Scheich

[berndi]

Aufgabenstellung ist relativ einfach,jedoch die Herleitung der Lösungsgleichung ist weniger einfach.
Üblicherweise wird die Lösung durch probieren gefunden,was aber sehr zeitaufwendig ist.
Es geht hier nicht um das Finden der 3 Lösungen,sondern um die Herleitung der Lösungsformel und um den Beweis,dass es nicht mehr als 3 Verteilungen gibt.

Testament eines potenten Ölscheichs,der 71 Söhne und 37 Töchter hat. x - Anzahl der Kamele für Söhne
Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter y Anzahl der Kamele für Töchter
verteilt werden sollen.Dabei hat er übersehen,dass die Verfügung nicht eindeutig ist. x,y,n >0 (natürliche Zahlen)
Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n und der Gleichung 71x+37y=9999 die möglichen Verteilungen.
Zeigen Sie,wie man diese Gleichung herleiten kann.


Gruß berndi
14.02.15 Achtung x und y waren vertauscht
berndi

[Neuling]

Aufgabenstellung ist relativ einfach,jedoch die Herleitung der Lösungsgleichung ist weniger einfach.
Üblicherweise wird die Lösung durch probieren gefunden,was aber sehr zeitaufwendig ist.
Es geht hier nicht um das Finden der 3 Lösungen,sondern um die Herleitung der Lösungsformel und um den Beweis,dass es nicht mehr als 3 Verteilungen gibt.

Testament eines potenten Ölscheichs,der 71 Söhne und 37 Töchter hat. y - Anzahl der Kamele für Söhne
Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter x- Anzahl der Kamele für Töchter
verteilt werden sollen.Dabei hat er übersehen,dass die Verfügung nicht eindeutig ist. x,y,n >0 (natürliche Zahlen)
Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n und der Gleichung 71y+37x=9999 die möglichen Verteilungen.
Zeigen Sie,wie man diese Gleichung herleiten kann.

Kann es sein, dass es in der Gleichung y = 276 - (71/3) n
nicht y, sondern x heißen muss???

[Friedel]

Wenn die Aufgabenstellung so einfach ist, warum schreibst du sie dann nicht einfach hin? Was soll dein Text denn bedeuten? Es würde auch sehr helfen, wenn du vollständige, verständliche Sätze bilden würdest. Was soll man mit dem eingestreuten Teilsatz "y - Anzahl der Kamele für Söhne" anfangen? Was ist y? Und warum soll man die Anzahl der Kamele für Söhne davon abziehen? Und welchen Sinn soll man in die Zeichenfolge "Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter x- Anzahl der Kamele für Töchter verteilt werden sollen" hinein interpretieren? Und in welcher Sprache ist "x,y,n >0 (natürliche Zahlen) Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n und der Gleichung 71y+37x=9999 die möglichen Verteilungen" ein Satz? Deutsch ist das sicher nicht und kann mit der Zeichenfolge absolut nichts anfangen.

[berndi]

Zum Verständnis
x steht für die Anzahl von Kamelen,die jeder Sohn bekommen soll und y steht für die Anzahl der Kamele.die jede Tochter bekommen soll.
Der Scheich hat 71 Söhne und 37 Töchter und 9999 Kamele
Also 71x + 37y=9999
x,y,n sind natürliche Zahlen >0
Gruß berndi

[berndi]

Aufgabenstellung ist relativ einfach,jedoch die Herleitung der Lösungsgleichung ist weniger einfach.
Üblicherweise wird die Lösung durch probieren gefunden,was aber sehr zeitaufwendig ist.
Es geht hier nicht um das Finden der 3 Lösungen,sondern um die Herleitung der Lösungsformel und um den Beweis,dass es nicht mehr als 3 Verteilungen gibt.

Testament eines potenten Ölscheichs,der 71 Söhne und 37 Töchter hat. y - Anzahl der Kamele für Söhne
Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter x- Anzahl der Kamele für Töchter
verteilt werden sollen.Dabei hat er übersehen,dass die Verfügung nicht eindeutig ist. x,y,n >0 (natürliche Zahlen)
Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n und der Gleichung 71y+37x=9999 die möglichen Verteilungen.
Zeigen Sie,wie man diese Gleichung herleiten kann.

