Schachrätsel der besonderen Art

[Jahreslos]

Hallo zusammen,
ich bin hier, weil mich ein Rätsel quält, dem ich mit Eurer Hilfe gern auf den Grund gehen würde.
Stellt Euch vor zwei Schachspieler sitzen im Dunkeln vor Ihrem Schachbrett (der Strom ist ausgefallen) und haben alle Figuren durcheinandergeworfen. Der auf der einen Seite hatte Weiß, der andere natürlich Schwarz. Falls jemand nicht weiß, wie die Figuren aufgestellt werden: Turm, Springer, Läufer, König, Dame (weiße Dame auf weißem Feld, schwarze auf schwarzem Feld), dann wieder Läufer, Springer, Turm auf der Grundline. Davor auf der 2.en bzw 7.en Reihe jeweils die 8 Bauern.
Sie befühlen die Figuren und erkennen dann, um welche Figur es sich handelt. Nicht aber die Farbe der Figuren (weiß oder schwarz), denn es ist ja dunkel. Sie stellen trotzdem die Figuren auf Ihre jeweiligen Felder, wissen aber nicht, ob es eine weiße oder schwarze Figur ist.

Jetzt kommt meine Frage:

Wie hoch ist die (Un)-Wahrscheinlichkeit, dass alle weißen Figuren auf der einen Seite und alle schwarzen Figuren auf der anderen Seite zum Stehen kommen?

Danach funktioniert das Licht wieder und sie sehen wie sie die Figuren aufgestellt haben und tauschen die falsch aufgestellten Figuren aus.
Dazu die zweite Frage: Wie oft müssen die Figuren im Durchschnitt getauscht werden?
Es wäre toll, wenn mir einer helfen könnte!

[Neuling]

Mal ein erster Ansatz dazu:
Es spielt eigentlich keine Rolle, dass es unterschiedliche Figuren (Turm, Springer, ...) sind, da man sie ja richtig ertasten kann.
Denn wenn einer der Mitspieler im Dunkeln schon zwei Türme ertastet hat und jetzt einen dritten rausfischt, würde er ihn ja wieder zurücklegen und eine fehlende Figur "suchen".

Also könnte man das Problem auf 16 weiße und 16 schwarze (gleichartige) Figuren reduzieren?
Irgendwie müsste es jetzt mit 16 aus 32 weiter gehen ...?

Zur Frage 2:
Von 16 weißen Figuren können 16, 15, 14, ... 2, 1, 0 richtig sein. (Entsprechendes immer auch bei schwarz).
Falls jede der Möglichkeiten gleich wahrscheinlich wäre, tauscht man bei 16 richtigen 0-mal, bei 15 richtigen 1-mal, bei 14 richtigen 2-mal, ... bei 2 richtigen 14-mal, bei 1 richtigen 15-mal und bei 0 richtigen 16-mal - also im Durchschnitt 8 mal ?

[nuwanda]

Da die Figurenarten unterscheidbar sind, können wir die Berechnung in auf die einzelnen Arten reduzieren.
Ich gebe nun erstmal den groben Weg an, wie ich meine, dass man die W'keit dafür berechnet, dass auf einer ausgewählten Seite (nennen wir sie Seite A) nur Figuren einer Farbe (sagen wir weiß) stehen.

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Reduziere wie folgt:
Wie hoch ist die W'keit, dass
i) der König weiß ist
ii) die Dame weiß ist
iii) die Läufer beide weiß sind
iv) die Springer beide weiß sind
v) die Türme beide weiß sind
vi) die Bauern allesamt weiß sind
Diese einzelnen Fragen lassen sich durch die hypergeometrische Verteilung bestimmen, wenn ich das richtig sehe. Das Produkt der Einzelw'keiten ergibt dann die W'keit dafür, dass auf Seite A nur weiß steht.

Um dann weiterzukommen, müsste geklärt sein, ob die Spieler sich vorher auf die Farben geeinigt werden, oder ob sie ihre Farbe erst nach dem Aufstellen (und Licht anmachen) wählen.
Im ersten Falle ist der gesuchte Erw'wert

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einfach die Summe der Einzelerw'werte der obigen Zerlegung, und damit nebenbei sehr intuitiv.

Sollen die Spieler ihre Farbe erst nach dem Wiederanschalten des Lichtes wählen, beeinflusst das die Ergebnisse jeweils zum Positiven.
Ich gebe auch gerne konkrete Werte an, wenns gewünscht ist, aber nicht mehr heute.^^'

[Neuling]

Die Wahrscheinlichkeit für alle 16 Figuren weiß, wäre nach nuwandas Ansatz:

1/2 * 1/2 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * (8/16 * 7/15 * 6/14 * 5/13 * 4/12 * 3/11 * 2/10 * 1/9)

Noch ungekürzt und nicht ausgerechnet, weil ich nicht weiß, ob das so richtig ist ?

[nuwanda]

Ja, so hab ich die Rechnung auch. Hatte gestern keine Lust mehr, das auszurechnen. Wenn ich mich gerade nicht verkürzt habe, ergibt das 1/308880.
Der Erw'wert von oben (im einfachen Falle) ist dann übrigens 1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1 + 4 = 8 (wie gesagt, sehr intuitiv, man kann erwarten, die Hälfte der Figuren tauschen zu müssen).

[Neuling]

Habe was anderes raus ... ?

1/11119680

[nuwanda]

Offensichtlich hast du Ich muss irgendwo unten gegen unten gekürzt haben oder so. Beim zweiten Mal kam auch deins raus.

[Jahreslos]

Ich bedanke mich bei Neuling und nuwanda für die Lösungsvorschläge.
Ich denke, dass euer Ansatz richtig ist. Also ist es so ähnlich wie beim Ermitteln der Lottowahrscheinlichkeiten (6 aus 49).
Wenn ich blind alle Figuren richtig hingestellt hätte, dann wäre ich einem Sechser im Lotto ziemlich nahe gekommen (ich glaube ca.1/14000000).
Besten Dank nochmal.

Jahreslos.