Scheich Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Re: Scheich

Beitragvon berndi » Montag 16. Februar 2015, 16:51

Deine Ausführungen sind nicht so leicht zu verstehen,da nicht jeder mit Restklassen und mathem.Körpern umgehen kann.Ich nehme einmal an,dass nur wenige Nutzer diese Lösung herleiten könnten.
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Hier meine Berechnung für x =145 -37 n n{1,2,3} die ich sehr ausfühlich dargestellt habe,damit sie auch viele Nutzer verstehen könne.

Beweis 71x + 37y = 9999 140 * 71 =9940 + 59
x 71x = 9999 - 37y
71x = 9940 + 59 - 37 y :71
x = 140 + 59/71 - 37y / 71 37y wird in Erwartung der Division durch 71 ersetzt durch 37y = 71y - 34y
x =140 + 59 / 71 - (71y - 34y) / 71
x = 140 - y + (34y+59) / 71 y ist eine natürliche Zahl (34y+59) muß durch 71 teilbar sein,weil auch x eine natürliche Zahl ist.
x =140 - y + u Es existiert also eine natürliche Zahl u mit u = (34y + 59) / 71 nach y umgestellt y = (71u - 59) / 34
x = 140 - (71u - 59) / 34 + u
x = 140 - (34u + 37u - 59) / 34 + u
x =140 - 34u/34 - 37u /34 + 59 / 34 + u
x = 140 - u - 37u / 34 + 59 /34 + u 37u wird ersetzt durch 37u=34u + 3u
x = 140 - (37u - 59) / 34
x = 140 - (34u + 3u - 59) / 34
x = 140 - u - (3u + 59) / 34 Es existiert eine natürliche Zahl v und v = (3u + 59) / 34 umgestellt nach u u = (34v - 59) / 3

x = 140 - u - v
x = 140 - v - (34v - 59) / 3 34v wird ersetzt durch 33 v + 1v
x = 140 - v -(33v + 1v - 59) / 3 - v
x = 140 - 11v - (v - 59) / 3
x = 140 -12v - (v +59) / 3 Es existiert eine natürliche Zahl k mit k = (v +59) /3 umgestellt nach v v = 3k - 59
x = 140 -12v - k
x = 140 - 12(3k - 59) - k 19 * 37 =703 848 - 703 = 145
x = 848 - 37 k ( für 848- 37 k sind die Lösungen für k=(21 ; 21 ; 22) zu finden
x = 145 - 37 u ( für 145 - 37 u) sind die Lösungen für u = (1 ;2 ; 3) zu finden


q.e.d. u = (1 ; 2 ;3)

Was hast du denn für einen Beruf?
Gruß berndi
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Re: Scheich

Beitragvon berndi » Montag 16. Februar 2015, 17:00

Friedel hat geschrieben:Wenn die Aufgabenstellung so einfach ist, warum schreibst du sie dann nicht einfach hin? Was soll dein Text denn bedeuten? Es würde auch sehr helfen, wenn du vollständige, verständliche Sätze bilden würdest. Was soll man mit dem eingestreuten Teilsatz "y - Anzahl der Kamele für Söhne" anfangen? Was ist y? Und warum soll man die Anzahl der Kamele für Söhne davon abziehen? Und welchen Sinn soll man in die Zeichenfolge "Er verfügt,dass seine gewaltige Kamelherde von 9999 Tieren auf alle Söhne und Töchter x- Anzahl der Kamele für Töchter verteilt werden sollen" hinein interpretieren? Und in welcher Sprache ist "x,y,n >0 (natürliche Zahlen) Berechnen Sie mit Hilfe der Lösungsgleichung y = 276 - (71 / 3) n und der Gleichung 71y+37x=9999 die möglichen Verteilungen" ein Satz? Deutsch ist das sicher nicht und kann mit der Zeichenfolge absolut nichts anfangen.


Hoffentlich ist das nicht zu einfach für dich.Ein Nutzer hat noch eine höherwertige Lösung eingestellt,die aber für wenige zugänglich ist.

