Leiter anlehnen

[Enigmemulo]

An einer Wand steht eine Kiste, deren Querschnitt ein Quadrat mit Seitenlänge 1m ist. An die Wand wird nun eine 5m lange Leiter so angelehnt, dass sie die Kiste gerade berührt (siehe Skizze).

leiter1.jpg (11.84 KiB) 1041-mal betrachtet

Zu bestimmen ist der Abstand x, den der Fußpunkt der Leiter von der Kiste hat. Natürlich gibt es zwei Lösungen, in denen x und y vertauscht werden. Es ist halbwegs einfach, die Zahlenwerte mit Rechnereinsatz zu bestimmen, es gibt aber auch eine Lösung, für die man gar keinen Taschenrechner braucht, wenn man Wurzelausdrücke stehen lässt. Diese Lösung ist gesucht.

[Otmar]

Wenn ich mich auf die Schnelle nicht verhauen habe, geht:

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x=sqrt(0.5 * (25+-sqrt(625-4(1+sqrt(26))²)))

wobei erstmal xy = x+y rauskommt und daraus xy=1+sqrt(26)

Oh, bei mir sind x und y die Abstände von der Ecke, also noch -1 rechnen, um den Abstand von der Kiste zu erhalten.

für die numerische Probe hab ich leide keine Zeit mehr.

[Otmar]

Inzwischen hab ich auch den Rechenweg aufgeschrieben:

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x und y sind bei mir ab der Ecke, nicht an der Kiste gemessen. Dann erhält man aus den beiden kleinen ähnlichen Dreiecken:

1/(x-1)=(y-1)/1 --> 1=(x-1)(y-1)=xy-x-y+1 --> x+y=xy

Jetzt verwende ich den Pythagoras:

5²=x²+y²=(x+y)²-2xy=(xy)²-2xy

Das ist eine quadratische Gleichung in xy mit der Lösung:

xy=1+-sqrt(1+5²)

und da sowohl x als auch y positiv sind ist xy=1+sqrt(26). Für mehr Übersicht sei 1+sqrt(26) = z und dann ist y = z/x

nochmal der gleiche Pytagoras und ersetzen von y:

5²=x²+y²=x²+(z/x)² --> 0=(x²)²-25x²+z²

ist eine quadratische Gleichung in x²

x²=(25+-sqrt(25²-4z²))/2 --> x=sqrt((25+-sqrt(25²-4z²))/2) und nach Einsetzen von z und Subtraktion mit 1
x-1=sqrt((25+-sqrt(625-4(1+sqrt(26))²))/2)-1
und wenn man noch etwas vereinfacht kommt für die gesuchte Länge x-1:

x-1=sqrt(12.5+-sqrt(129.25-sqrt(104)))-1

raus.

[Enigmemulo]

Hier ist noch meine Musterlösung:

leiter.pdf

(97.09 KiB) 351-mal heruntergeladen

[Otmar]

Sehr schöne Lösung!

[MadMac]

Nu hab ich meine Lösung auch noch fertig gekriegt, und zwar ohne die komplizierten Lösungswege für quartische Gleichungen.

Es gilt ...

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y/1 = 1/x
und
(1+x)^2 + (1+y)^2 = 5

Eingesetzt und um x^2 erweitert, erhält man die quartische Gleichung
x^4 + 2x^3 -23x^2 + 2x +1 = 0
die es zu lösen gilt.

Die allgemeinen Lösungswege sind die Hölle, drum habe ich versucht, die Symmetrie des Polynoms auszunutzen. Jedes Polynom 4. Ordnung lässt sich auch darstellen als
x^4 + 2x^3 -23x^2 + 2x +1 = (x^2 + px + q)*(x^2 + rx + s) (= 0)
Wegen der Symmetrien habe ich die Vermutung angestellt, dass alle beteiligten koeffizienten in der zweiten Form sich paarweise darstellen lassen als
p = a + wurzel(b)
r = a - wurzel(b)
q = c +/- wurzel(d)
s = c -/+ wurzel(d)
was den schönen Randeffekt hätte, dass die meisten Wurzeltherme beim Ausmultiplizieren sich gegenseitig eliminieren bzw. wieder quadrieren und ganzzahlig werden.

Es muss gelten
p+r = 2 => a = 1
qs = c^2-d = 1
q+s+pr = 2c+1-b = -23
ps + qr = 2c +/- 2wurzel(bd) = 2 (hier: Starke Vermutung, ich brauche das -)

Wider Erwarten geht es nun recht trivial durch ausprobieren:
c = 1
d = 0
b = 26

r = 1-w(26)
x = -r/2 +/- w( r^2/4 - 1 )

Die beiden äquivalenten Ergebnisse für den ersten quadratischen Teil-Term sind negativ.

Gruß,
MadMac

[Otmar]

@MadMac
Die symmetrische quartische Gleichung hat einen sehr einfachen Lösungsweg:

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Dazu lässt du sie am besten ohne Multiplikation mit x² so stehen, wie sie nach dem Ersetzen von y=1/x aussieht:

25 = (x+1)²+(y+1)² = (x²+2x+1) + (1/x² + 2/x + 1) und sortierst:

(x² + 1/x²) + 2(x + 1/x) + 2 = 25

dann wird t = x+1/x gesetzt. Und wegen t²=x²+2+1/x² gilt:

t²-2+2t+2=25 oder t²+2t-25=0 mit der Lösung t=-1+-w(1+25) und wegen x > 0 ist

t=-1+w(26)
und dann aus t = x+1/x bzw. x²-tx+1=0 folgt
x = t/2+-w(t²/4-1)