Osterrätsel 1 Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Osterrätsel 1

Beitragvon Neuling » Sonntag 24. Februar 2013, 13:12

Auch wenn es bis zum diesjährigen Osterfest noch ein paar Tage dauert, so machen sich Max und Lena doch schon einige Gedanken über die Ostereiersuche.
Auf einer "Spielwiese" wollen sie testen, auf wie vielen verschiedenen kürzesten Wegen sie vom Startfeld S in der linken oberen Ecke zum Zielfeld Z in der rechten unteren Ecke gelangen können.
Als kleine Hilfe sind die Felder beschriftet. Ein Weg führt immer über eine Strecke "2013--OSTERPARCOURS"


Osterparcours.png
Osterparcours.png (19.16 KiB) 648-mal betrachtet


Aufgabe :

Max läuft alle möglichen gelben Wege einmal ab und Lena alle blauen.
Keiner darf die Felder des anderen betreten.
Wie oft muss Max laufen und wie oft Lena?

PS. Diese Aufgabe ist Theorie. Über die praktische Durchführbarkeit machen sich Max und Lena keine Gedanken.
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Sonntag 24. Februar 2013, 13:12
Ende: Mittwoch 27. Februar 2013, 13:12
Aktuell: Montag 29. April 2024, 08:55
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Re: Osterrätsel 1

Beitragvon Otmar » Dienstag 5. März 2013, 02:31

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Das geht z.B. induktiv so:
Die Anzahl der möglichen Wege von einem Kästchen ist die Summe aus der Anzahl der möglichen Wege von den Kästchen, die ich als nächstes betreten darf. Ich kann von einem Kästchen entweder nach rechts oder nach unten gehen. Am Rand ist auch das eine oder andere nicht erlaubt. Damit können Max und Lena rechnen:

Wenn man Zeilen und Spalten von oben nach unten bzw. links nach rechts mit 0 beginnend nummeriert erhält man für die Anzahl der kürzesten gelben Wege zum Ziel ab einer bestimmten Position z,s:
Für s = 10 ist g(z,s)=1 sonst für z>s oder z=s=9 ist g(z,s) = 0 und sonst ist g(z,s)=g(z,s+1)+g(z+1,s) Damit erhält man g(0,0) = 11934 für Maxens Wege.
Ganz ähnlich rechnet man mit blau: b(z,s) = 1 für z=9 sonst für z <= s b(z,s) = 0 und sonst b(z,s)=b(z,s+1)+b(z+1,s). Dann hat man b(1,0)=1430 für Lenas Wege.
--------------------
Sieht natürlich schöner aus, wenn man es in die Kästchen einträgt:

oster1.PNG
oster1.PNG (14.67 KiB) 621-mal betrachtet
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Osterrätsel 1

Beitragvon Neuling » Dienstag 5. März 2013, 14:40

Hallo Otmar!
:glueckwunsch: zu den richtigen Ergebnissen und :respekt: für Deine Darstellung der Lösung.
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So schön hätte ich es nicht dokumentieren können. Danke, das erspart mir doch einiges. :danke:

Und nur am Rande möchte ich erwähnen,
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dass bei einem nicht "geteilten" Wegenetz in den "Diagonalen" von links unten nach rechts oben, die Binomialkoeffizienten zu finden sind. Manch einer erinnert sich vielleicht noch, was das war!?

Binomialkoeffizienten.gif
Binomialkoeffizienten.gif (16.41 KiB) 603-mal betrachtet

Dann kann es ja jetzt an die Ostereier"suche" im Osterrätsel 2 gehen.

LG Neuling
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