Angenommen man hat eine Lösung zugweise aufgeschrieben, dann kann man sie als Vorwärtslösung, hier von unten nach oben oder Rückwärtslösung, hier von oben nach unten, lesen:
ooooooooooxxxxxxxxxx
ooooo oooxxxxxxxxxx oo
oooooxxoooxxxx xxxx oo
.
.
.
xoxoxoxoxoxoxoxoxoxo
Liest man von oben nach unten und geht die Lösung rückwärts durch, dann sieht man, dass oben wahrscheinlich Paare der Form oo oder xx verschoben werden, denn andere gibt es kaum. Vergleicht man mit der Stellung ganz unten, dann wird dabei die Anzahl der mit dieser Stellung übereinstimmenden Steine normalerweise nicht verbessert. Verbesserungen, und zwar um jeweils 2 Steine, gibt es erst, wenn Paare ox oder xo, die noch nicht mit der Stellung unten übereinstimmen, um eine ungerade Feldzahl verschoben werden. Deshalb kann man versuchen in der Rückwärtslösung in der oberen Hälfte der Schritte (Hälfte +- bei ungerader Anzahl von Paaren) nur Paare der Form oo oder xx zu verschieben und in den restlichen Schritten nur Paare der Form ox oder xo.
Idealerweise reicht es, wenn es zur Lösung nur zwei Felder mehr als Steine gibt. Dann entsteht bei der Verschiebung eine Lücke, die im nächsten Zug wieder gefüllt wird. Betrachtet man die Anordnung in der Mitte (Mitte +- bei ungeradem n) der Züge genauer und schreibt Großbuchstaben für Steine die je nach Betrachtungsrichtung mit der Ausgangs -oder Endstellung übereinstimmen, dann sieht es so aus:
Betrachtung von oben bei n = 10 Steinen je Typ:
OOOOOOOOOOXXXXXXXXXX Endstellung
OxxOxxO OXooooXXXXXoo Mittelstellung
In der Mittelstellung gibt es nur Paare, die in der Vorwärtslösung verschoben werden müssen, in Kleinbuchstaben der Form xx oder oo. Das Paar oo am rechten Rand in der Mittelstellung entsteht bei der Rückwärtslösung beim ersten Zug. Bei weiteren Zügen der Rückwärtslösung entstehen abwechselnd Paare xx und oo.
Es gibt also gleich viele Paare xx und oo oder der Paartyp am Rand kommt einmal häufiger vor.
Berachtung von unten:
XxoO XxoOXOoxoxXOXOxo Mittelstellung
XOXOXOXOXOXOXOXOXOXO Ausgangstellung
In der Mittelstellung gibt es für die Rückwärtslösung nur zu verschiebende Paare in Kleinbuchstaben der Form xo oder ox. Das Paar xo am rechten Rand in der Mittelstellung entsteht bei der Vorwärtslösung beim ersten Zug. Bei weiteren Zügen der Vorwärtslösung entstehen abwechselnd Paare ox und xo. Es gibt also gleich viele Paare ox und xo oder der Paartyp am Rand kommt einmal häufiger vor.
Natürlich muss für eine Lösung des Problems die Mittelstellung ungeachtet der Groß -und Kleinschreibung bei beiden Betrachtungen gleich sein. Das ist sie bei den beiden oberen Betrachtungen noch nicht. Daraus folgt, dass Ausgangs und Endstellung zwei Felder verschoben sind, da das eine Randpaar aus gleichen und das andere aus ungleichen Buchstaben besteht und jedes an einem anderen der beiden Ränder stehen muss. Die Anzahl falscher Paare (die aus Kleinbuchstaben), summiert über beide Betrachtungsrichtungen muss n sein, denn jedes Paar aus Kleinbuchstaben der Mittelstellung wurde oder wird genau einmal verschoben und braucht einen Zug.