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Hier die Lösung für x,die auf den gleichen Weg zu finden ist wie für y
Beweis 71x + 37y = 9999 140 * 71 =9940 + 59
x 71x = 9999 - 37y
71x = 9940 + 59 - 37 y :71
x = 140 + 59/71 - 37y / 71 37y wird in Erwartung der Division durch 71 ersetzt durch 37y = 71y - 34y
x =140 + 59 / 71 - (71y - 34y) / 71
x = 140 - y + (34y+59) / 71 y ist eine natürliche Zahl (34y+59) muß durch 71 teilbar sein,weil auch x eine natürliche Zahl ist.
x =140 - y + u Es existiert also eine natürliche Zahl u mit u = (34y + 59) / 71 nach y umgestellt y = (71u - 59) / 34
x = 140 - (71u - 59) / 34 + u
x = 140 - (34u + 37u - 59) / 34 + u
x =140 - 34u/34 - 37u /34 + 59 / 34 + u
x = 140 - u - 37u / 34 + 59 /34 + u 37u wird ersetzt durch 37u=34u + 3u
x = 140 - (37u - 59) / 34
x = 140 - (34u + 3u - 59) / 34
x = 140 - u - (3u + 59) / 34 Es existiert eine natürliche Zahl v und v = (3u + 59) / 34 umgestellt nach u u = (34v - 59) / 3
x = 145 - 37 u y = 276 - 71 u
x = 140 - u - v u Berechnung x y Berechnung u
x = 140 - v - (34v - 59) / 3 34v wird ersetzt durch 33 v + 1v 1 x = 145 - 37 108 205 y =276 - 71 1
x = 140 - v -(33v + 1v - 59) / 3 - v 2 x = 145 -74 71 134 y = 276 -142 2
x = 140 - 11v - (v - 59) / 3 3 x = 145 -111 34 63 y = 276 - 213 3
x = 140 -12v - (v +59) / 3 Es existiert eine natürliche Zahl k mit k = (v +59) /3 umgestellt nach v v = 3k - 59 4 x = 145 -148 -3 -8 y =276 -284 4
x = 140 -12v - k
x = 140 - 12(3k - 59) - k 19 * 37 =703 848 - 703 = 145 für u > 3 existiert keine Lösung,da sowohl x als auch y negative Werte haben
x = 848 - 37 k ( für 848- 37 k sind die Lösungen für k=(21 ; 21 ; 22) zu finden
x = 145 - 37 u ( für 145 - 37 u) sind die Lösungen für u = (1 ;2 ; 3) zu finden
Gruß berndi
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Re: Scheich

Beitragvon Neuling » Montag 16. Februar 2015, 18:37

berndi hat geschrieben:Deine Begründung,dass du den Beweis für die Vollständigkeit der angegeben Lösungen gebracht hast ist nicht richtig.(z.B. könntest du eine Lösung beim Probieren übersehen haben oder denke daran,dass das Problem auch mit ganz anderen Zahlen zu lösen gilt,wo es mit der Prüfung aller Möglichkeiten per Taschenrechner oder sonstiger Hilfen trübe aussieht.

Jawohl, Herr Belehrer!

Es ist richtig, dass man eine Lösung übersehen kann. Davor bist du bei deiner Herleitung auch nicht gefeit.
Es ist richtig, dass es Aufgaben gibt, deren Lösungsfindung zeitaufwendiger sein kann, wenn man jede einzelne Möglichkeit manuell prüft. Diese Aufgabe hier gehörte nicht dazu.

@ berndi
Du musst nicht alles doppelt und dreifach schreiben.
Warum drei, vier Kommentare hintereinander, die im Kern den gleichen Inhalt haben?
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Re: Scheich

Beitragvon Otmar » Montag 16. Februar 2015, 23:29

berndi hat geschrieben:Deine Ausführungen sind nicht so leicht zu verstehen,da nicht jeder mit Restklassen und mathem.Körpern umgehen kann.

Nun, du hast einen Beweis verlangt, und mathematische Beweise macht man so kurz, wie es einem mit den vorhandenen mathematischen Mitteln möglich ist. Hättest du keinen Beweis verlangt, dann wäre meine Antwort eventuell so ausgefallen:

Mehr ->
Man kann jede ganze Zahl x zerlegen als x = 37n - l mit den ganzen Zahlen n und l mit 0 <= l < 37.
Mit 9999=37*270+9 und 71=2*37-3 erhält man aus der Gleichung 71x+37y=9999 die Gleichung:
(2*37-3)*(37n-l) + 37y = 37*270+9 und daraus:
3l = 9 + 37(270-y+3n-2(37n-l)) = 9 + 37L wobei L=270-y+3n-2(37n-l) eine ganze Zahl ist. Angenommen es gäbe für l zwei Lösungen a und b mit 0<=a<b<37, wobei dann für L die ganzen Zahlen A und B gewählt werden, dann gilt also
3a = 9 + 37A und
3b = 9 + 37B
Subtrahiert man die obere Gleichungen von der unteren, dann erhält man:
3(b-a)=37(B-A), offenbar muss nun b-a ein Vielfaches von 37 sein, da 37 und 3 teilerfremd sind. Das ist aber wegen 0<=a<b<37 nicht möglich. Deshalb gibt es für l nur eine einzige Lösung und zwar l=3 und L=0.
Es ist also x=37n-3. Setzt man das in 71x+37y=9999 ein, dann erhält man:
71(37n-3)+37y=9999 und für y > 0:
2627 n - 213 < 9999 woraus n <= 3 folgt. Wegen x > 0 ist n >= 1. Nun setzt man 1, 2 und 3 für n in x = 37n - 3 ein und berechnet die zugehörigen
y = (9999 - 71x)/37. Wegen L=0 also 0=270-y+3n-2(37n-l) kann man y alternativ auch durch
y=276-71n berechnen. Für n = t/3 mit t = 3, 6, 9 kommt man auf die Gleichung:
y = 276 - (71 / 3)t, die eigentlich zu beweisen war.

