Umverteilung von Streichhölzern Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Umverteilung von Streichhölzern

Beitragvon Neuling » Samstag 17. April 2021, 15:00

Mäxchen spielt mal wieder mit Streichhölzern.
Wie viele er für sein Spiel mindestens benötigt, soll erraten werden und auch, wie die erste Aufteilung aussehen muss.


Also:
Mäxchen teilt seine Streichhölzer in 5 kleine Häufchen ein, wobei jedes Häufchen eine andere Anzahl von Streichhölzern enthält.
Die Häufchen seien mit A, B, C, D und E benannt und es gilt: A > B > C > D > E.
Jetzt nimmt er von A so viele Hölzchen weg, dass er zu jedem anderen Häufchen so viele Hölzchen legen kann, wie sich dort bereits befinden. (liegen z.B. in einem Stapel 10 Hölzchen, so packt er 10 weitere hinzu)
Nun liegen in B die meisten Streichhölzer und er verteilt einige davon nach dem gleichen Prinzip (so viele, wie sich in einem Häufchen bereits befinden, werden neu hinzugelegt. Auch zu A werden wieder Hölzchen gelegt.)
Jetzt liegen in C die meisten Streichhölzer und es wird nach gleichem Prinzip umverteilt.
usw.
Wenn aus jedem Häufchen einmal eine Umverteilung vorgenommen wurde, liegen in allen 5 Häufchen die gleiche Anzahl von Streichhölzern.
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Samstag 17. April 2021, 15:00
Ende: Montag 19. April 2021, 15:00
Aktuell: Samstag 18. September 2021, 21:34
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Re: Umverteilung von Streichhölzern

Beitragvon Friedel » Samstag 17. April 2021, 16:07

Nach einer falschen Idee war der 2. Ansatz erfolgreich:
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  A |  B |  C |  D |  E 
81 | 41 | 21 | 11 | 6
2 | 82 | 42 | 22 | 12
4 | 4 | 84 | 44 | 24
8 | 8 | 8 | 88 | 48

16 | 16 | 16 | 16 | 16
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Re: Umverteilung von Streichhölzern

Beitragvon Neuling » Montag 19. April 2021, 15:05

@Friedel - deine Tabelle ist nicht ganz richtig!
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Re: Umverteilung von Streichhölzern

Beitragvon Friedel » Montag 19. April 2021, 20:41

Da hab ich 'ne Zeile vergessen


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  A |  B |  C |  D |  E 
81 | 41 | 21 | 11 | 6
2 | 82 | 42 | 22 | 12
4 | 4 | 84 | 44 | 24
8 | 8 | 8 | 88 | 48
16 | 16 | 16 | 16 | 96

32 | 32 | 32 | 32 | 32
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Re: Umverteilung von Streichhölzern

Beitragvon Neuling » Montag 19. April 2021, 21:41

@Friedel - :daumen:

Folgende Herangehensweise führt zum Ziel:
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Im Häufchen A verbleiben nach der ersten Umverteilung noch x Streichhölzer. (x > 0, denn bei x = 0 könnte man nicht mehr verdoppeln und am Ende sollen ja alle Häufchen gleich groß sein). Diese Anzahl x wird jetzt bei jeder weiteren Umverteilung verdoppelt. Vier mal wird noch verdoppelt, also liegen am Ende 16x Streichhölzer auf dem Häufchen A. Und da am Ende alle Häufchen die gleiche Anzahl Streichhölzer enthalten, sind 5 mal 16x = 80x Hölzchen im Spiel.

Umverteilung Tabelle.gif
Umverteilung Tabelle.gif (8.59 KiB) 181-mal betrachtet


Eine solche Tabelle kann man jetzt mal für x = 1 von unten befüllen.
Es wären 5 * 16 = 80 Streichhölzer im Spiel und am Ende 5 Häufchen zu je 16 Streichhölzern vorhanden.
Die roten Zahlen in der Tabelle lassen sich errechnen:
Vor der letzten Umverteilung mussten in A, B, C und D je 8 Streichhölzer liegen, die aus dem Häufchen von E zu verdoppeln waren.
Es mussten also 4 mal 8 Streichhölzer von E weggenommen werden und außerdem mussten 16 Hölzer in E bleiben. Das heißt, der Haufen E bestand vor der letzten Umverteilung aus 48 Streichhölzern.
Bei der Umverteilung davor mussten von D je 4 Streichhölzer für A, B und C und 24 Streichhölzer für E entnommen werden und es mussten 8 Hölzchen bleiben, also waren 44 Streichhölzer in D.
usw.
In der so erstellten Tabelle sieht man, dass oben nach der 1. Umverteilung in B, C und D eine ungerade Anzahl von Streichhölzern liegen müsste, was aber nicht sein kann, wenn verdoppelt wurde. Also kann x nicht 1 sein.

Umverteilung für x = 1.gif
Umverteilung für x = 1.gif (9.78 KiB) 181-mal betrachtet


Für x = 2 ergibt sich eine Lösung - die Tabelle wurde wieder von unten beschrieben:

5*32 = 160 Streichhölzer müssen es zu Beginn sein und als Aufteilung ergibt sich:
A = 81, B = 41, C = 21, D = 11, E = 6


Umverteilung für x = 2.gif
Umverteilung für x = 2.gif (10.44 KiB) 181-mal betrachtet
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