Es sei x die gesuchte Zahl. Entfernt man aus jedem Ziffernpaar mit gleichen Ziffern jeweils eine davon, dann entsteht die kleinere Zahl y, die nur Ziffernpaare unterschiedlicher Ziffern enthält. Nun kann man erstmal das größte y suchen und hoffen, dass umgekehrt auch das größte x durch Einfügen von Ziffern in y entsteht, was nicht ganz trivial ist, aber sich gut zeigen lässt, nachdem man das größte y gefunden hat.
Zuerst kann man sich überlegen, dass in y jede Ziffer genau vier mal vorkommt mit Ausnahme der ersten und letzten Ziffer, die fünf mal vorkommen können. Denn jede innere Ziffer benötigt rechts und links zwei verschiedene Ziffern. Da es nur 9 andere Ziffern gibt, hätte eine fünfte gleiche Ziffer nur noch einen Partner und wäre somit am Rand.
D.h. y hat maximal 1 + 10 * 4 + 1 = 42 Ziffern. Ein Beispiel für ein y mit 42 lässt sich leicht finden. Dazu nummeriert man die Ecken eines regelmäßigen 10-Eck mit 0 bis 9. Die Seiten und Diagonalen stellen alle erlaubten Paarungen dar. Nun läuft man Seiten und Diagonalen in einem Zug ab. Man beginnt an einer Ecke != 0 und geht über die 10 Kanten dann 10 Diagonalen die jeweils 3 Ecken weiterführen, dann 5 Diagonalen, die 2 Ecken weiter führen, dann 5 Diagonalen, die 4 Ecken weiterführen, dann eine Diagonale, die 5 Punkte auf den gegenüberliegenden Punkt weiterführt, dann nochmal 5 die zwei Punkte und 5 die 4 Punkte weiterführen. Das waren jetzt 10+10+5+5+1+5+5 = 41 verschiedene Paare und 42 Punkte.
Zur Suche des größten y wird das 10 Eck wieder vergessen. Man beginnt mit der linken Ziffer 9 und sucht die jeweils nächste größte Ziffer, nach folgenden Regeln:
- Die 9 darf nur 5 Mal vorkommen, alle anderen erstmal nur 4 Mal. (Die letzte, die wird am Ende gewählt und angefügt.)
- Das entstehende Ziffernpaar ist noch verfügbar.
So entsteht: y'=987968594839281907657463726154352413210
Und da kann am Ende noch eine 8 angehängt werden. Außer 0 sind so schon alle Ziffern 4 mal da, die 9 fünf mal. Es fehlen noch zwei Nullen. Steicht man auch die letzte 0 fehlen noch 3 Nullen, die mit 8, 6, 5, 4, 3, 2, und 1 gepaart werden können. Die 8 kann nur ganz rechts kommen, da sie ja bereits viermal vorhanden ist. Außer der 8 sind noch 5 weiter Ziffern für die drei Nullen nötig. Verzichtet man auf die 6, kann man dem Ende von y'=...52413210(8) noch zwei Nullen dazugeben und umsortieren.
In 9879685948392819076574637261543... sind hinten noch jeweils eine 5, 4, 3 jeweils zwei 2, 1 und drei Nullen und ganz rechts eine 8 anzufügen.
Angenommen, man beginnt den Rest mit 5, 4, oder 3, dann folgt danach eine 0, da die ja mit allen 5 Ziffern gepaart ist. 1 und 2 haben dann noch Paare:(1,2) (1,0) (2,0) und jeweils zwei mit den beiden aus 3, 4, 5 Verbliebenen. Das sind 7 Paare und reicht gerade so, um die beiden Einsen und die beiden Zweien unterzubringen. Da aber die beiden Verbliebenen aus 5, 4, 3 auch neben einer 0 stehen müssen geht das nicht auf. D.h die nächstgrößre Ziffer für den Rest ist 2 und dann kann man leicht zu 25041302108 weiter optimieren, wobei berücksichtigt wurde, dass das Paar 3 und 4 schon vergeben war.
Dann ist y = 987968594839281907657463726154325041302108
Würde die 0 ganz rechts stehen, müsste man noch eine weitere Null einfügen und hätte noch weiter links kleine Ziffern in y verwenden müssen. Deshalb ist die 0 auch für die Optimierung von x nicht ganz rechts.
Um x zu erhalten wird immer dann eine Ziffer z nach einem vorhanden z eingefügt, wenn die rechte Ziffer von z erstmalig kleiner als z ist. Einzige Ausnahme ist die 0, da wird so weit rechts wie möglich eingefügt:
x=9988796859483928190776657463726155443325041302211008
