Ostereier A B C D E ...?

[Otmar]

In einem Garten, der eine Kreisfläche ist, will der Osterhase Eier verstecken. Die ersten drei Eier legt er in die Ecken eines Dreiecks ABC, wobei der Punkt A in der Gartenmitte liegt. Das nächste Ei legt er auf Punkt D, wobei das Dreieck ACD zum Dreieck ABC ähnlich ist. Ei E bildet nun das Dreieck ADE, das auch zum ersten Dreieck ähnlich ist. So bildet jedes weitere Ei ein Dreieck mit dem vorher versteckten Ei und dem Punkt A, welches zum Dreieck ABC ähnlich ist. Wieviel Eier kann der Osterhase maximal verstecken, wenn der Garten einen Radius von 825 Metern hat, die Kanten des Dreiecks ABC eine ganzzahlige Länge in Metern haben und jedes versteckte Ei näher am Rand des Gartens liegt, als das vorherige?

Der lässt grüßen.

Ergänzung: Bei der oben erwähnten Ähnlichkeit zweier Dreiecke sollen die Eckpunkte derart einander entsprechen, wie sie in der Bezeichnung genannt wurden. Also wenn Punkt Y nach Punkt X folgte, dann sein Dreieck AXY dem Dreieck ABC derart ähnlich, dass der Punkt A in beiden Dreiecken einander entspricht, der Punkt X dem Punkt B und der Punkt Y dem Punkt C entspricht.

[Neuling]

Bin noch nicht überzeugt, von meinem Gedankengang.

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Wenn das erste Dreieck die Seitenlängen (1, 2, 2) hätte, so wäre das zweite wegen Ähnlichkeit und ganzzahligen Seitenlängen = (2, 4, 4). Das nächste (4, 8, 8) usw. Das letzte mögliche (256, 512, 512). Danach wäre mit (512, 1024, 1024) die neue "Radius"seite schon größer als 825.
Das ergäben 3 + 1 + 1 + 1 + ... = 11 Ostereier

Nur 11 Ostereier, das erscheint mir doch arg wenig und für eine knifflige Aufgabe zu leicht.

[Otmar]

Mir ist aufgefallen, dass ich wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke das Rätsel noch zu ungenau beschrieben hatte, deshalb habe ich noch etwas ergänzt. Eigentlich gilt Dreieck ABC ähnlich Dreieck DEF auch dann, wenn z.B. die Seitenverhältnisse AB/DF=AC/DE=BC/EF gleich sind. Im Rätsel war aber gemeint, dass für diese Bezeichnung AB/DE=AC/DF=BC/EF gelten soll. Sich also Punkte und Kanten in der genannten Reihenfolge der Eckpunkte gegenseitig entsprechen.

[Neuling]

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Wenn man mit einem rechtwinkligen Dreieck beginnt - (rechter Winkel im Mittelpunkt des Gartenkreises und die Seitenlängen 3, 4 und 5 wählen) - dann kann man 21 Ostereier verstecken.
4 * ( 4/3)ⁿ ≤ 825 ---> n = 18 ---> 18 + 3 = 21

[Neuling]

3. Versuch

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Mal sehen, ob ich die "Optimierung" heute Nacht noch schaffe. Das größtmögliche n in der Gleichung, bei ganzzahligem x, addiert zu 3, müsste die Anzahl der Ostereier liefern.
x * [x/(x-1)]ⁿ ≤ 825

[Neuling]

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So, für x = 302, 303, 304, 305, 306 und n = 303 habe ich gleich 5 optimale Lösungen gefunden. Der Osterhase könnte also 303 + 3 = 306 Eier verstecken.
Wie man das Optimum "sinnvoll" ermitteln kann, weiß ich nicht. Habe unzählige x probiert. Erst größere Schritte, danach immer mehr eingeschachtelt. Mein Taschenrechner glüht.
Was mich aber wiederum an meinem Gedankengang zweifeln lässt, ist die Tatsache, dass die 3. Seite des Dreiecks nicht ganzzahlig sein muss. x wächst immer um den Faktor x/(x-1) und der Endpunkt dieses Strahls rückt dadurch beständig näher an den Gartenrand.
Wichtig war nur, dass AB = x - 1 und AC = x mit x >1 und ganzzahlig.

