Lena, Max und die Waben

[Neuling]

Lena hat gerade versucht, in eine "Dreier-Waben-Grafik" die Zahlen von 1 bis 3 so einzutragen, dass in jeder Wabenreihe die Zahlen 1, 2, 3 genau einmal auftauchen. Sie hat es nicht geschafft.
Max versucht sich trotzdem an der nächst größeren, der "Vierer-Waben-Grafik", mit den Zahlen von 1 bis 4. Auch er will, dass die Zahlen in jeder Reihe genau einmal auftauchen.
Lena glaubt, dass er es nicht schaffen wird. Hat sie Recht?

Was mit Wabenreihen gemeint ist, zeigt die folgede Grafik:

Wabenreihen.gif (3.81 KiB) 951-mal betrachtet

Und hier die Grafiken an denen sich Lena und Max versuchen:

Waben Lena.gif (2.07 KiB) 951-mal betrachtet

Waben Max.gif (5.68 KiB) 951-mal betrachtet

[Otmar]

Hallo Neuling,
das ist so eine Art Sudoku wobei das Quadrat durch eine Waaben ersetzt ist, nicht klar ist ob die Lösung eindeutig ist oder überhaupt existiert und nicht alle Felder Zahlen bekommen müssen. Also ein fast Sudoku....

Die Sudokuwelle hat mich komplett verpasst und deshalb

Mehr ->

wünschte ich, dass Max so wie Lena keine Chance hat und eine netter Beweis dafür in deinem Rätsel verborgen ist. Aber da der arme Max schon beim letzten Schiebespiel verlieren musste, war sich mein Bauchgefühl zu 100% sicher, dass es wenigstens eine Lösung für Max geben wird. Und weil ich oben schon schrieb, dass ich Sudokus nicht so mag, hab ich abgekürzt und mit einer kleinen Rekursion hat mein Rechner folgende Lösungen berechnet:

.
   1 2 3 4 
  2 3 4 . 1 
 4 . . 1 2 3 
3 1 . . . 4 2 
 4 2 3 . . 1 
  1 . 4 2 3 
   2 3 1 4 

   1 2 3 4 
  2 4 . 1 3 
 4 3 . . 2 1 
3 . 1 . 4 . 2 
 1 2 . . 3 4 
  4 3 . 2 1 
   2 1 4 3 

   1 2 3 4 
  3 . 4 1 2 
 4 1 2 . . 3 
2 3 . . . 4 1 
 4 . . 3 1 2 
  1 2 4 . 3 
   3 1 2 4 

   1 2 3 4 
  3 4 . 1 2 
 2 1 . . 4 3 
4 . 2 . 3 . 1 
 3 4 . . 1 2 
  1 3 . 2 4 
   2 1 4 3 

   1 2 3 4 
  3 4 1 . 2 
 2 . . 3 4 1 
4 1 . . . 2 3 
 3 4 2 . . 1 
  2 . 1 3 4 
   1 3 4 2 

   1 2 3 4 
  4 . 1 2 3 
 2 3 4 . . 1 
3 1 . . . 4 2 
 4 . . 2 3 1 
  2 3 1 . 4 
   1 4 2 3

Wenn ich mich beim Programmieren nicht vertan habe, sollten das alle Möglichkeiten mit deiner Vorgabe sein.

[Neuling]

Hallo Otmar, schön dass Du so viel Mitleid für Max zeigst.
Kannst Du auch mir helfen? Ich hänge nämlich an der "Fünfer-Waben-Grafik".
Wobei ich die Antwort für die "Sechser-Waben-Grafik" kenne.
Gruß Neuling

PS: Und Max ist ein Fan von Dir, was Drehungen, Spiegelungen, usw. betrifft.

[Otmar]

PS: Und Max ist ein Fan von Dir, was Drehungen, Spiegelungen, usw. betrifft.

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Na ja, so wie die Aufgabe gestellt war, hat sie nunmal 6 verschiedene Lösungen. Ich wollte wissen, ob dein Rätsel eine Art Sudoku ist, bei dem mindestens so viele Felder vorgegeben sind, dass die Lösung eindeutig wird, aber dazu wäre, welche Lösung du auch bevorzugst, eine weiter Ziffer in die Waabe einzutragen.
Ist ja auch nicht so, dass jede Drehung, Spiegelung und Permutation zu einer neuen Lösung führt. Denn dann wären es ja je "Elementarlösung" 6*2*4! =288 Lösungen. Da wirkt die Vorgabe von vier Zellen schon extrem einschränkend.

