Variante von 12 Kugeln 3 mal wiegen

[Otmar]

Vielleicht kennt ihr die Aufgabe in der 12 äußerlich gleiche Kugeln gegeben sind. 11 Kugeln haben das gleichte Gewicht, sagen wir das Normalgewicht. Bei einer Kugel weicht das Gewichts etwas vom Normalgewicht ab. Wie muss man vorgehen, um durch 3 mal Wiegen mit einer Balkenwaage herauszufinden, welche Kugel abweicht und ob diese schwerer oder leichter ist?

Soweit zum Original.

In dieser Variante gibt es eine Einschränkung: Man darf beim Wiegen auf jede Waagschale nur eine ungerade Anzahl von Kugeln legen. Dafür gibt es noch weitere markierte Kugeln mit Normalgewicht, die beim Wiegen mitverwendet werden können. Jede markierte Kugel darf nur zu einer Wägung verwendet werden.

Wieviele markierte Kugeln sind mindestens nötig, um durch 3 mal Wiegen die abweichende Kugel sicher zu finden und festzustellen, ob diese schwerer oder leichter ist?
Warum geht es nicht mit weniger markierten Kugeln?
Wie muss gewogen werden?

[Hans-Peter]

Hi Otmar,

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das Original ist ja klar.
In meinen Augen: Die schönste Denksportaufgabe überhaupt.
Zu besagter Variante: Links und rechts ne markierte Kugel mit Normgewicht, ändert ja nichts.

Horridoh, H.-P.

[Otmar]

Hallo Hans-Peter,

das Original ist ja klar.
In meinen Augen: Die schönste Denksportaufgabe überhaupt.

Das finde ich auch. Und die Lösung zum Original oder Teile davon dürfen auch zur Lösung der Variante verwendet werden, falls das möglich ist, ohne nochmal alles aufzuschreiben.

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Zu besagter Variante: Links und rechts ne markierte Kugel mit Normgewicht, ändert ja nichts.
Horridoh, H.-P.

Dieser Gedanke ist völlig richtig

Damit wird die noch zu untersuchende Anzahl an notwendigen markierten Kugeln auf

A) keine,
B) nur eine oder
C) zwei

eingeschränkt. Ob A, B oder C richtig ist, verrate ich natürlich noch nicht. Sollte C richtig sein, wäre die letzte Fage natürlich beantwortet. Es könnte hilfreich sein, mit der zweiten Frage "warum es nicht mit weniger markierten Kugeln geht" anzufangen.

Gruß Otmar

[Otmar]

Hallo zusammen,
nicht dass jemand meine Antwort auf Hans-Peters Lösungsversuch falsch verstanden hat:

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Obwohl der Gedanke von Hans-Peter richtig ist, und die Suche nach der Anzahl der nötigen Zusatzkugeln einschränkt, ist die Lösung nicht ganz so einfach, denn es geht mit weniger Zusatzkugeln, man braucht höchstens eine. Sonst wäre die Variante doch etwas "zu billig" gewesen... Oder?

Gruß Otmar

[black]

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Mit zwei weiteren Wiegungen kann man maximal 9 Fälle unterscheiden.
Mehr mögliche Ergebnisse dürfen nach dem 1. Wiegen nicht übrig bleiben, da die Aufgabe sonst nicht mehr lösbar ist.

Beim ersten Wiegen dürfen also maximal 4 der 12 Kugeln nicht am Wiegen teilnehmen, da sonst zusammen mit schwerer/leichter im Falle einer Gleichheit beim ersten Wiegen mehr als 9 mögliche Lösungen verbleiben.
Es müssen also mindestens 8 der Kugeln beim ersten Mal gewogen werden.

Im Falle der Ungleichheit beim 1. Wiegen steht für die möglichen Kandidaten schwerer/leichter schon fest, aber deren Anzahl darf aus o.g. Grund natürlich nicht größer 9 sein.

