Das abzuzählen ist gar nicht so leicht. Du kannst für ein beliebiges Gebilde, das man in einem Zug zeichnen kann, so vorgehen:
1.) Alle Punkte, die von nur 2 Linien erreicht werden, kannst du weglassen und aus beiden Linien eine (gekrümmte) Linie machen, so wie Friedel schon sagte.
Dann gibt es hier nur noch Punkte, die von vier Linien oder 3 Linien erreicht werden. Falls es Punkte mit ungerader Linienzahl gibt, dann sind es genau zwei Punkte. Beim Nikolaushaus gibt es zwei solche mit 3 Linien. Von einem davon wird gestartet, der andere ist das Ziel (Z).
2.) Such dir einen Startpunkt (S) aus und eine der drei Linien. Geh auf der Linie zum nächsten Punkt, der neuer Startpunkt (S) wird und mach die Linie weg. Dann zähle die Möglichkeiten in der neuen Situation indem du wieder bei Schritt 1 anfängst, falls es nicht überschaubar ist. Das machst du für alle (drei) Linien, die vom ersten Startpunkt ausgehen und du addierst die drei Anzahlen.
Allgemein ist das für jeden möglichen Startpunkt des ersten Gebildes nötig und alle Möglichkeiten werden addiert.
Man nennt die Gebilde Graphen und den Linienzug Euler-Weg. Gut ist, dass das Problem immer einfacher wird und sich die kleineren Graphen wiederholen. Ich hab 10 Graphen a, b, …, j aufgezeichnet, die dein Problem beschreiben.
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Nach Anwendung von Schritt 1 entsteht a aus deinem Nikolaushaus mit Mittelpunkt, c aus dem üblichen Haus vom Nikolaus ohne Benutzung des Mittelpunktes. S und Z sind Start- und Zielpunkte des Euler-Weges. Ich nehme jetzt mal die Buchstaben der Graphen für die Anzahl der Euler-Wege. Dann ist entsprechend Schritt 2:
a=b+c+d
b=e+f+f
c=g+f+f
d=f+f (hier die erste und letzte Linie weglassen)
e=h+i+h
f=h+j+j
g=j+j (hier die erste und letzte Linie weglassen)
h=4 (der untere Kringel kann in 2 Richtungen durchlaufen werden)
i=4 (beide Kringel haben 2 Richtungen)
j=3*2*1=6 (am Anfang 3 Möglichkeiten, dann 2 und dann eine Möglichkeit)
--->
g=12, f=16, e=12, d=32, c=44, b=44, a=120
Jetzt noch doppelt nehmen, da die beiden Startpunkte in beiden Häusern symmetrisch sind. Mit Mittelpunkt sind es dann 2*a=240 Wege und ohne Mittelpunkt sind es 2*c=88 Wege und du musst 152 Wege mehr machen.
Liebe Grüße, Otmar.
