Zahlenreihe 70

[Otmar]

4 27 108 3125 12500 84375 337500 823543 . . .

[Phoenix]

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Reihe a: 2, 3, 5, 7, 11, 13... (Primzahlen)
Reihe b: bx = ax^ax
Die gegebene Zahlenreihe entsteht, wenn man nacheinander die Zahlen der Reihe b nimmt und durch Multiplikation aller bisherigen Zahlen je ein neues Element hinzufuegt (eine Eins zu Beginn vorausgesetzt, vorgestellt, wie auch immer).
Das letzte Element ist 7^7, daher folgt 7^7*2^2=3294172, 7^7*3^3*2^2=29647548...
Edit: Da war ich zu schnell, 7^7*3^3=7411887 liegt noch dazwischen, danach kommt 7^7*5^5

Vielleicht kann man das irgendwie besser erklaeren, aber ich denke, die Regel stimmt

[Friedel]

Ich bin ratlos.

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• 4 = 2²
• 27 = 3³
• 108 = 2² × 3³
• 3125 = 5⁵
• 12500 = 2³ × 5⁶
• 84375 = 3³ × 5⁵
• 337500 = 2² × 3³ × 5⁵
• 823543 = 7⁷

Wenn die 4. Zahl eine Null weniger hätte, würde sich imho eine schöne Gesetzmäßigkeit ergeben, aber so erkenne ich keine. Ist das vielleicht ein Fehler?

Wenn das ein Fehler ist, stellt diese Folge dar, die man imho am einfachsten mit einer Hilfsfolge beschreiben kann, die sich ergibt, wenn man die Primzahlen mit sich selbst potenziert. Die gesuchte Folge ergibt sich dann, wenn man ein Element dieser Hilfsfolge übernimmt und dann der Reihe nach alle Faktoren einfügt, die sich ergeben, wenn man dieses Element mit den kleineren Elementen der Folge multipliziert. Dann wird mit dem nächsten Element der Hilfsfolge weiter gemacht. Nach dieser Vorschrift würde die Folge so weitergehen:

• 2² × 7⁷ = 3294172
• 3³ × 7⁷ = 22235661
• 2² × 3³ × 7⁷ = 88942644
• 5⁵ × 7⁷ = 2573571875
• 2² × 5⁵ × 7⁷ = 10294287500
• 3³ × 5⁵ × 7⁷ = 69486440625
• 2² × 3³ × 5⁵ × 7⁷ = 277945762500
• 11¹¹ = 285311670611 usw.

[JavaBar]

12500 = 2³ × 5⁶

Ist nicht ganz richtig, Friedel, rechne die Primfaktoren von 12500 nochmal nach, vielleicht kommst Du dann auf die Lösung.

[Friedel]

Klar, meine Vermutung war genau richtig.

Ist das vielleicht ein Fehler?

Nur habe ich den gemacht, nicht Otmar. Ich habe die Zahlen 2 mal kopiert. Ein mal mit c&p hier immFrum, ein mal habe ich sie zum Rechnen abgeschrieben. Auf meinem Zettel steht da eine Null zu viel. Meine vermutete Folge ist demnach also wohl richtig.

Jetzt wundere ich mich nur, warum JavaBar aus meinem geschlossenen Spoiler zitieren kann...

[JavaBar]

Jetzt wundere ich mich nur, warum JavaBar aus meinem geschlossenen Spoiler zitieren kann...

Das wunderte mich auch, ganz kurzzeitig konnte ich den Spoiler lesen, danach nicht mehr.

Entweder ist ein Bug im Forum, oder war die Spoilersperre kurz ausgesetzt.

Wie auch immer, die Sache gibt jedenfalls ein Rätsel neues auf, vielleicht kann Cujo es beantworten?