[Musagetes]

Hallo Otmar,

damit der fleißige Osterhase morgen weiß,
wie viele Ostereier er in seinem Korb legen muss,
gebe ich auch noch schnell eine Lösung ab.

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Noch viel Spaß beim Ostereiersuchen
und Allen noch schöne Ostertage.

Musagetes

[Neuling]

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Dann hoffe ich mal, dass der Osterhase beim ersten Dreieck den Winkel in A möglichst klein gewählt hat (z.B. 360/303 = 1,188°), dann konnte er nämlich die Ostereier bei einer "Runde" durch den Garten auf einer "Schraubenlinie" verstecken. Sollte er den Anfangswinkel bei knapp 180° gewählt haben, so hätte er immer "hin und her" hoppeln müssen.

Nun interessiert mich nur noch, ob es bei allen meinen 5 Ausgangsstrecken für AC = 302, 303, 304, 305 und
306 Metern geklappt hätte oder ob sich das durch "Rundungsfehler" des Taschenrechners so ergeben hat?

[Otmar]

Da sagt der Osterhase frohe Ostern und an Neuling und Musagetes. Die Lösung passt. Sie ist auch eindeutig. Musagetes hat ganz klassisch aufgelöst und Neuling gewissenhaft gerechnet. Schön dass beide Ergebnisse übereinstimmen. Meine Lösung ist ein bisschen dazwischen. Muss aber gleich weg und stell sie etwas später ein.

[Otmar]

meine Lösungsweg:

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Es sind nur zwei der drei Dreiecksseiten von Interesse. c=AB und b=AC mit b>c. Nach den Ostereiern A und B folgen weitere n Ostereier mit dem Abstand
r=c*(b/c)^n.
Ab nun seien alle Längen in Meter angegeben. Offenbar ist es ungünstig b unnötig groß zu machen, deshalb wählt der Osterhase b=c+1. Dann ist
r=c((c+1)/c)^n=c(1+1/c)^n<=825 also (1+1/c)^n<=825/c.
Logarithmiert man mit dem natürlichen Logarithmus erhält man
n*ln(1+1/c)<=ln(825/c).
Offenbar ist es günstig c nicht zu klein zu wählen, weil wie man in Neulings ersten Lösungsversuchen gesehen hat, sonst nur relativ wenige Ostereier verstecken kann. Also wird c wesentlich größer als 1 sein und dann kann man bei der ersten Suche nach einem geeigneten c den Term ln(1+1/c) mit 1/c abschätzen. Ggf. findet man die Abschätzung nachdem man einige c durchprobiert hat. Die reelle Zahl m=c*ln(825/c) ist also eine Näherung für n. Beginnt man mit kleinem c wird m größer, wenn man die Kantenlänge c um 1 vergrößert. Natürlich kann das nicht ewig weitergehen, spätestens bei c=825 ist man wieder bei wenig Ostereiern. D.h. irgendwann wird die Differenz
d=(c+1)*ln(825/(c+1))-c*ln(825/c) verschwinden bzw. negativ werden. Genau dieses c wird aber in der Nähe des gesuchten c für ein maximales n liegen. Nun kann man ein reelles x in der Nähe von c suchen mit
0=(x+1)*ln(825/(x+1))-x*ln(825/x).
Stellt man unter Nutzung der Logarithmengesetze um, erhält man:
0=ln(825/(x+1))+x*(ln(825)-ln(x+1)-ln(825)+ln(x)) oder
0=ln(825/(x+1))-x*ln(1+1/x)
Verwendet man wieder die Näherung von oben erhält man:
ln(825/(x+1))=1 und damit 825/(x+1)=e,
wobei e die Eulersche Zahl mit ln(e)=1 ist. Damit hat man für die Näherung
x=825/e-1=302,5005...
Die nächstliegende ganze Zahl ist c=303.
Berechnet man ohne Näherung
n<=ln(825/c)/ln(1+1/c)
erhält man für c=303 die Obergrenze n<=304,0006765... Für c=302 oder c=304 sind die Werte
ln(825/c)/ln(1+1/c)
etwas kleiner als 304. Deshalb sollte der Osterhase die Dreieckseite c=303 und b=304 Meter wählen und kann 304+2=306 Ostereier verstecken.

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Dass b und n gleiche Zahlen sind, ist nicht zufällig so, sondern ergibt sich aus den Gleichungen von oben. Ist ein netter Nebeneffekt.