Rätsel + Denksport Forum

[Neuling]

Gegeben sei ein quadratisches Gitter mit einer ungeraden Anzahl von waagerechten und der gleichen ungerader Anzahl von senkrechten Gitterlinien. Ungerade deshalb, weil der Mittelpunkt dieses Quadrates auf einem Gitterlinienkreuzungspunkt liegen soll. Die Abstände der Gitterlinien zueinander sei gleich 1 (eine Einheit).

In das Gitter konstruiere man den größtmöglichen Innenkreis.

Skizze Gitter n = 9.png (4.79 KiB) 933-mal betrachtet

Die Frage ist:
Gibt es eine "Gesetzmäßigkeit", die man durch Formeln ausdrücken kann, so dass man für ein beliebig vorgegebenes, ungerades n (n = Anzahl der waagerechten = Anzahl der senkrechten Gitterlinien) folgendes berechnen kann:

Wie viele der Gitterkreuzungspunkte liegen
a) auf dem Kreis (mathematisch genau)
b) im Innern des Kreises
c) außerhalb des Kreises

Die Stärke der Gitterlinien soll für die Betrachtung vernachlässigt werden.

[Neuling]

Ich habe mir das mal für n = 3 bis n = 15 auf kariertem Papier mit Zirkel und Lineal aufgezeichnet und die Punkte "abgezählt" und in einer Tabelle festgehalten (ohne Garantie).

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Gitter Punkteverteilung.png (4.43 KiB) 933-mal betrachtet

Leider kann ich noch keine Gesetzmäßigkeit erkennen.
Bei n = 11 liegen erstmalig mehr als 4 Punkte auf dem Kreis.

[Half-Eye]

Bei dem, was ich mir gerade ausgedacht habe, kommt man zwar ohne Zeichnen, aber nicht ohne Probieren aus. Oder besser gesagt "Ausprobieren".

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Wenn man nur ein Kreisviertel hernimmt, dann kann man die Punkte darauf mit

x^2 + y^2 = ((n-1)/2)^2

berechnen. [((n-1)/2)^2 wäre bei n = 9 also 4^2 = 16]
Punkt (a) wären dann für A (Die Lösungen mit den ganzzahligen x und y):

a = (A - 1) * 4

Für Punkt (b) wären für B (die Kombinationen ganzzahliger x und y, bei denen x^2 + y^2 kleiner als der andere Term sind), wobei y nicht null sein darf:

b = B * 4 + 1

Für Punkt (c) wären für C (die Kombinationen ganzzahliger x und y, bei denen x^2 + y^2 größer als der andere Term sind):

c = C * 4

Ich habe das jetzt nicht getestet, aber es dürfte dich schonmal weiter bringen.

[Neuling]

Half-Eye, ich danke dir schon mal.

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Ich habe den Satz des Pythagoras auch schon zur Hilfe genommen. Hatte mal auf ein A4 Blatt das größtmögliche Quadrat und den entsprechenden Kreis eingezeichnet. Durch die Strichstärke ergab sich da eine ziemliche Ungenauigkeit. Um sicher zu gehen, ob ein vermuteter Punkt auf dem Kreis liegt, habe ich dann die Überprüfung mit x² + y² = r² durchgeführt. Das Ergebnis war dann aber leider, dass sich r nicht als ganzzahlig ergab und somit der Punkt (wenn auch mit wenig Abweichung) nicht exakt auf dem Kreis lag.

Ich hatte das heut Nacht nicht geschrieben, um erst einmal zu hören, wie andere an dieses Problem herangehen.

Aber zur Überprüfung, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt, eignet sich der Satz des Pythagoras hervorragend.

[Otmar]

Hallo Neuling,
ich glaube nicht, dass es für die drei gesuchten Zahlen eine geschlossenen Formel gibt. Abe man kann die Phytagoreischen Tripel recht effizient finden.

Schau mal in,
Lösung von Fünfkornsemmeln
Da gibt es noch weitere Links.

Mit den Verfahren könnte man mal die ersten Anzahlen rechnen und dann die Folge dieser Zahlen ins Google geben um auf OEIS alles möglich dazu zu finden.

[Neuling]

Hallo Otmar!
Danke für deine Tipps.
LG Neuling

[Musagetes]

Hallo Neuling,

da hast du ja eine echt interessante Problemstellung ausgegraben!

Als ich dein „Kreisgitterquadrat“ sah,
wusste ich, dass ich das schon mal gesehen hatte.

Diese Fragestellung ist ein altbekanntes Problem.
Hiermit haben sich schon, einige Mathematiker befasst
und ist unter dem „Gauß Kreis Problem“ zu Ruhm gelangt.

Im Netz findest du unter dem „Gauss Circle Problem“
eine Menge Abhandlungen dazu.
Hier ein paar Auszüge zum einlesen:
http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html
http://www.finanz.jku.at/uploads/tx_mypubl/zth_01.pdf
http://www.matheplanet.com/default3.htm ... pic=153743

Das Problem wurde 1999 „befriedigend“ und abschließend gelöst.

Dann wünsche ich dir noch viel Spaß beim Probleme lösen!

Liebe Grüße
Musagetes

[Neuling]

Hallo Musagetes!
Ich danke dir für diese Links. Habe auch ein bisschen darin gelesen.
Bei dieser Aufgabe war ich nur "Erfüllungsgehilfe".
Da ich aber nur bedingt helfen konnte, hatte ich die Aufgabe hier ins Forum gestellt.
Deine Links habe ich weitergereicht.
Gruß Neuling