[JavaBar]

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Ich versuche, die Zahlenreihe so zu erklären:

Wir brauchen eine Zahlenreihe welche die Zahlenfolge enthält: "Die N. Primzahl hoch sich selbst", also
f(n) = {2², 3³, 5⁵, 7⁷, ...}

Um die Nte Zahl der Folge zu berechnen, benötigen wir den Binärcode der Zahl (Bitₙ ... Bit₃ Bit ₂ Bit ₁ Bit₀), Die Zahl berechnet sich dann mittels des Produkts aller
f(x) ^ (Bitₓ)

Also z.B. die 9. Zahl ist dann (Binärcode=1001) (2²)¹ * (3³)º * (5⁵)º * (7⁷)¹ = 3294172
die 10. Zahl ist (Binärcode=1010) -> (2²)º * (3³)¹ * (5⁵)º * (7⁷)¹ = 22235661
die 11. Zahl ist (Binärcode=1011) -> (2²)¹ * (3³)¹ * (5⁵)º * (7⁷)¹ = 88942644
...
die 15. Zahl ist (Binärcode=1011) -> (2²)¹ * (3³)¹ * (5⁵)¹ * (7⁷)¹ = 347432203125
die 16. Zahl wäre 11¹¹ = 285311670611

Naja, Otmar selbst kann es mathematisch besser erklären.

Die 16. Zahl ist übrigens kleiner als die 15.!

Und danke an Friedel, nun weiss ich auch, dass es im UTF-8-Zeichensatz auch alle Ziffern hoch- und tiefgestellt gibt.

[Otmar]

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Da habt ihr einen schönen Algorithmus gefunden. Aber ich hatte gar keinen Algorithmus im Kopf als ich die ersten 8 Zahlen aufgeschrieben hatte. Tatsächlich ist der Algorithmus der Zahlenreihe, die ich meine, viel aufwändiger als der von euch angegeben Algorithmus. Dafür ist die Erklärung der Zahlen bei mir einfacher. Am Anfang ist alles sehr ähnlich, aber ab der 20. Zahl kommen Unterschiede.

@JavaBar:

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Deine Darstellung ist super, weil man für jede Position sofort die dort stehende Zahl ausrechnen kann. Bei der gesuchten Reihe gibt es so einen einfachen Zusammenhang ganz sicher nicht. Da wird es sehr schwierig, z.B. die 10000ste Zahl anzugeben. Ich hab mal bis zur Position 17338 rechnen lassen, das ist bei mir 101^101.

die 15. Zahl ist (Binärcode=1011) -> (2²)¹ * (3³)¹ * (5⁵)¹ * (7⁷)¹ = 347432203125
...
Die 16. Zahl ist übrigens kleiner als die 15.!

Da hat der Fehlerteufel mit der Eins gespielt, denn oben ist bei 2^2 fünf rausgekommen, eins zuviel, vielleicht die Eins die beim Binärcode eine Null ist. Aber an genau so einer Feststellung liegt der Unterschied.

[Cujo]

Jetzt wundere ich mich nur, warum JavaBar aus meinem geschlossenen Spoiler zitieren kann...

Das wunderte mich auch, ganz kurzzeitig konnte ich den Spoiler lesen, danach nicht mehr.

Entweder ist ein Bug im Forum, oder war die Spoilersperre kurz ausgesetzt.

Wie auch immer, die Sache gibt jedenfalls ein Rätsel neues auf, vielleicht kann Cujo es beantworten?

Es handelt sich dabei um einen Fehler, der auch nicht so einfach zu beheben ist Spoilersperre (Diskussion)

[Otmar]

Nachdem Phoenix, Friedel und JavaBar die Zahlen mit 3 sehr schönen Lösungsvorschriften rekonstruiert haben, , kann ich eigentlich abhaken, obwohl meine Lösung anders gedacht war.

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Ich hatte mir gadacht, alle natürlichen Zahlen der Reihe nach aufzuschreiben, die ein Podukt aus Primfaktoren sind, wobei in diesem Produkt jeder Primfaktor genau so oft auftritt, wie es sein Zahlenwert angibt. Eine einfache Vorschrift, die Zahlen der Reihe nach zu berechnen, hatte ich nicht gefunden. Eis ist aber ziemlich einfach, alle diese Zahlen, bis zu einem Maximum, z.B. 101^101 zu bestimmen und dann nach der Größe zu sortieren.

13^13 ist dann die erste, die gegenüber der Lösung von Phoenix, Friedel und Javabar nach vorn rutscht.

