Schnapszahlen oder Schnapsidee ?

[Neuling]

1) Gibt es Schnapszahlen, die man als Summe der Quadrate dreier aufeinanderfolgender gerader ganzer Zahlen
darstellen kann?
2) Gibt es Schnapszahlen, die man als Summe der Quadrate dreier aufeinanderfolgender ungerader ganzer Zahlen darstellen kann?

z. B. 4, 6 und 8 sind drei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, aber 4² + 6² + 8² = 116 ist keine Schnapszahl.

[Otmar]

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Ich schreibe mal a % b für den Rest, der bei Division von a durch b übrig bleibt.

s = (a-2)²+a²+(a+2)² = 3a²+8
--> s % 3 = 2 --> weder 3, 6 noch 9 sind Schnapszahlziffern.

a ist gerade:

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(3a² + 8) % 10 ist 8 für a%10 = 0 sonst 0 oder 6. Weder 0 noch 6 sind als Ziffern der gesuchten Schnapszahl erlaubt, deshalb bleibt nur
a = 10b. --> s % 100 = 8. Das geht auch nicht, da bei s%10=8 s%100=88 sein müsste, weil eine Schnapszahl mindestens zwei
Ziffern hat.

Also für gerade Quadratzahlen gibt es kein Ergebnis.

a ist ungerade:

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Bei ungerade ist es m.E. komplizierter. Hier habe ich erstmal -1²+1²+3²=11 und 41²+43²+45²=5555 gefunden, also ist die Frage
prinzipiell mit ja zu beantworten. Ich hab mich auch gefragt, ob es ggf. noch weiter Schnapszahlen dieser Art gibt. Ergebnis
ist, dass es eventuell noch eine Schnapszahlen aus lauter Fünfen geben könnte.

Dann müsste aber eine der Zahlen ...1851851851849 = a² eine Quadratzahl sein. Wobei ... für weitere Zifferngruppen 185
stehen. Ich hatte bis zu 10 Zifferngruppen 185, also 7 stellige bis zu 34 stellige Zahlen getestet, aber es war keine Quadratzahl dabei.
Also wenn es noch eine mögliche Schnapszahl gibt, dann hat sie mehr als 34 Stellen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber
verschwindend gering, da mit jeder Zifferngruppe 185 sich der Abstand benachbarter Quadratzahlen mehr als verdreißigfacht.

[Neuling]

@ Otmar - fast! Eine winzige Ergänzung muss noch sein, sonst bekommst Du nur die "halbe" Punktzahl!

[Otmar]

Hallo Neuling,

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solltest du beweisen können, dass es nicht mehr Schnapszahlen gibt, dann warte ich gespannt auf die Auflösung. Aber vielleicht möchtest du noch wissen, dass fast jede Quadratzahl zwei Wurzeln hat. Also 11 = (-3)²+(-1)²+1² und 5555 = (-45)²+ (-43)²+ (-41)².

Weiterhin habe ich festgestellt, dass es für dieses Rätsel eine geradzahlige Punktzahl gibt, oder verteilst du auch halbe Punkte

[Neuling]

Hallo Otmar!
Dir kann ich ja schon zur richtigen Lösung gratulieren!
Natürlich hättest Du auch ohne Deine Ergänzung die volle "Schnaps"Punktzahl bekommen, denn

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so wie ich die Frage formuliert habe, hätte auch ein Beispiel genügt.

Und nein, da hoffst Du vergebens, den gewünschten Beweis kann ich nicht erbringen.

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Hatte eine Idee, mit der ich dachte, vielleicht doch einen Beweis liefern zu können.

Also, wie Du richtig erkannt hast ---> wenn überhaupt, dann könnte es nur noch Lösungen mit Schnapszahlen 5 geben.

