Max, Lena und ihre Sparschweinchen

[Neuling]

Max und Lena haben ihre Sparschweinchen, die nur Münzen enthalten, "zertrümmert".
Jeder zählt seine Münzen und errechnet den Geldwert.

Max stellt fest, dass sie zusammen den kleinstmöglichen Geldbetrag haben, der sich nicht mehr mit einer
Münzenanzahl ≤ 100 zusammenstellen lässt. Und sie haben zu diesem Betrag auch die kleinstmögliche Anzahl an Münzen.
Obwohl Lena eine Münze mehr hat als Max, hat sie weniger Erspartes und zwar so viel weniger, wie die kleinstmögliche Differenz bei dieser Münzenverteilung ermöglicht.

Wie viel Geld hat jeder und in welchen Stückelungen?

PS: Gemeint sind Münzen mit den Werten: 1 Cent, 2 Cent, 5 Cent, 10 Cent, 20 Cent, 50 Cent, 1 Euro und 2 Euro

[Otmar]

Hallo Neuling,
mein Bauchgefühl sagt:

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101 Münzen für 18988 Cent. Also 94 Zwei-Euro Münzen und je eine der restlichen Werte. Alle kleineren Beräge sollten mit weniger als 101 Münzen gehen. Aufgeteilt hätte ich jetzt die 2 Euro-Stücke zu gleichen Teilen (also jeder 47) und Max würde das Euro, das 2 Cent und das Cent Stück bekommen. Also hat Max 9503 Cent und Lena 9485 Cent, da sie ja zu den 47 Zwei-Euro Stücken noch das 50 Cent, 20 Cent, 10 Cent und 5 Cent Stück bekommt. Die Differenz wären 18 Cent.

Keine Ahnung, ob mein Bauch rechnen kann

[Claudi]

Hallo Neuling, das ist ja eine schöne Feiertagsaufgabe.
Lena und Max haben also zusammen

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101 Cent, wobei Lena 50 Cent und Max 51 Cent gehören. Für 51 Cent sind mindestens zwei Münzen erforderlich, eine 50er und eine 1-Cent-Münze. Da Lena eine Münze mehr hat, müsste sie zwei 20-Cent-Münzen und eine 10-Cent-Münze gespart haben.

[Neuling]

Hallo Claudi!
Der Feiertag ist noch lang (die Spoilersperrzeit auch) und ich denke die Zeit reicht, um Deine Lösung nochmal zu überdenken. Du hast die Bedingung ---> "nicht mehr mit einer Münzenanzahl ≤ 100" nicht berücksichtigt.
Gruß Neuling

[Claudi]

@ Neuling:

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Doch, ich glaubte schon, das berücksichtigt zu haben. "Nicht mehr mit einer Münzenanzahl ≤ 100" bedeutet für für mich, dass der Betrag gerade nicht mehr mit 100 Münzen zusammengestellt werden kann (mit weniger als 100 sowieso nicht). Wo ist denn da der Denkfehler?

[Neuling]

@ Claudi
Man kann jeden Geldbetrag (außer 1 Cent) doch auf verschiedene Arten darstellen. Und von diesen Darstellungen gibt es dann eine, mit der wenigsten Anzahl an Münzen.
z.B. kannst du 8 Cent auf drei verschiedene Arten präsentieren - 8 mal 1 Cent, 4 mal 2 Cent oder (1 mal 5 Cent, 1 mal 2 Cent und 1 mal 1 Cent). Die letzte Art ist die mit den wenigsten Münzen und Du kannst 8 Cent nicht mit weniger als 3 Münzen darstellen. (Obwohl es dann größere Geldbeträge gibt, die sich dann wieder mit 2 Münzen darstellen lassen, z.B. 11 Cent)

Reicht dieser Denkanstoß?

[Claudi]

Danke, Neuling. Dass es um möglichst wenige Münzen ging, war mir aus der Formulierung nicht klar geworden. Es geht also um den kleinstmöglichen Betrag, für den mindestens 101 Münzen erforderlich sind?
Mein Beispiel war natürlich Quatsch.

[Friedel]

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Um auf 1,88€ zu kommen, braucht man 7 Münzen. Für alle kleineren Beträge braucht man weniger Münzen. Und alle größeren Beträge bis 2€ kann man auch mit maximal 7 Münzen erreichen. Der kleinste Betrag, für den man mindestens 101 Münzen braucht, ist also 94*2€+1,88€ = 189,88€.

Sie haben also

• 94 Münzen zu 2€,
• 1 Münze zu 1€,
• 1 Münze zu 50¢,
• 1 Münze zu 20¢,
• 1 Münze zu 10¢,
• 1 Münze zu 5¢,
• 1 Münze zu 2¢ und
• 1 Münze zu 1¢.

Lena hat 51 Münzen und Max hat 50. Da die Differenz der Beträge der beiden möglichst klein sein soll, müssen beide je 47 Münzen zu je 2€ = 94€ haben. Die restlichen 1,88€ sind so aufgeteilt, dass Max nur 3 Münzen, aber mehr Geld als Lena hat. Er muss also das 1€-Stück haben. Damit die Differenz möglichst klein ist, muss Lena die 4 nächst wertvollsten Münzen haben.

Lena hat also

• 47 Münzen zu 2€,
• 1 Münze zu 50¢,
• 1 Münze zu 20¢,
• 1 Münze zu 10¢ und
• 1 Münze zu 5¢.

Das sind zusammen 94,85€.

Max hat

• 47 Münzen zu 2€,
• 1 Münze zu 1€,
• 1 Münze zu 2¢ und
• 1 Münze zu 1¢.

Das sind zusammen 95,03€.

Die Differenz ist 18¢.

[Claudi]

So, jetzt bin ich mal gespannt, ob das stimmt:

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Max und Lena haben zusammen 189,88 Euro und zwar eine 1-, 2-, 5-, 10-, 20- und 50-Cent-Münze, eine 1-Euro-Münze und 94 2-Euro-Münzen. Die Verteilung nach Vorgabe ergibt dann 95,03 Euro für Max und
94,85 Euro für Lena.

[Neuling]

Glückwunsch zu drei richtigen Lösungen! Nach anfänglichen Startschwierigkeiten hat auch Claudi noch das Problem durchschaut.
Erläuterungen zu den Lösungen wurden auch gegeben, so dass für mich nichts weiter zu tun bleibt, als das
'Gelöst-Häkchen' zu setzen.

@ Otmar - auf Deinen Bauch ist Verlass!!