Spielsteinetausch Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Spielsteinetausch

Beitragvon Neuling » Sonntag 2. Mai 2021, 01:00

Mäxchen hat ein Spielbrett der Größe 3 x 3 Felder.
Auf jedem Feld liegt ein Spielstein mit der Ziffer 1.
Er hat außerdem noch 8 Spielsteine mit den Ziffern 2 bis 9.

Spielsteinetausch.gif
Spielsteinetausch.gif (6.37 KiB) 194-mal betrachtet

Jetzt möchte Mäxchen ein paar Spielsteine auf dem Brett austauschen und zwar so, dass die Summe der Spielsteine in jeder Zeile, Spalte und (3er)Diagonale eine andere ist - also acht verschiedene Summen entstehen. Außerdem soll die Summe aller Steine, die dann auf dem Spielbrett liegen, so klein wie möglich sein.
Wer kann ihm helfen?
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Sonntag 2. Mai 2021, 01:00
Ende: Dienstag 4. Mai 2021, 01:00
Aktuell: Samstag 18. September 2021, 20:58
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Friedel » Montag 3. Mai 2021, 16:34

Hallo,
ich habe keinen Weg gefunden, das Rätsel ohne sehr viel Aufwand zu lösen. Ich habe habe eine unsaubere Methode genutzt, um etwas zu finden, von dem ich vermute, dass es eine Lösung ist.

Mehr ->
Ich habe das ganze mit einem einfachen Script mit Brute Force "gelöst". Dabei habe ich einige Kombinationen ausgeschlossen und vermutet, dass es bei der Kombination mit der kleinsten Gesamtsumme eine Reihe (oder Spalte) mit 3 Einser-Steinen gibt. Die dann möglichen Kombinationen habe ich einfach durchprobiert. Dabei bin ich auf 22706 mögliche Kombinationen gekommen, deren kleinste Gesamtsumme 19 ist. Wenn die untere Reihe die Reihe mit den 3 Einsen ist, gibt es 10 Anordnungen mit Gesamtsumme 19.


Mehr ->
513  Lösung 173
421 → 19
111

542 Lösung 644
131 → 19
111

245 Lösung 681
131 → 19
111

145 Lösung 763
231 → 19
111

412 Lösung 899
531 → 19
111

153 Lösung 1427
241 → 19
111

541 Lösung 5187
132 → 19
111

351 Lösung 5410
142 → 19
111

315 Lösung 9152
124 → 19
111

214 Lösung 11515
135 → 19
111


Mehr ->
Da ich jetzt weiß, dass es Kombinationen mit Gesamtsumme 19 gibt, könnte ich das Script leicht optimieren, um ganz sicher zu gehen, dass es keine Anordnung mit Gesamtsumme unter 19 gibt. Aber ich warte lieber ab, ob das vielleicht jemand eleganter lösen kann.
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Friedel » Montag 3. Mai 2021, 18:47

Ok, das Einkaufen ist schnell gegangen.
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Mit 5 Einsen und je einer 2, 3, 4 und 5 kommt man auf die Gesamtsumme 19. Dass man mit 6 Einsen nicht auf lauter verschieden Summen kommt, kann man relativ leicht überprüfen. Es gibt ja eine überschaubare Zahl von Anordnungen für die 3 Nicht-Einsen. Und immer ist mindestens 1 Nicht-Eins in mindestens 2 Reihen, Spalten oder Diagonalen, die sonst nur Einsen hat.

Es gibt 72 Kombinationen von 5 Einsen und je einer 2, 3, 4 und 5, die alle Bedingungen erfüllen. Wie man die allerdings ohne Programmierung finden kann, weiß ich nicht. Da ja nicht vorher wusste, dass es überhaupt Lösungen mit Summe 19 gibt, musste ich zunächst auch mit größeren Steinen probieren und habe ohne Script nur Lösungen mit Summe 20 und mehr gefunden.


Ich bin gespannt, ob jemand eine Lösung ohne Rechnerunterstützung anbieten kann.
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Neuling » Dienstag 4. Mai 2021, 01:50

@Friedel - ja, Mäxchen hat seine Lösungen ganz ohne Rechnerhilfe gefunden.
Ich beschreibe hier mal seine Überlegungen und seinen Weg der Lösungsfindung.
Einiges deckt sich mit deinen Erläuterungen.
Und dass es keine kleinere Gesamtsumme geben kann, folgt aus seinem und auch aus deinem Ansatz.

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1. Überlegung
Kann man durch den Tausch von nur drei Steinen, acht verschiedene Summen erhalten?
Dazu hat Mäxchen einfach mal 3 Steine durch 7, 8, 9 ersetzt.
Egal wie er diese drei Steine platzierte, er hat immer auch identische Reihensummen bekommen.
Fazit: Man muss mindestens 4 oder mehr Steine austauschen.