Hier einige der berechneten Zahlen der gesuchten Folge und ihrer Position bis 101^101:

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.
   1                4 = (2^2)
   2               27 = (3^3)
   3              108 = (2^2) * (3^3)
   4             3125 = (5^5)
   5            12500 = (2^2) * (5^5)
   6            84375 = (3^3) * (5^5)
   7           337500 = (2^2) * (3^3) * (5^5)
   8           823543 = (7^7)
   9          3294172 = (2^2) * (7^7)
  10         22235661 = (3^3) * (7^7)
  11         88942644 = (2^2) * (3^3) * (7^7)
  12       2573571875 = (5^5) * (7^7)
  13      10294287500 = (2^2) * (5^5) * (7^7)
  14      69486440625 = (3^3) * (5^5) * (7^7)
  15     2.77946e+011 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (7^7)
  16     2.85312e+011 = (11^11)
  17     1.14125e+012 = (2^2) * (11^11)
  18     7.70342e+012 = (3^3) * (11^11)
  19     3.08137e+013 = (2^2) * (3^3) * (11^11)
  20     3.02875e+014 = (13^13)
  21     8.91599e+014 = (5^5) * (11^11)
  22      1.2115e+015 = (2^2) * (13^13)
  23      3.5664e+015 = (2^2) * (5^5) * (11^11)
  24     8.17763e+015 = (3^3) * (13^13)
  25     2.40732e+016 = (3^3) * (5^5) * (11^11)
  26     3.27105e+016 = (2^2) * (3^3) * (13^13)
  27     9.62927e+016 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (11^11)
  28     2.34966e+017 = (7^7) * (11^11)
  29     9.39866e+017 = (2^2) * (7^7) * (11^11)
  30     9.46485e+017 = (5^5) * (13^13)
  31     3.78594e+018 = (2^2) * (5^5) * (13^13)
  32     6.34409e+018 = (3^3) * (7^7) * (11^11)
  33     2.53764e+019 = (2^2) * (3^3) * (7^7) * (11^11)
  34     2.55551e+019 = (3^3) * (5^5) * (13^13)
  35      1.0222e+020 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (13^13)
  36     2.49431e+020 = (7^7) * (13^13)
  37      7.3427e+020 = (5^5) * (7^7) * (11^11)
  38      8.2724e+020 = (17^17)
  39     9.97723e+020 = (2^2) * (7^7) * (13^13)
  40     2.93708e+021 = (2^2) * (5^5) * (7^7) * (11^11)
  41     3.30896e+021 = (2^2) * (17^17)
  42     6.73463e+021 = (3^3) * (7^7) * (13^13)
  43     1.98253e+022 = (3^3) * (5^5) * (7^7) * (11^11)
  44     2.23355e+022 = (3^3) * (17^17)
  45     2.69385e+022 = (2^2) * (3^3) * (7^7) * (13^13)
  46     7.93012e+022 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (7^7) * (11^11)
  47     8.93419e+022 = (2^2) * (3^3) * (17^17)
  48     7.79471e+023 = (5^5) * (7^7) * (13^13)
  49     1.97842e+024 = (19^19)
  50     2.58513e+024 = (5^5) * (17^17)
  51     3.11788e+024 = (2^2) * (5^5) * (7^7) * (13^13)
  52     7.91368e+024 = (2^2) * (19^19)
  53     1.03405e+025 = (2^2) * (5^5) * (17^17)
  54     2.10457e+025 = (3^3) * (5^5) * (7^7) * (13^13)
  55     5.34173e+025 = (3^3) * (19^19)
  56     6.97984e+025 = (3^3) * (5^5) * (17^17)
  57     8.41829e+025 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (7^7) * (13^13)
  58     8.64138e+025 = (11^11) * (13^13)
  59     2.13669e+026 = (2^2) * (3^3) * (19^19)
  60     2.79194e+026 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (17^17)
  61     3.45655e+026 = (2^2) * (11^11) * (13^13)
  62     6.81268e+026 = (7^7) * (17^17)
  63     2.33317e+027 = (3^3) * (11^11) * (13^13)
