Quadratzahlen

[kurth]

Hmmmm....
Diesmal war ich nicht sicher, ob ich das Rätsel vielleicht in "Harte Nüsse" geben soll.
Zumindestens liest es sich anfangs so.
Aber wenn man es richtig anpackt, ist es eigentlich "nur" kniffelig.

Also:

Bilde aus allen Zahlen von 1 bis 15 eine Reihe und zwar so,
daß jede Zahl genau einmal vorkommt
und die Summe zweier benachbarter Zahlen eine Quadratzahl ergibt.

Beispiel : 1 - 3 - 13 - 12 - 4 ....... usw.

Wer schafft das?

kurth

[Neuling]

Danke kurth!

Lösung:

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9 - 7 - 2 - 14 - 11 - 5 - 4 - 12 - 13 - 3 - 6 - 10 - 15 - 1 - 8

Lösungsweg:

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In den Klammern stehen die Zahlen, mit denen eine Quadratzahl gebildet werden kann.

1 (3, 8, 15) - 2 (7, 14) - 3 (1, 6, 13) - 4 (5, 12) - 5 (4, 11) - 6 (3, 10) - 7 (2, 9) - 8 (1) - 9 (7)
10 (6, 15) - 11 (5, 14) - 12 (4, 13) - 13 (3, 12) - 14, (2, 11) - 15 (1, 10)

---> 8 und 9 müssen an den Rändern stehen!

Beginnt man mit 9 ergibt sich sofort die Lösung.

9 - 7 - 2 - 14 - 11 - 5 - 4 - 12 - 13 - 3 - (13 ist weg, 1 brauche ich für die 8 am Rand, also ... ) - 6 - 10 - 15 - 1 - 8

[ginger]

Hab's auch mal versucht ...

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... und meine Reihe sieht so aus:

9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8

Einen logischen Lösungweg habe ich allerdings nicht eingeschlagen ... ich habe mit der 15 begonnen und mich dann nach links bis zur 9 vorgearbeitet, blieben 1 uns 8 übrig, die sich wunderbar rechts anhängen ließen.

[Claudi]

Schöne Aufgabe!

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8, 1, 15, 10, 6, 3, 13, 12, 4, 5, 11, 14, 2, 7, 9
oder von hinten nach vorne

[Otmar]

Hallo Kurth,

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es gibt ja nur 4, 9, 16 und 25 als in Frage kommende Summen. Wenn man für jede Summe alle Zahlenpaare aus {1,..,15} durch passende Bögen zwischen je zwei Zahlen markiert, findet man schnell heraus, dass 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8 bis auf Richtungswechsel, die einzige Lösung ist. 16 und 17 hätten auch noch eine Platz gefunden, aber bei 18 ist dann endgültig Schluss.

Interessant und schön zugleich, fand ich, dass bei der Lösung die Summeneigenschaft: "Quadratzahl" eine eher untergerodnete Bedeutung hat.

[kurth]

RICHTIG!
Otmar und Neuling haben auch die richtige Begründung dafür geliefert:

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Für die 8 und die 9 gibt es nur eine Zahl die auf eine Quadratzahl ergänzt.
Sie müssen daher am Anfang und am Ende stehen.
Die 1 (3,8,15) und die 3 (1,6,13) haben drei Möglichkeiten.
Die restlichen Zahlen zwei.

So gibt es nur eine Lösung (bzw. die Reihe umgekehrt),
da auch die "Verführungen" mit der 3 scheitern.

8-1-3-6-10-15- ???? (die 1 gibt es ja schon) und
8-1-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9 -???? (6, 10, 15 fehlen)

Schon interessant, daß sich diese scheinbar schwierige Aufgabe,
so mühelos lösen läßt! (Wenn man's richtig anpackt )

lg kurth