Wo sind die Silbermünzen?

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Wo sind die Silbermünzen?

Beitragvon Myrlin » Samstag 19. Januar 2019, 15:18

Ein Quader, bestehend aus 3×3×3 identischen Einzelquadern, und in fast jedem Einzelquader befinden sich 27 Goldmünzen; in einem Einzelquader sind 27 Silbermünzen.

Das Gewicht aller Goldmünzen ist absolut Identisch; das der Silbermünzen auch, aber eine Silbermünze wiegt etwas weniger als eine Goldmünze, nämlich 26 anstatt 27 Gramm.

Insgesamt sind es also 26×27 Goldmünzen und 27 Silbermünzen.

Dazu eine; durch Knopfdruck aktivierbare, Wiegevorrichtung, die absolut Präzise das Gewicht anzeigt.

Diese Waage wurde inklusive nach unten hängender Kette und an ihr befestigte Waagschale auf '0' geeicht.

Das Gewicht der Kette sowie der Waagschale ist nicht definiert.

Bei Aktivierung zeigt die Wiegevorrichtung das an ihr hängende Gewicht an, und der Wiegevorgang wird zeitgleich beendet. Man kann also Münzen entfernen oder hinzufügen, aber das angezeigte Resultat ändert sich dadurch nicht.

Die Waage kann bis zu 243 Gramm wiegen, welches 9×27 entspricht.

Bei größerem Gewicht zeigt die Waage Error an.

Erschwerend kommt hinzu, das nach jedem ausgelöstem Wiegevorgang, zufällig ermittelt, entweder 25 oder 26 Gramm hinzugefügt werden.

Das angezeigte Gewicht kann beim zweiten Wiegevorgang also 243+25=268 oder 243+26=269 Gramm sein.

Beim dritten Wiegevorgang also 243+2×25, 243+2×26 oder 243+25+26 Gramm.

Gesucht ist die Minimumsanzahl an Knopfdrücken/Wiegevorgängen, um zu ermitteln, in welchem Einzelquader die Silbermünzen sind.

Mit wie wenigen Wiegevorgängen ist diese Aufgabe lösbar?
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Start: Samstag 19. Januar 2019, 15:18
Ende: Sonntag 20. Januar 2019, 15:18
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Re: Wo sind die Silbermünzen?

Beitragvon mikelbig » Montag 4. Februar 2019, 19:47

Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht...
Wenn man das ganze rumdefiniere am Anfang mal abkürzt gibt es also 27 Objekte, von denen 26 einen Inhalt von 729g haben und eines mit einem Inhalt von 702g (+ Gewicht des Behältnisses). Keines davon kann direkt gewogen werden, da die Waage nur 243g wiegen kann.
Also muss man den Inhalt entnehmen. Damit fehlt eine wichtige Voraussetzung: die ganze Aktion findet entweder im Finstern statt oder der Wiegende muss (farben)blind sein. Sonst würde er ja sehen, ob er ne Gold- oder Silbermünze herausnimmt. Also nochmal von Vorne:

- 27 Behältnisse, davon 26 gefüllt mit gleichen Objekte von je 27g, eines mit identisch aussehenden Objekten zu je 26g.

- Es können maximal 9 Objekte gleichzeitig gewogen werden

- eine Waage mit einer Drift von +25 oder +26g je Wiegevorgang, ansonsten präzise.

Sie wurde übrigens ganz sicher nicht auf 0 geeicht, allerhöchstens kalibriert. Wobei es auch irrelevant ist, ob das Gewicht von Kette und Waagschale bekannt ist oder nicht. oder ob die Waage überhaupt eine Kette hat.

Nun zu einem ersten Lösungsansatz:
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Aus jedem Behälter werden 2 Objekte genommen. Gewogen werden der Reihe nach Topf 1-4, 5-8, 9-12 etc.
Bei 8*27g zeigt die Waage beim ersten Mal 216g. Sind die leichteren darunter, so sind es nur 214g und die anderen Behälter können ignoriert werden. Wenn nicht, werden 8 Objekte aus den nächsten 4 Behältern gewogen. Dabei steigt das Gewicht gegenüber der letzten Messung entweder um 25 oder 26g, oder nur um 23 oder 24g. In letzterem Fall befinden sich die leichteren Objekte unter den gerade gewogenen.
Nach 1-7 Wiegevorgängen stehen die 4 Behälter fest, in denen die leichteren Objekte sind.
Nächste Wiegung sind jeweils 2 Objekte aus den besagten 4 Behältern. Aus dem ersten legen wir 2 und dem zweiten 4 Objekte auf die Waage. Damit ist entweder klar, in welchem Behälter die leichteren sind, oder sie sind in den beiden anderen, also nochmal eine Wiegung
Insgesamt also 2-9 Wiegevorgänge.

Man kann auch 3 Objekte aus je 3 Behältern nehmen. Dann sind es anfangs 1-9 Messungen und danach nochmal 1-2 also 2-11 insgesamt. Worst Case also zwei mehr.

Alternative: Man nimmt aus Behälter 1 1 Objekte, aus Behälter 2 2, aus Behälter 3 3. Aus dem Ergebnis lässt sich beim ersten Wiegen evtl. sofort sagen, in welchem Behälter die leichteren Objekte sind. Das lässt sich aber nicht für die weiteren Schritte durchführen, da ja eine Unsicherheit von 1g besteht und der Wiegevorgang auf 9 Objekte begrenzt ist. Damit ließe sich aber in Variante 2 das Minimum auf 1 Wiegevorgang reduzieren. Das Maximum bleibt bei 11.
oder in Variante 1, indem beim ersten Wiegen halt nur 3, danach bis zu 6* 4 Behälter getestet werden. Dann haben wir 1-9 Versuche.

Vermutlich gibt es noch einen effizienteren Weg, aber ich habe jetzt Büroschluss :)
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