Bezüglich Drehung und Spieglung sind von meinen Lösungen nur zwei äquivalent und zwar die dritte und die fünfte. Wenn die fünfte Waabe um
120° im Uhrzeigersinn gedreht wird, kommt die dritte Waabe raus. Sonst geht da nichts, weder durch Spiegeln noch durch Drehen kann man zwei andere Waaben ineinander überführen. Wenn du (oder war es Max) mit "Drehungen, Spiegelungen, usw." meinst, dass man zur Drehung und Spiegelung auch noch die Nummern permutieren könnte, dann sind natürlich alle meine 6 Waaben äquivalent. Aber das wäre eine Antwort auf eine andere Frage. Z.B. In einer Waabe sollen einige Zellen mit einer von vier Farben gefüllt werden, so dass in jeder Reihe jede Farbe genau einmal vorkommt. Und dann dürfen keine Felder mit Farben vorgegeben werden, sonst führt das Permutieren und Drehen/Spiegeln wieder zu neuen Lösungen.

Kannst Du auch mir helfen? Ich hänge nämlich an der "Fünfer-Waben-Grafik".

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Da gibt es 168 verschiedene Lösungen, wenn die obere Reihe vorgegeben wird. Sie können aus 23 verschiedenen Elementarlösungen, durch Drehen, Spiegeln und Permutieren der Ziffern erzeugt werden.

