Q1 gebildet wurde.
Liebe Grüße, Otmar.
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