Quersumme 45 Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Quersumme 45

Beitragvon Neuling » Sonntag 7. Januar 2018, 13:39

Zu der folgenden Rechenaufgabe wurde eine Lösung angegeben. Leider ohne Hinweis, wie man darauf gekommen ist.
Durch Probieren habe ich weitere Lösungen gefunden.
Mir ist nicht bekannt, wie viele Lösungen es insgesamt gibt.

A - B = C
A, B und C sind positive ganze Zahlen, die jeweils die Quersumme 45 haben.
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Sonntag 7. Januar 2018, 13:39
Ende: Dienstag 9. Januar 2018, 13:39
Aktuell: Dienstag 18. September 2018, 19:06
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Re: Quersumme 45

Beitragvon Friedel » Sonntag 7. Januar 2018, 15:04

? Und das knifflige daran ist, heraus zu finden, worin die Aufgabe besteht? Sollen wir herausfinden, wie viele Lösungen es gibt?
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Re: Quersumme 45

Beitragvon Neuling » Sonntag 7. Januar 2018, 16:33

Friedel hat geschrieben:? Und das knifflige daran ist, heraus zu finden, worin die Aufgabe besteht? Sollen wir herausfinden, wie viele Lösungen es gibt?

Wenn jemand hätte sagen können, dass es eine endliche Anzahl von Lösungen gibt, hätte man aus dem Beweis auch die Herangehensweise erkennen können.
Mir ist inzwischen aber klar geworden, dass es unendlich viele Lösungen gibt, denn man kann an eine einmal gefundene Lösung einfach ein paar Nullen anhängen (gleich viele bei A, B und C) und so weitere Lösungen erhalten.

Also schränke ich mal die Suche nach Lösungen dahingehend ein, dass A und B nicht "künstlich" durch Einfügen oder Anhängen von Nullen vergrößert werden dürfen.

@Friedel - gesucht sind Lösungen!
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Re: Quersumme 45

Beitragvon Friedel » Sonntag 7. Januar 2018, 23:01

Mit meinem ersten Lösungsansatz bin ich leider nicht weit gekommen. Das war wohl eine Sackgasse. Mal sehen, ob mir was besseres einfällt.
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Re: Quersumme 45

Beitragvon MadMac » Montag 8. Januar 2018, 08:51

Hallo, es gibt

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immer noch unendlich viele Lösungen. Nimm das trivial konstruierte

900000000099990 = 90000000009999 = 810000000089991

Du brauchst keine Nullen anhängen, sondern musst nur welche nach der ersten 9 einfügen. Die Quersummen bleiben stets 45.

Wenn Du GAR keine Nullen am Ende haben willst, lässt sich das durch geringfügiges Abwandeln auch leicht konstruieren:

9000000099918 - 900000009999 = 8100000089919


Gruß,
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Re: Quersumme 45

Beitragvon Neuling » Dienstag 9. Januar 2018, 22:34

Hallo MadMac, findest du auch eine Lösung, die

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gar keine Nullen enthält.
:?:
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Re: Quersumme 45

Beitragvon Friedel » Mittwoch 10. Januar 2018, 11:20

@MadMac:
Neuling hat geschrieben:Also schränke ich mal die Suche nach Lösungen dahingehend ein, dass A und B nicht "künstlich" durch Einfügen oder Anhängen von Nullen vergrößert werden dürfen.


MadMac hat geschrieben:Nimm das trivial konstruierte

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900000000099990 - 90000000009999 = 810000000089991


Du brauchst keine Nullen anhängen, sondern musst nur welche nach der ersten 9 einfügen. Die Quersummen bleiben stets 45.
Das sind doch genau die eingefügten Nullen, die Neuling ausgeschlossen hat. Dein Beispiel lässt sich reduzieren auf
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9099990 - 909999 = 8189991
. Das wäre eine Lösung, die Neulings Anforderungen entspricht.
Zuletzt geändert von Friedel am Donnerstag 11. Januar 2018, 08:50, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Quersumme 45

Beitragvon ginger » Mittwoch 10. Januar 2018, 12:46

Ich habe nur mal ein bisschen herumprobiert ...

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... und zwar mit der vom Zahlen-Sudoku bekannten Reihe 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Allein damit fand ich 4 Lösungen, dann habe ich aufgehört:
987654321 - 123456789 = 864197532
876543219 - 234567891 = 641975328
765432198 - 345678912 = 419753286
654321987 - 456789123 = 197532864

Ausgehend von 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45, habe ich es dann auch mal mit "Zusammensetzungen" von "9" probiert:
1818181818 - 123456789 = 1694725029
6363636363 - 123456789 = 6240179574
5454545454 - 123456789 = 5331088665

Das ließe sich wohl noch beliebig fortsetzen ... bestimmt gibt es dafür auch eine schlaue Formel, oder ?
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Re: Quersumme 45

Beitragvon Neuling » Mittwoch 10. Januar 2018, 14:05

Hallo Friedel - was du geschrieben hast stimmt und ich hätte später etwas dazu gesagt. Kann ich mir ja nun ersparen.

Bitte setze die Teile deines Kommentars, die etwas mit der Lösung zu tun haben, in den Spoiler!

@ ginger - perfekt und wegen
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81 - 18 = 63
72 - 27 = 45
63 - 36 = 27
54 - 45 = 09

lassen sich bestimmt unendlich viele Lösungen basteln.

Deine erste Lösung war übrigens die Lösung, die zur Aufgabe angegeben war.
Und meine erste gefundene Lösung:
555555555 - 123456789 = 432098766
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Re: Quersumme 45

Beitragvon MadMac » Montag 29. Januar 2018, 15:20

Aaalso ... die ganze Aufgabenstellung ist doch sehr künstlich.

Die Frage ist, ab wann gilt eine 0 als "künstlich eingefügt"? Das ist noch gar nicht vollständig definiert. Bei meinen Lösungen kann ich mich ja darauf berufen, dass ich die Nullen an mindestenes zwei verschiedenen Stellen einfüge. Andersherum betrachtet, kann man argumentieren, dass ich ab der zweiten Eingefügten Null in jeder der drei Zahlen wieder eine Null streichen kann, und zwar an der gleichen stelle.

Nehmen wir mal die zweite Feststellung als Regel: Wenn ich in allen drei Zahlen an der gleichen Stelle eine Null streichen kann, und das Ergebnis eine gültige Lösung ist, dann gilt diese (die mit den mehr Nullen) Lösung nicht.

Dann kann ich meine drei Zahlen maximal aus je 45 Einsen und einem Haufen Nullen bilden. Beliebig verlängern lassen sich die Zahlen nicht, da zwangsweise irgendwann in allen drei Zahlen an den gleichen Stellen je eine Null steht.

Ergo kann es keine unendlich vielen Lösungen geben.

Es gibt aber meiner Einschätzung nach auch keine in sich geschlossene Systematik für das Finden *ALLER* Lösungen. Alleine, weil die Regel "Lösung entstand durch Einfügen von Nullen bzw. lässt sich durch Streichen von Nullen in eine kürzere Lösung überführen" sich niemals geschlossen ausdrücken lässt.

Ich bezweifele auch, dass es für *alle* Lösungen mit beliebig vielen Nullen eine geschlossene Ausdrucksweise oder einen geschlossenen Lösungsweg gibt.

Gruß,
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