"Angenommen in a wäre jeder Primfaktor nur einfach vorhanden, dann müsste in b jeder Primfaktor von a enthalten sein, so dass a*b eine Quadratzahl ist. Dann wäre aber b >= a was nicht sein darf."
Wieso b ≥ a ? b = a denke ich, sicher nur verschrieben?
"Wegen r = a/p² ist b = a(q/p)² und wegen (a-1)/10 <= b = a(q/p)² muss (q/p)² >= 1/10 sein. "
Den letzten Schritt verstehe ich nicht.
"Deshalb kann man an dieser Stelle raten, dass 11 der einzige Primfaktor in a ist, der mehrfach (und höchstens dreifach) auftritt"
Höchstens dreifach ? wieso?
Diese Stelle ist mir auch nicht ausführlich genug beleuchtet. Die Primzahlsuche hätte mit 7 beginnen müssen (2, 3 und 5 kann man ausschließen) Und wenn man die kleinsten (?) zwei gleichen Primfaktoren gefunden hat, kann man die Suche beenden.
Angenommen es wären mehr "doppelte" drin, die ich alle "ausklammere", um so weiter entferne ich mich doch von der "Mindeststellenzahl", die man dann später wieder durch q² "auffüllen muss. ? Mache ich hier einen Denkfehler?
Zu Deiner "Hochrechnung"
Fakt ist, dass es für Deine Beispielaufgabe 7 Lösungen gibt (q kann 4, 5, 6, 7, 8, 9, und 10 sein) und q = 4 liefert die kleinste Quadratzahl.
Die Anzahl war abhängig von der kleinsten gefundenen Primzahl, die doppelt drin ist. q muss kleiner sein als 11.
Mit Deiner Hochrechnung hast Du gezeigt, dass ((10 hoch 33) + 1) eine weitere Zahl ist, mit der diese Aufgabe funktioniert? Okay. Mein Bauchgefühl sagt, dass es dann auch wieder genau 7 solcher Quadratzahlen gibt ???
Zwischen ((10 hoch 11) + 1) und ((10 hoch 33) + 1) könnten aber weitere solcher Zahlen liegen, die einen anderen doppelten Primfaktor enthalten.
Die Herleitung mit 7² verstehe ich nicht. Woher weißt Du, dass ((10 hoch 21) +1) durch 49 teilbar ist.