Aus der Tatsache, dass sich die letzten n Ziffern eines Quadrates nur aus den letzten n Ziffern der beiden Faktoren bilden, wollte ich eine Stelle finden, von der ich sagen könnte "so kann eine Quadratzahl nicht enden". Aber mein Taschenrechner schaffte es nur bis ....51849.
Die Einerstelle "9" kann nur durch 3 oder 7 entstehen.
Die "49" kann nur durch 43, 93, 07 oder 57 entstehen.
Die "849" kann nur durch 043, 543, 293, 793, 207, 707, 457 oder 957 entstehen.
Die "1849" kann nur durch 0043, 5043, 1293, 6293, 3707, 8707, 4957 oder 9957 entstehen.
(Interessant: 543, 793, 207 und 457 sind rausgefallen, aber die anderen führten zu je 2 Möglichkeiten)
Die "51849" kann nur durch 25043, 75043, 31293, 81293, 18707, 68707, 24957 oder 74957 entstehen.
(Das gleiche Phänomen: 0043, 6293, 3707 und 9957 sind rausgefallen, aber die anderen führten wieder zu je 2 Möglichkeiten.)

Als nächstes müsste ich Endung "851849" prüfen. (Schritt für Schritt die Zahl 185185...1851849 durcharbeiten). Dabei muss ich jeder der 8 Möglichkeiten je einmal die Ziffer von 0 bis 9 voranstellen und Quadrieren. usw. Sollte es bei irgendeinem Zwischenschritt keine Möglichkeiten mehr geben, wäre dies der Beweis, dass es keine weiteren Lösungen geben kann.

[Neuling]

Hier noch kurz (ist leider doch etwas länger geworden) skizziert, wie ich das Problem gelöst habe.

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Das Knifflige an dieser Aufgabe war wohl, auf einen komfortablen Ansatz zu kommen. Statt die 3 Zahlen a, a+2 und a+4 zu nennen und damit in der Summe neben a² auch a zu haben, ist es praktischer die Zahlen a-2, a und a+2 zu benennen.
---> S = (a-2)² + a² + (a+2)² = 3a² + 8
Kann S = 3a² + 8 = xxx...xxx mit 1 ≤ x ≤ 9 eine Schnapszahl sein?
Für x = 3, 6, 9 ist die Schnapszahl immer durch 3 teilbar, die linke Seite der Gleichung wegen der 8 aber nicht, d.h. 3, 6, 9 sind keine Lösungen.

x = 8
Wegen 8 - 8 = 0 brauche ich mindestens 3 weitere Achten. a² = (8888 - 8) / 3 = 2960 ---> Dies ist keine Quadratzahl und auf 60 kann auch keine Quadratzahl enden. Damit ist auch der Fall x = 8 erledigt.

Die Fälle x = 2, 4, 7 liefern bei gleicher Betrachtungsweise ebenfalls keine Lösungen.

x = 1
Mit a² = (11 - 8) / 3 = 1 (oder - 1) ergeben sich hier die beiden ersten Lösungen:
- 1, 1, 3 und -3, -1, 1
Die nächste zu untersuchende Zahl wäre jetzt: a² = (11111 - 8) / 3 = 3701 ---> Dies ist keine Quadratzahl und auf 701 kann auch keine Quadratzahl enden. Weiteres Voranstellen von je drei Einsen kann also nie zu einer Lösung führen.

x = 5, der interessanteste aller Fälle
Wegen 55 - 8 = 47 brauche ich zunächst zwei Fünfen, damit die kleinste (um 8 verminderte) Schnapszahl durch 3 teilbar wird. Später müsste dann immer um drei Fünfen erweitert werden.
a² = (5555 - 8) / 3 = 1849 ---> a = 43 bzw. - 43
Die Lösungen: - 45, - 43, -41 und 41, 43, 45

Die Frage ist jetzt, kann es weitere Lösungen durch Voranstellen von je drei Fünfen geben? Im Prinzip ja, denn 1849 ist eine "mögliche Endung". Beweisen oder dementieren kann ich es aber nicht, wie schon im vorigen Posting erwähnt.