Kann es sein, dass es in der Gleichung y = 276 - (71/3) n
nicht y, sondern x heißen muss???

y =276-(71/3)*n ist richtig
Gruß berndi

[berndi]

Aufgabenstellung ist relativ einfach,jedoch die Herleitung der Lösungsgleichung ist weniger einfach.
Üblicherweise wird die Lösung durch probieren gefunden,was aber sehr zeitaufwendig ist.
Es geht hier nicht um das Finden der 3 Lösungen,sondern um die Herleitung der Lösungsformel und um den Beweis,dass es nicht mehr als 3 Verteilungen gibt.

Testament eines potenten Ölscheichs,der 71 Söhne und 37 Töchter hat. y=Anzahl der Kamele für jede Tochter
Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter x=Anzahl der Kamele für jeden Sohn
verteilt werden sollen.Dabei hat er übersehen,dass die Verfügung nicht eindeutig ist. x,y,n >0 (natürliche Zahlen)
Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n
Zeigen Sie,wie man diese Gleichung herleiten kann.

Achtung !Ich hatte x und y vertauscht.sorry berndi

[berndi]

Aufgabenstellung ist relativ einfach,jedoch die Herleitung der Lösungsgleichung ist weniger einfach.
Üblicherweise wird die Lösung durch probieren gefunden,was aber sehr zeitaufwendig ist.
Es geht hier nicht um das Finden der 3 Lösungen,sondern um die Herleitung der Lösungsformel und um den Beweis,dass es nicht mehr als 3 Verteilungen gibt.

Testament eines potenten Ölscheichs,der 71 Söhne und 37 Töchter hat. x - Anzahl der Kamele für Söhne
Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter y- Anzahl der Kamele für Töchter
verteilt werden sollen.Dabei hat er übersehen,dass die Verfügung nicht eindeutig ist. x,y,n >0 (natürliche Zahlen)
Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n und der Gleichung 71x+37y=9999 die möglichen Verteilungen.
Zeigen Sie,wie man diese Gleichung herleiten kann.

Kann es sein, dass es in der Gleichung y = 276 - (71/3) n
nicht y, sondern x heißen muss???

In der Aufgabenstellung habe ich x und y vertauscht
Es muß natürlich gelten 71x+37y=9999
sorry bernd

[Neuling]

@ berndi
Es ist schade, dass du eine Gleichung zum schnellen Auffinden der 3 Lösungen angegeben hast.
Ich habe diese 3 Lösungen unabhängig von deiner Gleichung durch "überlegtes Probieren" gefunden.
Und wenn 5 min ein erheblicher Zeitaufwand sind, dann hast du mit deiner Behauptung Recht!

Mehr ->

x kann nicht gleich y sein, weil 9999 nicht ohne Rest durch 108 teilbar ist.
Also haben wir die beiden Fälle x > y und x < y zu untersuchen.
Bei x > y ---> 71(y+z) + 37y = 9999 ---> 108y + 71z = 9999
Da 108 und 9999 durch 9 teilbar sind und ganzzahlige Lösungen gesucht werden, muss auch z durch 9 teilbar sein.
Wegen 71*9*16 = 10224 > 9999 muss ich meine Gleichung für lediglich 15 verschiedene z (9, 18, 27, ..., 135) auf Ganzzahligkeit überprüfen.
Mein Taschenrechner findet eine Lösung für z = 45 ---> x = 108 und y = 63

Analoges Vorgehen für x < y, da sind es ein paar mehr Überprüfungen, mit den Ergebnissen:
x = 71 und y = 134
x = 34 und y = 205

Den Beweis, dass es keine weiteren Lösungen geben kann, habe ich dadurch erbracht, dass ich mit dieser Methode alle möglichen Fälle überprüft habe.
Und da ich deine Gleichung zur Lösungsfindung nicht benutzt habe, sehe ich für mich auch keine Notwendigkeit, diese herzuleiten und zu beweisen.