Falls es mit 4 Austauschsteinen gehen sollte und die Summe ja möglichst klein sein soll, probiert Mäxchen es dann gleich mit 2, 3, 4, und 5.
Auf dem Brett liegen dann 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4 und 5 - also Summe 19. Kleiner geht dann nicht!
Damit kann er Reihensummen von 3 (1,1,1), 4 (1,1,2), ... bis 12 (3,4,5) bilden. Einige nur auf eine Art, andere auf zwei Arten.

Je drei dieser Reihensummen (3 Zeilen bzw. 3 Spalten) müssen die Gesamtsumme 19 ergeben:
(3, 4, 12), (3, 5, 11), (3, 6, 10), (3, 7, 9), (4, 5, 10), (4, 6, 9), (4, 7, 8), (5, 6, 8)

Alle Möglichkeiten (3 Zeilensummen und 3 Spaltensummen), die dann evtl. zu einer Lösung führen könnten, sind:
1. (3, 4, 12) und (5, 6, 8)
2. (3, 5, 11) und (4, 6, 9)
3. (3, 5, 11) und (4, 7, 8)
4. (3, 6, 10) und (4, 7, 8)
5. (3, 7, 9) und (4, 5, 10)
6. (3, 7, 9) und (5, 6, 8)

Aus den Möglichkeiten 3, 4 und 5 hat Mäxchen durch "einfaches legen" diese 4 Lösungen gefunden. Durch Drehungen und/oder Spiegelungen kann man daraus weitere Lösungen erstellen.

Spielsteinetausch Lösungen.gif
Spielsteinetausch Lösungen.gif (13.81 KiB) 170-mal betrachtet

@Friedel
Mäxchen hatte nicht den Anspruch - falls es mehrere optimale Lösungen geben sollte - diese alle zu finden!
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Bei deinen 10 Lösungen sind einige Spiegelungen dabei.
Eine Lösung habe ich aber bei dir entdeckt, die hat Mäxchen nicht. Deine Lösung 899.
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Friedel » Dienstag 4. Mai 2021, 17:19

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Die Lösungen können ja nicht symmetrisch sein. (Bei einer symmetrischen Anordnung gibt es ja zwangsläufig doppelt vorkommende Summen der Reihen.) Die Spiegelung einer Lösung an der senkrechten Mittelachse erzeugt also eine weitere Lösung. Un die Spiegelung der ursprünglichen Lösung an der waagerechten Mittelachse erzeugt eine 3. Lösung. Und die Spiegelungen an den beiden Diagonalen erzeugen die 4. und 5. Lösung. Außerdem kann man die Lösung um 90°, um 180° und um 270° drehen und kommt so auf Lösung 6 bis 8. Da es insgesamt 72 Lösungen gibt, sollten das also 9 Lösungen sein, die nicht durch (einfaches) Drehen oder Spiegeln aus einer der anderen Lösungen hervorgehen. Mäxchen hat also weniger als die Hälfte der Lösungen gefunden. Aber es ist schon erstaunlich, dass man so einfach mit den richtigen Überlegungen überhaupt zu Lösungen kommt.


Die Aufgabe und auch die Musterlösung hat mit sehr gut gefallen.
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Neuling » Mittwoch 5. Mai 2021, 01:31

@ Friedel, ich stimme dir im Prinzip zu.
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In einer Grafik habe ich Spiegelungen und Drehungen nochmal verdeutlicht.
Links oben ist die Ausgangslösung. Die "Spiegelachsen" habe ich in rot gekennzeichnet und die Drehungen in blau.

Spiegelungen und Drehungen.gif
Spiegelungen und Drehungen.gif (8.75 KiB) 157-mal betrachtet


Du schreibst, dass es 72/8 = 9 Lösungen geben soll.
Genannt hast du aber nur 5 Lösungen mit je einer Spiegelung.

Lösung 681 ist Spiegelung zu 644 - Lösung hat Mäxchen auch
Lösung 5187 ist Spiegelung zu 763 - Lösung hat Mäxchen auch
Lösung 5410 ist Spiegelung zu 1427 - Lösung hat Mäxchen auch
Lösung 9152 ist Spiegelung zu 173 - Lösung hat Mäxchen auch
Lösung 11515 ist Spiegelung zu 899 - diese Lösung hat Mäxchen nicht.

Gibt es noch weitere Lösungen? Wenn ja, kannst du sie noch nennen?