Nr 1:
    1 2 3 4 5 
   2 . 1 5 3 4 
  3 4 . . 1 5 2 
 4 5 . 3 . 2 . 1 
5 1 4 . . . . 2 3 
 3 5 2 . . 4 . 1 
  2 . . 1 5 3 4 
   1 2 . 3 4 5 
    4 3 1 5 2 
Nr 2:
    1 2 3 4 5 
   2 . 1 5 3 4 
  3 5 . . 4 1 2 
 5 4 . 3 . 2 . 1 
4 1 2 . . . . 5 3 
 3 4 . 1 . 5 . 2 
  5 2 . . 4 3 1 
   1 . 5 3 2 4 
    2 3 1 4 5 
Nr 3:
    1 2 3 4 5 
   2 . 1 5 3 4 
  4 5 2 . . 1 3 
 5 3 4 . . . 2 1 
3 1 . . . 5 4 . 2 
 4 . 1 . 3 . 2 5 
  5 3 2 . . 4 1 
   2 4 . 1 5 3 
    1 2 5 3 4 
Nr 4:
    1 2 3 4 5 
   2 . 1 5 3 4 
  5 4 . . 2 1 3 
 3 1 . . 4 . 5 2 
4 5 2 3 . . . . 1 
 3 4 . . 5 . 1 2 
  5 1 . . 2 3 4 
   2 . 3 1 4 5 
    1 2 4 5 3 
Nr 5:
    1 2 3 4 5 
   2 . 1 5 3 4 
  5 4 2 . . 1 3 
 3 1 . . 4 . 5 2 
4 5 . 3 . . 2 . 1 
 3 4 . . 5 . 1 2 
  5 1 2 . . 3 4 
   2 . 3 1 4 5 
    1 2 4 5 3 
Nr 6:
    1 2 3 4 5 
   2 3 . 5 1 4 
  4 . 5 1 . 2 3 
 5 1 4 . 3 . . 2 
3 4 . . . . 2 5 1 
 5 2 . . . 4 1 3 
  1 3 2 5 . . 4 
   2 . 3 1 4 5 
    4 1 5 3 2 
Nr 7:
    1 2 3 4 5 
   2 3 . 5 1 4 
  4 1 . . 2 5 3 
 5 . 4 . 3 . 2 1 
3 4 5 . . 1 . . 2 
 5 1 2 . . . 4 3 
  2 3 . . 4 5 1 
   1 . 3 5 2 4 
    4 2 1 3 5 
Nr 8:
    1 2 3 4 5 
   2 4 1 5 . 3 
  3 5 . . 2 1 4 
 5 1 . . 4 . 3 2 
4 . 2 3 . . . 5 1 
 3 4 . . 5 . 1 2 
  5 1 . . 2 3 4 
   2 3 4 1 . 5 
    1 2 5 4 3 
Nr 9:
    1 2 3 4 5 
   2 4 1 5 . 3 
  3 5 2 . . 1 4 
 5 1 . . 4 . 3 2 
4 . . 3 . . 2 5 1 
 3 4 . . 5 . 1 2 
  5 1 2 . . 3 4 
   2 3 4 1 . 5 
    1 2 5 4 3 
Nr 10:
    1 2 3 4 5 
   2 4 1 5 . 3 
  5 3 . . 4 1 2 
 4 . 5 . . 2 3 1 
3 1 2 . . . . 5 4 
 5 . 3 1 . 4 . 2 
  4 2 . . 5 3 1 
   1 3 4 . 2 5 
    2 5 1 4 3 
Nr 11:
    1 2 3 4 5 
   2 4 5 . 3 1 
  5 3 . 1 2 . 4 
 4 . 1 . . 5 2 3 
3 5 4 . . . . 1 2 
 1 . 2 . . 3 4 5 
  2 3 . 4 5 . 1 
   5 1 3 . 2 4 
    4 2 1 5 3 
Nr 12:
    1 2 3 4 5 
   3 . 4 5 1 2 
  4 5 . . 2 3 1 
 2 1 . . 3 . 5 4 
5 4 2 1 . . . . 3 
 3 5 . . 4 . 1 2 
  1 3 . . 2 5 4 
   2 . 5 4 3 1 
    4 1 3 2 5 
Nr 13:
    1 2 3 4 5 
   3 . 4 5 1 2 
  4 5 2 . . 3 1 
 2 1 . . 3 . 5 4 
5 4 . 1 . . 2 . 3 
 3 5 . . 4 . 1 2 
  1 3 2 . . 5 4 
   2 . 5 4 3 1 
    4 1 3 2 5 
Nr 14:
    1 2 3 4 5 
   3 . 4 5 2 1 
  4 5 2 1 . . 3 
 2 1 . 3 . . 5 4 
5 4 . . . . 1 3 2 
 3 5 . . 4 . 2 1 
  1 . 3 2 . 5 4 
   2 1 5 4 . 3 
    4 3 2 1 5 
Nr 15:
    1 2 3 4 5 
   3 4 1 5 . 2 
  4 5 . . 2 1 3 
 2 3 . . 4 . 5 1 
5 . 2 1 . . . 3 4 
 1 5 . . 3 . 4 2 
  4 3 . . 2 5 1 
   2 1 5 4 . 3 
    3 4 1 2 5 
Nr 16:
    1 2 3 4 5 
   3 4 1 5 . 2 
  4 5 2 . . 1 3 
 2 3 . . 4 . 5 1 
5 . . 1 . . 2 3 4 
 1 5 . . 3 . 4 2 
  4 3 2 . . 5 1 
   2 1 5 4 . 3 
    3 4 1 2 5 
Nr 17:
    1 2 3 4 5 
   3 4 5 . 2 1 
  4 5 . 1 . 3 2 
 2 1 . . . 4 5 3 
5 . 2 . 3 . 1 . 4 
 3 4 5 . . . 2 1 
  1 3 . 2 . 4 5 
   2 1 . 4 5 3 
    4 5 3 1 2 
Nr 18:
    1 2 3 4 5 
   3 4 5 1 . 2 
  4 5 . . 2 1 3 
 2 . . . 3 4 5 1 
5 1 2 . . . . 3 4 
 3 4 5 1 . . . 2 
  1 3 . . 2 4 5 
   2 . 3 4 5 1 
    4 5 1 2 3 
Nr 19:
    1 2 3 4 5 
   3 4 5 1 . 2 
  4 5 . . 2 3 1 
 2 1 . 3 . . 5 4 
5 . 2 . . 4 . 1 3 
 3 4 . 1 . . 5 2 
  1 5 . . 2 3 4 
   2 3 5 4 . 1 
    4 1 3 2 5 
Nr 20:
    1 2 3 4 5 
   3 4 5 1 . 2 
  4 5 2 . . 3 1 
 2 1 . 3 . . 5 4 
5 . . . . 4 2 1 3 
 3 4 . 1 . . 5 2 
  1 5 2 . . 3 4 
   2 3 5 4 . 1 
    4 1 3 2 5 
Nr 21:
    1 2 3 4 5 
   3 4 5 2 . 1 
  4 5 . . 1 3 2 
 2 . 1 . . 4 5 3 
5 3 . . 2 . . 1 4 
 1 4 5 . . 3 . 2 
  2 1 3 . . 4 5 
   3 . 2 4 5 1 
    4 5 1 2 3 
Nr 22:
    1 2 3 4 5 
   3 5 4 1 . 2 
  5 4 . . 2 1 3 
 2 1 . . 3 . 5 4 
4 . 2 5 . . . 3 1 
 3 1 . . 4 . 5 2 
  5 3 . . 2 1 4 
   2 4 3 1 . 5 
    1 5 4 2 3 
Nr 23:
    1 2 3 4 5 
   3 5 4 1 . 2 
  5 4 2 . . 1 3 
 2 1 . . 3 . 5 4 
4 . . 5 . . 2 3 1 
 3 1 . . 4 . 5 2 
  5 3 2 . . 1 4 
   2 4 3 1 . 5 
    1 5 4 2 3

