Quersumme 45 Rätsel ist gelöst

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Re: Quersumme 45

Beitragvon Otmar » Donnerstag 1. Februar 2018, 18:22

Bischen einfacher wird es für mich,
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wenn ich auf A=B+C umforme und zwei passende Summanden B und C suche:

In der Addition muss es genau 5 Überträge geben, denn wenn die Quersumme für B und C jeweils 45 ist, dann wäre ohne Übertrag die Quersumme von A genau 90 und mit jedem Übertrag wird sie um 9 kleiner.

Man kann jetzt erstmal 5 Positionen (Stellen) auswählen, an denen es die Überträge gibt. Dort trägt man für B und C jeweils Ziffern ein. Wenn direkt vor einem Übertrag (rechts davon) kein Übertrag war, gehen die Kombinationen 1+9, 2+8, 2+9, ... 9+1,...,9+9. Das sind insgesamt 1+2+...+9=45 Möglichkeiten. Ist hingegen rechts vom Übertrag ein anderer Übertrag, hat man schon die gemerkete 1 und es gehen die Kombinationen 0+9, 1+8, 1+9, ...., 9+0, ..., 9+9. Das sind insgesamt 1+2+...+10=55 Möglichkeiten.

Nun die übrigen Stellen die keinen Übertrag erzeugen:
Wenn man Stellen verbietet, in denen alle drei Zahlen eine Null haben, dann dürfen B und C nach einem Übertrag beide eine Null-Stelle haben, und sonst muss mindestens B oder C eine Ziffer größer 0 haben. Die Summe der Quersummen von B und C ist 90. Davon entfallen mindestens 5 * 10 - m für die Übertragpositionen, wobei m = 0, 1, 2, 3 oder 4 die Anzahl der Übertsagpositionen ist, die direkt auf einen andern Übertrag folgen. Es sind also höchstens n=90-(5*10-m) weitere Stellen übrig, in denen mindestens B oder C eine von Null verschiedene Ziffer haben. A hat dann höchstens g = 5 + n + (5-m) Stellen:
5 für die Überträge,
n wo entweder B oder C eine Stelle ungleich Null hat, und
5-m links von Überträgen, wo B und C beide eine Null haben dürfen.

Also ist g = 5 + (90-5*10+m) + (5-m) = 50 und A hat höchstens 50 Stellen.

Und so kann es gehen:

Also aus den ersten 49 Stellen sind 5 für Überträge auszuwählen. Dort kann man beliebige der oben genannten Ziffernkombinationen für B und C eintragen. Nun kann man für B an den restlichen 45 Stellen so lange Ziffern eintragen, bis die Quersumme 45 aufgebraucht ist und für den Rest 0 schreiben. Dabei ist nur zu beachten, dass links von einem Übertrag keine 9 geschrieben wird und damit ein weiterer Übertrag dazukommen würde. Ist man damit fertig, füllt man die 45 nicht belegten Stellen von C mit Ziffern auf, bis die Quersumme 45 von C erreicht ist. Einzige Bedingung ist, keine weiteren Überträge erzeugen. Ist die Quersumme erreicht füllt man mit Null weiter.

Wenn man fertig ist, wird B und C addiert (mit Ergebnis A) und ganz am Ende werden alle Stellen weggelassen, and denen A, B und C jeweils eine 0 haben.

Mit dieser Herangehensweise kannst du alle Kombinationen A, B und C finden. Das sind viele aber deutlich weniger als (10^50)².

Das kleinste A ist 199998=99999+99999

Für B>=C ist das größte C, das ich gefunden habe:
B    500010000 0111111111 1111111111 1111111111 1111111111
C + 499991111 1000000000 0000000000 0000000000 0000000000
------------------------------------------------------
A 1000001111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111


Das größte A ist mit einem Beispiel für B und C:

B  1000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000089999
C + 111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111010001
------------------------------------------------------
A 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111100000


(in obigem Beispiel für das größte A ist C maximal, wenn C <= B ist, glaube ich jedenfalls....)
Liebe Grüße, Otmar.
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