Es müssen also 8-9 der unbekannten Kugeln beim ersten Mal gewogen werden.

Die Randbedingungen (ungerade Anz. je Seite) erfüllt man daher minimal mit einer zusätzlichen markierten Kugel.


Lösungsschritte:

geg: 12 Kugeln 1-12 und zusätzlich eine markierte Kugel M
Abk: G: gleich schwer, L: links schwerer, R: rechts schwerer, zl : zu leicht, zS: zu schwer, nM: nicht möglich

1: 1,2,3,4,5 vs 6,7,8,9,M        G: zu 2.1  L: zu 2.2  R: zu 2.3


2.1: 10 vs 11                    G: zu 3.1  L: zu 3.2  R: zu 3.3
2.2: 1,6,10,11,12 vs 2,3,7,8,M   G: zu 3.4  L: zu 3.6   R: zu 3.8
2.3: 1,6,10,11,12 vs 2,3,7,8,M   G: zu 3.5  L: zu 3.9   R: zu 3.7


3.1: 12 vs M                     G: nM      L: 12 zS   R: 12 zL

3.2: 10 vs M                     G: 11 zL   L: 10 zS   R: nM 
3.3: 10 vs M                     G: 11 zS   L: nM      R: 10 zL

3.4: 4 vs 5                      G: 9 zL    L: 4 zS    R: 5 zS 
3.5: 4 vs 5                      G: 9 zS    L: 5 zL    R: 4 zL

3.6: 7 vs 8                      G: 1 zS    L: 8 zL    R: 7 zL 
3.7: 7 vs 8                      G: 1 zL    L: 7 zS    R: 8 zS 

3.8: 2 vs 3                      G: 6 zL    L: 2 zS    R: 3 zS
3.9: 2 vs 3                      G: 6 zS    L: 3 zL    R: 2 zL

Übrigens ist mein 2.1 recht verschwenderisch. Man kann mit einer markierten Kugel sogar aus 13 unbekannte Kugeln die richtige
samt schwerer/leichter finden.

[Otmar]

Hi Black,
wollte gerade einen Tipp geben, aber der ist nicht mehr nötig. Nicht dass du dich wunderst, dass noch kein Haken kommt, aber

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In der Aufgabe steht, dass jedes M nur zu einer Wägung verwendet werden darf. Da du aber nicht nur in der ersten Wägung, sondern auch bei 2.2. und 2.3. eine markierte Kugel brauchst, da die bekannten Kugeln 10, 11, 12 ja schon verwendet werden, sind bei deiner Lösung, wie bei Hans-Peter, auch 2 markierte Kugeln nötig und damit sind wir noch nicht am Ziel. Bei 3 könnte man M ja problemlos durch 1 ersetzen und hätte kein Problem.

Eigentlich ist die Aufgabe für 13 Kugeln entstanden, weil ich 26 Möglichkeiten aus den 27 Wägeergebnissen rausholen wollte. Dann sind es aber 12 geblieben, weil ich mich auf die Originalaufgabe beziehen wollte.

Interessant ist, dass du für 13 Kugeln eigentlich fertig wärest, weil du dann in 2.2 und 2.3 M durch 13 ersetzen könntest. Für den Fall 1. G hätten wir ja die Wägung der Originalaufgabe. Es scheint jetzt so zu sein, dass die Aufgabe mit 12 Kugeln schwerer ist, als mit 13. Das war aber keine Absicht.

Ich glaube nicht, dass ich noch lange auf die Lösung warten muss.

Gruß Otmar

PS: Deine Nomenklatur und die dadurch entstandene Übersicht ist Klasse.
Gruß Otmar

[black]

Ups, da hab ich mal wieder was Wichtiges übersehen.

Aber so konnte ich gleich zweimal rätseln.

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In der Aufgabe steht, dass jedes M nur zu einer Wägung verwendet werden darf.

