Jetzt versuche ich noch eine richtige Begründung zu meiner Lösung. Eigenschaft (1) sei die im Rätsel genannte Summen/Differnzeneigenschaft. Aus den Regeln sieht man sofort, dass die Zahlen neben einem Zahlenpaar in der Kette die Summe oder Differenz der beiden Zahlen des Paars sind und da alle Zahlen in der Kette verschieden sind, steht auf einer Seite des Paares die Summe und auf der anderen die Differenz der Zahlen des Paares. Das sei Eigenschaft (2). Ab hier werden die Begriffe Summe und Differenz aber wieder auf die beiden Nachbarn eines Kettengliedes bezogen. Angenommen es gibt nur Differenzen und in ..,a,b,c,.. sei b die kleinste Zahl der Kette und a>c. Dann ist a+b=c und wenn man Eigenschaft (2) vom Paar a,b hernimmt muss links von a die Zahl a-b stehen. Dann wäre a aber eine Summe, was hier nicht erlaubt war. Also ist entweder a oder b die erste Zahl der Kette. Die längste Kette mit b am Anfang hat höchstens 8 Elemente z.B: ein Teil der Fibonacci Folge 1,2,3,5,8,13,21,34. Folglich hat eine Kette ohne Summen höchstens 9 Elemente, denn a kann ja noch dazukommen. Gehen wir von Summen in der Kette aus, z.B. ..a,s,b.. mit s=a+b also b=s-a, dann folgt wegen (2) dass links von a die Zahl a+s steht, a also eine Differenz ist. Und ebenfalls nach (2), dass es nach links mit Differenzen weiter geht. Die rechte Seite ist analog. D.h. wir haben in der Mitte eine Summe und rechts und links davon nur Differenzen. Probieren wir
s=3: ..,1,3,2,.. --> 4,1,3,2,5,7,12,19,31,50 oder 37,23,14,9,5,4,1,3,2
s=4: ..,1,4,3,.. --> 11,6,5,1,4,3,7,10,17,27,44 oder 45,28,17,11,6,5,1,4,3,7,10
Für s>=5 stehen auf jeder Seite von s höchstens 6 weiter Kettenglieder, was man an ...5,1,6,7,13,20,33,(53) sieht. Für s>=7 stehen auf wenigstens einer Seite von s höchstens 5 weitere Kettenglieder, was man an ..,7,2,9,11,20,31,(51) sieht. D.h. es kann maximal 13 Kettenglieder geben und die haben s=5 oder s=6. Die wenigen Ketten:
..,1,5,4,..
..,2,5,3,..
..,1,6,5,..
..,2,6,4,..
kann man durchprobieren und erhält, bis auf Richtungswechsel nur eine einzige Kette mit 13 Gliedern:
41,25,16,9,7,2,5,3,8,11,19,30,49 |