@Neuling, ich finde deine Lösung ganz wunderbar. Meine ist eigentlich nur "Schema F" aber wie du den
Mehr ->
gemeinsamen Teiler 9 aus 37+71 und 9999 zur Lösung verwendet hast, das ist ein eleganter Trick! :zustimm:

@berndi, deine Lösung erinnert mich etwas an den Euklidschen Algorithmus.
berndi hat geschrieben:Was hast du denn für einen Beruf?

Völlig uninteressant. Aber ich bin weder Mathematiker noch Lehrer. Allerdings interessiere ich mich für Mathematik und Restklassen hatte ich, wenn ich mich richtig erinnere, schon in der Schule.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Scheich

Beitragvon Neuling » Dienstag 17. Februar 2015, 19:18

@ Otmar - Danke!

Mehr ->
Ich hatte ja auch Glück, dass die Zahlen so sind, wie sie sind. Und noch weniger müsste man überprüfen, wenn die Summe der Söhne und Töchter statt der 9 die 11 oder die 101 als Faktor enthielte.
Und ein bisschen hat berndi ja auch recht. Wenn die Herde sehr, sehr viel größer gewesen wäre, wäre ich wohl mit meinem Latein am Ende. Aber, über effektivere Lösungsmöglichkeiten denke ich in der Regel erst nach, wenn es eine Aufgabe wirklich erfordert.
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Re: Scheich

Beitragvon Otmar » Dienstag 17. Februar 2015, 21:15

Neuling hat geschrieben:Ich hatte ja auch Glück, dass die Zahlen so sind, wie sie sind.

Ja, kann man sagen. Und für meine Lösung gilt das auch. Bernis Verfahren wird immer zum Ziel führen. Hab noch eine andere Lösung, die unabhängig von den gewählten Zahlen, das Rätsel knacken kann:

Mehr ->
Wenn a*x + b*y = c mit ganzen positiven Zahlen a, b und c gegeben ist und alle ganzzahligen Lösungspaare (x, y) mit x>0 und y>0 gesucht sind, kann man so vorgehen: Zuerst teilt man beide Seiten der Gleichung durch den größten gemeinsamen Teiler t = ggT(a,b) von a und b und erhält die Gleichung
A*x + B*y=C mit A=a/t, B=b/t und C=c/t.
Dabei bleibt die linke Seite der Gleichung ganzzahlig und wenn C nicht ganzzahlig ist, dann gibt es offenbar keine Lösungspaare (x, y). Ist C ganzzahlig, dann hat man das Ausgangsproblem mit der Eigenschaft, dass A und B teilerfremd sind.

Vorerst sollen die Bedingungen x>0 und y>0 ignoriert werden und überhaupt ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Angenommen (X,Y) wäre eine Lösung von A*X+B*Y=C, dann sind auch (X+k*B, Y-k*A) für beliebige ganzzahlige k weitere Lösungen, wie man durch Einsetzen sofort sieht. Damit hat man aber auch schon alle Lösungen gefunden, denn wäre (X+l, U) eine Lösung, dann gilt A(X+l)+B*U=C. Subtrahiert man davon A*X+B*Y=C, dann erhält man:
A*l+B*(U-Y)=0 oder A*l=B*(Y-U) und da A und B teilerfremd sind, muss l ein Vielfaches von B sein. Also l=k*B. Dann ist A*k*B=B*(Y-U) also U=Y-k*A. Damit hat man schon gezeigt, dass alle Lösungen gefunden sind. D.h. ausgehend von einer einzigen Lösungen sind alle weiteren sofort bekannt. So eine einzelne Lösung findet man sehr schnell mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus. Der liefert sehr effizient ein Paar (s, t) für A*s+B*t=ggT(A,B)=1. Multipliziert man diese Gleichung mit C, dann erhält man A*X+B*Y=C mit X=s*C und Y=t*C. Jetzt kann man die Lösungsmenge noch für x>0 und y>0 einschränken:
x = X+k*B > 0 --> k > -X/B und y = Y-k*A > 0 --> k < Y/A. Hier wurde benutzt, dass sowohl A>0 als auch B>0 ist. Schon ist man fertig.


Für den Scheich sieht das so aus:
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a=71, b=37, c=9999 und wegen t=ggT(a,b)=1 ist A=71, B=37 und C=9999.
Setzt man z.B. bei http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/erweitertereuklid.htm ein, dann erhält man
12·71 - 23·37 = 1 also s=12 und t=-23 und damit X=12*9999=119988 und Y=-23*9999=-229977. Dann ist
k>-X/B>-3242,92 und
k<Y/A<-3239,10.
Also ist k aus {-3242, -3241, -3240}
Die erste Lösung (119988-3242*37, -229977+3242*71)=(34, 205)
die nächste ist dann: (34+37, 205-71)=(71, 134)
und die letzte: (71+37, 134-71)=(108, 63)
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Scheich

Beitragvon Otmar » Dienstag 17. Februar 2015, 21:47

Jetzt habe ich noch einen bisschen gesucht und meine obigen Ausführungen mit anderen Worten wiedergefunden:
Liebe Grüße, Otmar.
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