Ein Palindrom zum Quadrat Rätsel ist gelöst

Für Zahlenfetischisten und solche, die es werden wollen.

Ein Palindrom zum Quadrat

Beitragvon Otmar » Donnerstag 1. Februar 2018, 19:29

Das Quadrat des gesuchten Zahlenpalindroms ist durch 11 teilbar und enthält jede Dezimalziffer genau ein mal.
------
Alles ganzzahlig im Dezimalsystem und mit einem nicht programmierbaren Taschenrechner leicht zu finden... Ach so, ein Zahlenpalindrom ist eine Zahl, die vorwärts und rückwärts gelesen die gleiche Ziffernfolge hat. z.B. 443252344

:spass:
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Start: Donnerstag 1. Februar 2018, 19:29
Ende: Sonntag 4. Februar 2018, 19:29
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Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Ein Palindrom zum Quadrat

Beitragvon Neuling » Donnerstag 1. Februar 2018, 21:46

Mehr ->

97779² = 9560732841

Lösungsweg später.
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Re: Ein Palindrom zum Quadrat

Beitragvon Neuling » Freitag 2. Februar 2018, 01:07

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Lösungsweg:
Die kleinste 10stellige Zahl mit 10 verschiedenen Ziffern ist: 1023456789
Die Wurzel daraus: 31991,5...
Die größte 10stellige Zahl mit 10 verschiedenen Ziffern ist: 9876543210
Die Wurzel daraus: 99380,7...

Damit liegt die gesuchte Palindromzahl zwischen 32023 und 99299

Wenn die Quadratzahl durch 11 teilbar ist, dann muss auch die Palindromzahl durch 11 teilbar sein.
Palindromzahl: abcba
Teilbarkeitsregel für teilbar durch 11: a - b + c - b + a = 2(a - b) + c = Vielfaches von 11 (0 oder 11 oder 22 oder -11)
Summe 0 für
a - b = 0 und c = 0 ---> (99099, 88088, 77077, 66066, 55055, 44044, 33033)
a - b = -1 und c = 2 ---> (89298, 78287, 67276, 56265, 45254, 34243)
a - b = -2 und c = 4 ---> (79497, 68486, 57475, 46464, 35453)
a - b = -3 und c = 6 ---> (69696, 58685, 47674, 36663)
a - b = -4 und c = 8 ---> (59895, 48884, 37873)
Summe 11 für
a - b = 1 und c = 9 ---> (98989, 87978, 76967, 65956, 54945, 43934, 32923)
a - b = 2 und c = 7 ---> (97779, 86768, 75757, 64746, 53735, 42724)
a - b = 3 und c = 5 ---> (96569, 85558, 74547, 63536, 52525, 41514)
a - b = 4 und c = 3 ---> (95359, 84348, 73337, 62326, 51315, 40304)
a - b = 5 und c = 1 ---> (94149, 83138, 72127, 61116, 50105)
Summe 22 für
a - b = 9 und c = 4 ---> (90409)
a - b = 8 und c = 6 ---> (91619, 80608)
a - b = 7 und c = 8 ---> (92829, 81818, 70807)
Summe -11 für
a - b = -6 und c = 1 ---> (39193)
a - b = -7 und c = 3 ---> entfällt, wegen a = 2
a - b = -8 und c = 5 ---> entfällt, wegen a = 1
a - b = -9 und c = 7 ---> a = 0 nicht möglich

Habe alle oben genannten Palindromzahlen überprüft (quadriert) und nur bei 97779 eine gültige Lösung gefunden.
Falls ich keine Möglichkeit vergessen habe und auch bei meiner Überprüfung keinen Tippfehler gemacht habe, dann gibt es nur diese eine Lösung.
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Re: Ein Palindrom zum Quadrat

Beitragvon Otmar » Sonntag 4. Februar 2018, 20:54

:glueckwunsch: geht an Neuling. Prima gelöst.

Sehr ähnlich ist meine Lösung:
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Für das gesuchte Palindrom x gilt:
1023456789 <= x² <= 9876543210
und nach Ziehen der Wurzel und erhält man 31991 < x < 99381. Man kann deshalb x=abcba mit den Ziffern a, b und c schreiben, wobei a >= 3 und b und c noch beliebig sind. Die Quersumme des Quadrates x² ist
1+2+...+8+9=9*10/2 = 9*5
und damit ist x² durch 9 und x durch 3 teilbar. D.h.:
a+b+c+b+a=(2a+c)+2b ist ein Vielfaches von 3.
Da nach Voraussetzung x² durch 11 teilbar ist, muss auch x durch 11 teilbar sein und es gilt:
a-b+c-b+a=(2a+c)-2b ist ein Vielfaches von 11. (11er Regel mit der alternierenden Quersumme)
Mit s=2a+c kann man erstmal geeignete Zahlen für s und b suchen. Wegen
6<=s<=27 und 0<=2b<=18 ist -12<=s-2b<=27. Also ist s-2b aus {-11, 0, 11, 22}.
Für die 4 Möglichkeiten gibt es Zwischenergebnisse für s und b:

s-2b=-11
geht nur mit s=7 und 2b=18, aber s+2b ist dann kein Vielfaches von 3.

s-2b=0
s=2b und s+2b=2s ist durch 3 teilbar --> s ist durch 3 teilbar und gerade (s=2b)
--> s ist aus {6, 12, 18} und b = s/2

s-2b=11
s+2b=s+(s-11)=2s-11=3k
--> s ist aus {13, 19, 25} und b=(s-11)/2

s-2b=22
s+2b=s+(s-22)=2s-22=3k
--> s=26 und b=2

Und daraus eine Tabelle für c=s-2a bei Spalte a und Zeile s mit zugehörigem b
.
a 3 4 5 6 7 8 9
s b
6 0 3
12 6 4 2 0 6
13 7 5 3 1 1
18 8 6 4 2 0 9
19 9 7 5 3 1 3
25 9 7 7
26 8 2

Die verbliebenen 22 Möglichkeiten kann man mit einen Taschenrechner prüfen und erhält nur für x=97779 ein passendes Quadrat:

97779²=9560732841
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