  64     2.72507e+027 = (2^2) * (7^7) * (17^17)
  65     6.18256e+027 = (5^5) * (19^19)
  66     9.33269e+027 = (2^2) * (3^3) * (11^11) * (13^13)
  67     1.83942e+028 = (3^3) * (7^7) * (17^17)
  68     2.47302e+028 = (2^2) * (5^5) * (19^19)
  69     7.35769e+028 = (2^2) * (3^3) * (7^7) * (17^17)
  70     1.66929e+029 = (3^3) * (5^5) * (19^19)
  71     2.70043e+029 = (5^5) * (11^11) * (13^13)
  72     6.67717e+029 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (19^19)
  73     1.08017e+030 = (2^2) * (5^5) * (11^11) * (13^13)
  74     1.62931e+030 = (7^7) * (19^19)
  75     2.12896e+030 = (5^5) * (7^7) * (17^17)
  76     6.51725e+030 = (2^2) * (7^7) * (19^19)
  77     7.29116e+030 = (3^3) * (5^5) * (11^11) * (13^13)
  78     8.51585e+030 = (2^2) * (5^5) * (7^7) * (17^17)
  79     2.08805e+031 = (23^23)
  80     2.91647e+031 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (11^11) * (13^13)
  81     4.39915e+031 = (3^3) * (7^7) * (19^19)
  82      5.7482e+031 = (3^3) * (5^5) * (7^7) * (17^17)
  83     7.11655e+031 = (7^7) * (11^11) * (13^13)
  84     8.35219e+031 = (2^2) * (23^23)
  85     1.75966e+032 = (2^2) * (3^3) * (7^7) * (19^19)
  86     2.29928e+032 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (7^7) * (17^17)
  87     2.36021e+032 = (11^11) * (17^17)
  88     2.84662e+032 = (2^2) * (7^7) * (11^11) * (13^13)
  89     5.63773e+032 = (3^3) * (23^23)
  90     9.44085e+032 = (2^2) * (11^11) * (17^17)
  91     1.92147e+033 = (3^3) * (7^7) * (11^11) * (13^13)
  92     2.25509e+033 = (2^2) * (3^3) * (23^23)
  93     5.09161e+033 = (5^5) * (7^7) * (19^19)
  94     6.37258e+033 = (3^3) * (11^11) * (17^17)
  95     7.68587e+033 = (2^2) * (3^3) * (7^7) * (11^11) * (13^13)
  96     2.03664e+034 = (2^2) * (5^5) * (7^7) * (19^19)
  97     2.54903e+034 = (2^2) * (3^3) * (11^11) * (17^17)
  98     6.52515e+034 = (5^5) * (23^23)
  99     1.37473e+035 = (3^3) * (5^5) * (7^7) * (19^19)
 100     2.22392e+035 = (5^5) * (7^7) * (11^11) * (13^13)
 101      2.5055e+035 = (13^13) * (17^17)
 102     2.61006e+035 = (2^2) * (5^5) * (23^23)
 103     5.49893e+035 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (7^7) * (19^19)
 104     5.64466e+035 = (11^11) * (19^19)
 105     7.37567e+035 = (5^5) * (11^11) * (17^17)
 106     8.89569e+035 = (2^2) * (5^5) * (7^7) * (11^11) * (13^13)
 107      1.0022e+036 = (2^2) * (13^13) * (17^17)
 108     1.76179e+036 = (3^3) * (5^5) * (23^23)
 109     2.25786e+036 = (2^2) * (11^11) * (19^19)
 110     2.95027e+036 = (2^2) * (5^5) * (11^11) * (17^17)
.....
17332     2.64487e+202 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (11^11) * (17^17) * (19^19) * (23^23) * (61^61)
17333     2.66039e+202 = (5^5) * (11^11) * (17^17) * (29^29) * (37^37) * (41^41)
17334     2.66928e+202 = (2^2) * (3^3) * (5^5) * (11^11) * (13^13) * (19^19) * (29^29) * (31^31) * (37^37)
17335      2.6864e+202 = (7^7) * (13^13) * (23^23) * (31^31) * (59^59)
17336     2.68875e+202 = (2^2) * (7^7) * (11^11) * (13^13) * (47^47) * (53^53)
17337     2.70197e+202 = (3^3) * (5^5) * (7^7) * (17^17) * (29^29) * (37^37) * (43^43)
17338     2.73186e+202 = (101^101)