Quadrate und ihre Differenz

[Myrlin]

Sag mir eine Zahl, und ich sage dir die 2 Quadrate, die

A.) Diese Zahl als Differenz zwischen sich haben und
B.) Den kleinstmöglichen Abstand zueinander haben.

Gesucht:
Der Lösungsweg, nach dem man dies macht.

[Friedel]

??? Ich vermute mal, dass du Quadratzahlen meinst, wenn du Quadrate schreibst, und dass ich eine natürliche Zahl nennen soll. Mit Quadratzahlen klappt das aber nicht, denn es gibt z.B. keine zwei Quadratzahlen mit der Differenz 2. Für viele gerade Zahlen gibt es so ein Quadratzahlenpaar nicht.

[Myrlin]

Ehrlich gesagt: Herzlichen Dank.
Dank dir ist mir nämlich was anderes gerade aufgefallen.
Hab mich zuwenig drum gekümmert.

Du hast zwar nicht ganz Recht, liegst aber auch nicht so verkehrt.

Da das Rätsel nicht ganz stimmig ist, löse ich es mal soweit auf.

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Der Unterschied zwischen den einzelnen Quadraten ist immer ungerade und beträgt immer 2×Wurzel + 1 vom kleineren.
Steigt von Quadrat zu Quadrat immer mit 2 an.

Also ungerade Zahl - 1, dann geteilt durch 2, ergibt:
Beispiel 19: 19 -1 = 18 / 2 = 9.
Also besteht die Differenz 19 zwischen den Quadraten 9×9 und 10 × 10.
Funktioniert immer.
Bei Geraden Zahlen teile ich durch 2 und muss eine gerade Zahl bekommen, die ich +-1 nehme. Dann habe ich 2 aufeinanderfolgende Ungerade Zahlen und gehe wie bei ungeraden Zahlen vor. Diesmal aber mit 2 Unterschieden.
Beispiel 20: 20 / 2 = 10+-1 = 9 und 11.
9 -1 = 8 / 2 = 4.
Also habe ich 4×4 und 6×6.
Funktioniert bei allen geraden Zahlen, die bei Teilung durch 2 immer noch gerade sind.
Die 'aus der Reihe' tanzenden gerade Zahlen bringen mich auf eine Idee zu den Primzahlen.

Es sind übrigens 50 % der geraden Zahlen, für die es nicht klappt, wenn es da nicht noch eine andere ergänzende Möglichkeit gibt.

[mikelbig]

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Es gibt keine zwei Quadratzahlen, deren Different gerade und kein Vielfaches von 4 ist.
Da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen immer ungerade und immer um 2 zunimmt, ist für eine gerade Differenz ein Zweiersprung notwendig. Und damit ein Zuwachs der Differenz um 4.
Für jede zweite gerade Zahl, nämlich für jede nicht durch 4 teilbare Zahl, kann es daher keine Lösung geben.
Mit Primzahlen hat das nichts zu tun.