Glücklicherweise wird die Lösung damit nicht komplizierter, sondern eleganter, da mich diese Bedingung zwingt, bei 2. auf die 'Füllkugeln' zu verzichten.

1: 1,2,3,4,5 vs 6,7,8,9,M        G: zu 2.1  L: zu 2.2  R: zu 2.3


2.1: 10 vs 11                    G: zu 3.1  L: zu 3.2  R: zu 3.3
2.2: 2,8,9 vs 1,6,7              G: zu 3.4  L: zu 3.6  R: zu 3.8
2.3: 2,8,9 vs 1,6,7              G: zu 3.5  L: zu 3.9  R: zu 3.7


3.1: 12 vs M                     G: nM      L: 12 zS   R: 12 zL

3.2: 10 vs M                     G: 11 zL   L: 10 zS   R: nM 
3.3: 10 vs M                     G: 11 zS   L: nM      R: 10 zL

3.4: 3 vs 4                      G: 5 zS    L: 3 zS    R: 4 zS 
3.5: 3 vs 4                      G: 5 zL    L: 4 zL    R: 3 zL

3.6: 6 vs 7                      G: 2 zS    L: 7 zL    R: 6 zL 
3.7: 6 vs 7                      G: 2 zL    L: 6 zS    R: 7 zS 

3.8: 8 vs 9                      G: 1 zS    L: 9 zL    R: 8 zL
3.9: 8 vs 9                      G: 1 zL    L: 8 zS    R: 9 zS

Alles andere siehe 1. Posting.

PS: Deine Nomenklatur und die dadurch entstandene Übersicht ist Klasse.

Jetzt ist sie noch etwas übersichtlicher.

[Otmar]

Hallo Black,
das ging wirklich schnell . Und alles

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Bei 3 hab ich M schon wie besprochen durch 1 ersetzt. Interessant, dass du eine andere Lösung hast. Ich hatte bei 2.2 und 2.3
1,2,6 vs. 3,4,7 gewogen und bin auch hingekommen.

Ciao Otmar

[black]

Bei 3 hab ich M schon wie besprochen durch 1 ersetzt.

Ups, Copy&Paste.

Jetzt aber hoffentlich ohne Fehler:

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1: 1,2,3,4,5 vs 6,7,8,9,M        G: zu 2.1  L: zu 2.2  R: zu 2.3


2.1: 10 vs 11                    G: zu 3.1  L: zu 3.2  R: zu 3.3
2.2: 2,8,9 vs 1,6,7              G: zu 3.4  L: zu 3.6  R: zu 3.8
2.3: 2,8,9 vs 1,6,7              G: zu 3.5  L: zu 3.9  R: zu 3.7


3.1: 12 vs 1                     G: nM      L: 12 zS   R: 12 zL

3.2: 10 vs 1                     G: 11 zL   L: 10 zS   R: nM 
3.3: 10 vs 1                     G: 11 zS   L: nM      R: 10 zL

3.4: 3 vs 4                      G: 5 zS    L: 3 zS    R: 4 zS 
3.5: 3 vs 4                      G: 5 zL    L: 4 zL    R: 3 zL

3.6: 6 vs 7                      G: 2 zS    L: 7 zL    R: 6 zL 
3.7: 6 vs 7                      G: 2 zL    L: 6 zS    R: 7 zS 

3.8: 8 vs 9                      G: 1 zS    L: 9 zL    R: 8 zL
3.9: 8 vs 9                      G: 1 zL    L: 8 zS    R: 9 zS

Interessant, dass du eine andere Lösung hast. Ich hatte bei 2.2 und 2.3 1,2,6 vs. 3,4,7 gewogen und bin auch hingekommen.

Solange man genau 3 raus schmeißt und genau 3 die Seite wechseln kommt man ja immer in Rom an.

[Otmar]

Hi Black,
und ich hab ganz vergessen, den Haken zu setzen. War ja auch schon spät gestern Abend.
Gruß Otmar