Kaugummi in Packungen

[Saxxxe]

Ich komme hier immer wieder durcheinander mir eine Formel zu erstellen, eigentlich ist es doch simple Mathematik...

Du hast vier Kaugummipackungen.
In den Packungen A und B befinden sich zusammen doppelt so viele Kaugummis wie in Packung C.
B und D enthalten zusammen wiederum doppelt so viele wie A.
Nimmst du drei Kaugummis aus der Packung D und steckst sie in Packung A,
sind in A doppelt so viele wie in B.
In welcher Packung befinden sich 6 Kaugummis?

[MadMac]

Anzahl Kaugummis in den einzelnen Packungen:
A, B, C, D

Mehr ->

A+B = 2*C
B+D = 2*A
A+3 = 2*B
oder umgeformt
A + B -2C = 0
-2A + B +D = 0
- A +2B = 3

Das Gleichungssystem lässt sich noch nicht eindeutig lösen. Möglichkeit 1: Ich nehme an, es gibt tatsächlich eine Packung, in der 6 Kaugummis drin sind. Da brauch nich nur viermal ausprobieren und lösen:
A = 6 => 2B = 9 -> geht nicht
B = 6 => A = 9, 2C = 15 -> geht nicht
C = 6 => B = 5, A = 7, D = 9 -> Lösung
D = 6 => B = 4, A = 5, 2C = 9 -> geht nicht

Oder man probiert für ganze Zahlen durch (die mit nicht-ganzzahligen Werten lasse ich aus):
A, B, C, D
3 3 3 3
7 5 6 9
11 7 9 15
15 9 12 21
19 11 15 27
...

Gruß,
MadMac

[Saxxxe]

Danke.
Mit der annahme/wissen dass es in einer Packung 6 geben muss/kann bin ich durcheinander gekommen...

[Otmar]

Du kommst relativ einfach zu einer Lösung, wenn du die drei Gleichungen:

A+B=2C, B+D=2A und A+3=2B modulo 4 löst. Dann kann nur C alle 4 Reste (0,1,2,3) annehmen. A hat Rest 3 und auch B und D haben ungerade Reste bei Division durch 4. Die Probe bringt dann auch die Lösung für C.

[Otmar]

Nochmal ausführlicher, alles modulo 4:
este Gleichung A+B=2C -->
2A+2B=4C=0 dritte Gleichung einsetzen --->
2A+A+3=0 -->
3A+3=0 mal 3 nehmen
9A+9=0 -->
A+1=0 -->
A+4=3-->
A=3 (mod 4)
Dritte Gleichung A+3=2B --->
3+3=2B --->
2=2B, Achtung, hier nicht kürzen, sondern B={1,3} als Lösungsmenge stehen lassen, wie gesagt, modulo 4.
Zweite Gleichung:
B+D=2A ---> D=2A-B = 6-{1,3} = {1,3}
Probe mit C=6, jetzt nicht mehr modulo 4:
2C=12=A+B= (2B-3)+B= 3B-3 ---> B=5, A=7
B+D=2A-->5+D=14 --> D=9
D.h. es gibt eine Lösung für 6 Kaugummis in C. Es gibt keine Lösung für 6 Kaugummis in A, B oder D. Es gibt aber auch Lösungen mit mehr Kaugummis in C, z.B. C=60, B=50, A=70 und D=90.