[Otmar]

Ich fand das mit der Gleichung auch bisschen schade und glaube, dass es einfacher geht:

Mehr ->

Schreibt man 71x+37y=9999 in der Restklasse zur Primzahl 37 dann erhält man die Gleichung:
-3x=9, die dort die Lösung x=-3 hat, die eindeutig ist, weil die Restklasse prim ist und deshalb ein Körper.

Geht man zurück zu ganzen Zahlen, dann hat man x=37n-3 mit n>=1. Setzt man das ganz oben ein, dann steht da:
71(37n-3)+37y=9999 oder für y>0
2627n-213 < 9999 und das heißt n <= 3, also bleibt n aus {1,2,3}
Nun muss man nur noch einsetzen und erhält:
(x,y) aus {(34, 205), (71, 134), (108, 63)}

[berndi]

@ berndi
Es ist schade, dass du eine Gleichung zum schnellen Auffinden der 3 Lösungen angegeben hast.
Ich habe diese 3 Lösungen unabhängig von deiner Gleichung durch "überlegtes Probieren" gefunden.
Und wenn 5 min ein erheblicher Zeitaufwand sind, dann hast du mit deiner Behauptung Recht!

Mehr ->

x kann nicht gleich y sein, weil 9999 nicht ohne Rest durch 108 teilbar ist.
Also haben wir die beiden Fälle x > y und x < y zu untersuchen.
Bei x > y ---> 71(y+z) + 37y = 9999 ---> 108y + 71z = 9999
Da 108 und 9999 durch 9 teilbar sind und ganzzahlige Lösungen gesucht werden, muss auch z durch 9 teilbar sein.
Wegen 71*9*16 = 10224 > 9999 muss ich meine Gleichung für lediglich 15 verschiedene z (9, 18, 27, ..., 135) auf Ganzzahligkeit überprüfen.
Mein Taschenrechner findet eine Lösung für z = 45 ---> x = 108 und y = 63

Analoges Vorgehen für x < y, da sind es ein paar mehr Überprüfungen, mit den Ergebnissen:
x = 71 und y = 134
x = 34 und y = 205

Den Beweis, dass es keine weiteren Lösungen geben kann, habe ich dadurch erbracht, dass ich mit dieser Methode alle möglichen Fälle überprüft habe.
Und da ich deine Gleichung zur Lösungsfindung nicht benutzt habe, sehe ich für mich auch keine Notwendigkeit, diese herzuleiten und zu beweisen.

Ich hatte ja es als relativ einfach bezeichet,dass die Lösungen durch probieren auf der Grundlage einiger Überlegungen gefunden werden können.
Vielmehr geht es darum die Lösungen berechnen zu können.Dazu hatte ich eine Lösunsgleichung für y=276 -71 n für n=1;2 ;3 angegeben
für x gilt x=145 -37n n=1;2;3
Es war die Aufgabe gestellt,diese Lösungsgleichung herzuleiten und nicht die einzelnen Lösungen zu finden,deshalb hatte ich die konkreten Lösungen auch gleich bereitgestellt.
Deine Begründung,dass du den Beweis für die Vollständigkeit der angegeben Lösungen gebracht hast ist nicht richtig.(z.B. könntest du eine Lösung beim Probieren übersehen haben oder denke daran,dass das Problem auch mit ganz anderen Zahlen zu lösen gilt,wo es mit der Prüfung aller Möglichkeiten per Taschenrechner oder sonstiger Hilfen trübe aussieht.

Mehr ->

An Hand der Lösungsgleichungen ist aber der Beweis erbracht,dass es nur 3 Lösungen gibt,denn ab n>3 werden alle x und y Werte negativ.
Die Gleichung 71x + 37 y =9999 ist so umzuformen,dass sich daraus die Lösungsgleichungen ergeben.Nämlich einmal nach x und einmal nach y so umstellen,dass sich beide Lösungsgleichungen ergeben.Und das ist es ,was ich mit nicht so einfach bezeichent habe.

Meine Berechnungenkönnen jederzeit angefordert werde.
Gruß berndi