Denn man kann ja zu Anfang schon sagen, auf welcher Farbe eine bestimmte Münze in der Endstellung liegen muss. D.h. anstelle der Münzen könnte man sechs grüne und sechs rote Spielsteine verwenden und am Anfang auf jedes Startfeld Spielsteine in der Farbe legen, die der Farbe entspicht, die das Feld des Spielsteins in der Endstllung haben muss. D.h. liegt am Anfang Zahl oben, hat der Spielstein die Farbe des Startfeldes und liegt am Anfang Kopf oben, dann hat der Spielstein genau die andere Farbe als das Startfeld. Das Spiel wird jetzt so gespielt, dass die Steine nur noch ins freie Feld ziehen und man auf das Umklappen verzichten kann. Die Endstellung ist erreicht, wenn Feld f leer ist und auf jedem anderen Feld ein Spielstein in der Farbe des Feldes liegt.
Phoenix hat schon eine "kleinste sinnvolle Spieleinheit" genannt. Wie kommt das? Wenn man ein freies Feld auf einem Randfeld (a,b,c,h,m,l,j,i,d) durch einen Zug erzeugt hat, dann bleiben nur zwei Möglichkeiten, dieses Randfeld mit einem Spielstein zu füllen. Eine der Möglichkeiten ist ein Rückzug, der zu einer vorher vorhandenen Spielstellung führt und somit zu einer um mindestens 2 Spielzüge zu langen Zugfolge beiträgt. Dieser Rückzug geht also nicht. Daher ist auf Randfeldern nur eine Möglichkeit des sinnvollen Weiterspielens gegeben. Bei freien Feldern e, g und k hat man für alle Züge zwei Möglichkeiten des Weiterziehens ohne Rückzug. Nehmen wir an, das freie Feld wandert von j nach k, dann kann es im nächsten Zug nach f oder l wandern. Wenn wir zur Vereinfachung die direkte Wanderung von k nach l verbieten und anstelle dessen das freie Feld von k nach f nach k und nach l wandern lassen, dann wird das Feld f nach jeweils 6 Zügen wieder frei und diese 6 Züge sind die von Phoenix genannte "kleinste sinnvolle Spieleinheit". Wir können nun jede Zugfolge durch solche kleinsten Spieleinheiten beschreiben.
Für spätere Verwendung gebe ich den sechs möglichen Spieleinheiten Namen:
"O ->" : verschiebt oben Spielsteine von g nach e von e nach a von a nach b von b nach c und von c nach g im Uhrzeigersinn.
"O <-" : verschiebt Steine oben gegen den Uhrzeigersinn und macht "O ->" rückgängig.
"L ->" bzw. "L <-" verschiebt Steine auf Feldern e, d, i, j und k im bzw. gegen den Uhrzeigersinn.
"R ->" bzw. "R <-" verschiebt Steine auf Feldern g, h, m, l,und k im bzw. gegen den Uhrzeigersinn.
Beim Zählen der Einzelzüge haben wir für jede Spieleinheit 6 Züge und falls die vorhergehende Spieleinheit passte können wir die beiden zusätzlichen Züge wieder abziehen. Zwei Züge werden gespart, wenn zwei aufeinanderfolgende Spieleinheiten den gleichen Urzeigersinn hatten und im entgegengesetzten Sinn angeordnet sind. Genauer gesagt, werden bei den Paaren:
{O->, L->}, {L->, R->} {R->, O->}
{L<-, R<-}, {R<-, L<-} {O<-, R<-}
je zwei Züge gespart.