Habe soeben noch Lösungen gefunden:
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1 3 5
1 1 1
2 1 4

3 1 1
1 1 1
4 2 5
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Neuling » Mittwoch 5. Mai 2021, 11:43

Und nochmal gesucht und zwei weitere Lösungen gefunden:
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113     115
111 111
425 432

Wenn Friedel mit der Anzahl der Lösungen recht hat, haben wir jetzt alle Lösungen gefunden.
Mehr ->
111     111     111     111     111     135     311     113     115
131 132 124 142 135 111 111 111 111
245 541 315 351 214 214 425 425 432
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Friedel » Mittwoch 5. Mai 2021, 19:40

Mein Script hat folgendes ausgespuckt:
Mehr ->
513  Lösung 1
421 → 19
111
542 Lösung 2
131 → 19
111
245 Lösung 3
131 → 19
111
145 Lösung 4
231 → 19
111
412 Lösung 5
531 → 19
111
153 Lösung 6
241 → 19
111
541 Lösung 7
132 → 19
111
351 Lösung 8
142 → 19
111
315 Lösung 9
124 → 19
111
214 Lösung 10
135 → 19
111
415 Lösung 11
311 → 19
211
451 Lösung 12
131 → 19
211
511 Lösung 13
431 → 19
211
415 Lösung 14
113 → 19
211
524 Lösung 15
111 → 19
311
425 Lösung 16
111 → 19
311
541 Lösung 17
121 → 19
311
121 Lösung 18
541 → 19
311
513 Lösung 19
211 → 19
411
215 Lösung 20
311 → 19
411
215 Lösung 21
113 → 19
411
432 Lösung 22
111 → 19
511
234 Lösung 23
111 → 19
511
413 Lösung 24
211 → 19
511
211 Lösung 25
431 → 19
511
121 Lösung 26
431 → 19
511
511 Lösung 27
431 → 19
121
311 Lösung 28
541 → 19
121
115 Lösung 29
134 → 19
121
113 Lösung 30
145 → 19
121
412 Lösung 31
111 → 19
531
214 Lösung 32
111 → 19
531
311 Lösung 33
121 → 19
541
111 Lösung 34
132 → 19
541
111 Lösung 35
142 → 19
351
211 Lösung 36
131 → 19
451
514 Lösung 37
311 → 19
112
154 Lösung 38
131 → 19
112
514 Lösung 39
113 → 19
112
115 Lösung 40
134 → 19
112
531 Lösung 41
111 → 19
412
135 Lösung 42
111 → 19
412
111 Lösung 43
531 → 19
412
114 Lösung 44
311 → 19
512
114 Lösung 45
113 → 19
512
511 Lösung 46
111 → 19
432
115 Lösung 47
111 → 19
432
111 Lösung 48
131 → 19
542
524 Lösung 49
111 → 19
113
425 Lösung 50
111 → 19
113
145 Lösung 51
121 → 19
113
121 Lösung 52
145 → 19
113
511 Lösung 53
211 → 19
413
411 Lösung 54
211 → 19
513
111 Lösung 55
421 → 19
513
111 Lösung 56
241 → 19
153
512 Lösung 57
311 → 19
114
315 Lösung 58
112 → 19
114
512 Lösung 59
113 → 19
114
531 Lösung 60
111 → 19
214
135 Lösung 61
111 → 19
214
111 Lösung 62
135 → 19
214
115 Lösung 63
112 → 19
314
112 Lösung 64
311 → 19
514
112 Lösung 65
113 → 19
514
311 Lösung 66
111 → 19
524
113 Lösung 67
111 → 19
524
511 Lösung 68
111 → 19
234
115 Lösung 69
111 → 19
234
112 Lösung 70
131 → 19
154
432 Lösung 71
111 → 19
115
234 Lösung 72
111 → 19
115


Jeweils 3 Zeilen sind eine Lösung. Links stehen die 9 Werte der Spielsteine, rechts neben der ersten Zeile die Nummer die Lösung, darunter nach einem Pfeil die Gesamtsumme.

Das Script probiert alle Kombinationen der Z9ffern 1 bis 5 durch und prüft bei jeder Kombination ob Ziffern >1 mehrfach verwendet wurden und ob die Summen der Spalten Reihe und diagonalen mehrfach vorkommen.
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Neuling » Mittwoch 5. Mai 2021, 22:38

@ Friedel - habe unter allen deinen Lösungen zwei weitere Lösungen entdeckt ...
Mehr ->
und diese jetzt in meiner "Sammlung" ergänzt.
Damit haben wir insgesamt 11 Lösungen:

111     111     111     111     111     135     311     113     115     115     135
131 132 124 142 135 111 111 111 111 111 111
245 541 315 351 214 214 425 425 432 234 412
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Re: Spielsteinetausch

Beitragvon Friedel » Mittwoch 5. Mai 2021, 23:29

Ich musste eine wenige überlegen, warum sowas möglich ist.
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Wir hatten ja festgestellt, dass es zu jeder Lösung 8 verschiedene Permutationen gibt, die auch Lösungen sind. Dabei unterscheiden sich aber nur die jeweilige Lösung und ihre 8 Permutationen voneinander. Es kann durchaus passieren, dass die Permutationen verschiedener Lösungen gleich sind. Dass 11 Lösungen mit ihren Permutationen insgesamt trotzdem nur 72 Anordnungen sind, ist also kein Widerspruch.
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