Wobei ich die Antwort für die "Sechser-Waben-Grafik" kenne.

Mehr ->

Bei Waaben für 6 und mehr Ziffern scheint die Lösungsmenge zu explodieren. Ich hab mein Programm für Waabengröße 6 nicht zu Ende laufen lassen, es würde ca. einen Tag arbeiten und es kommen ständig neue Lösungen heraus.

[Neuling]

Hallo Otmar! und Danke!

Deinen Ausführungen ist fast nichts mehr hinzuzufügen, nur

Mehr ->

nicht jeder hat das Talent, ein Programm zu schreiben und die weitere Arbeit dem Rechner zu überlassen.
Daher noch einen Lösungsansatz von mir. Ich selbst habe diesem Aufgabenkomplex etliche Stunden geopfert.

Die "Zweier-Grafik" hat eine Lösung. Die "Dreier-Grafik" führt zu keiner Lösung, ist auch schnell durchprobiert.
Also weiter mit der "Vierer-Grafik". Um herauszufinden, ob es überhaupt eine Lösung geben kann, habe ich versucht, je Reihe vier Felder farblich zu markieren. Da der Außenring vollständig belegt sein muss, hat sich das ganze etwas reduziert, es waren aber doch noch einige Möglichkeiten durchzuprobieren. Entstanden sind die folgenden 3 Muster, die also jetzt besagen - Wenn es eine Lösung mit Zahlen gibt, dann muss sie in solch eine Vorgabe passen.

Vierer 3 Muster.gif (12.08 KiB) 933-mal betrachtet

Habe dann Schritt für Schritt alle möglichen Eintragungen vorgenommen (viel Arbeit, sehr viel Arbeit!). Irgendwann führt eine Möglichkeit entweder zum Widerspruch oder zum Erfolg. Die beiden ersten Muster führen zu keinen Lösungen. Die sechs von Dir genannten Lösungen basieren alle auf dem Muster 3.

Dass alle 6 Lösungen ineinander "überführbar" sind, wollte ich nur als Ergänzung bringen.
Und am Beispiel von Lösung 5 habe ich es mal dargestellt.
Lösung 5 um 180° gedreht. Daneben ist Lösung 1 abgebildet. Mit farbigen Waben habe ich dargestellt, wie die Substitution erfolgen müsste.

Wabe Max L5 180° und L1 farbig.gif (12.85 KiB) 933-mal betrachtet

Lena hatte also nicht Recht. Aber um dies herauszufinden, muss man sich entweder eine Lösung erarbeiten oder einen Beweis erbringen, dass es keine Lösungen geben kann.

Hallo Otmar!
Nachdem ich die Antworten für die Grafiken der Größen 2, 3 und 4 kannte, wollte ich sie natürlich auch für die Größe 5 wissen.

Mehr ->

Habe daher genauso angefangen die Muster zu erstellen. Diesmal werden es weit mehr als nur drei und es sind auch unsymmetrische dabei.

Musterpalette Größe 5.png (246.29 KiB) 933-mal betrachtet

Einige doppelte habe ich schon entfernt, könnten aber immernoch identische dabei sein. Und ich bin noch nicht durch, mit der systematischen Suche.

Nach Deinen Zeilen, für die ich Dir nochmals danke, breche ich jetzt aber diesen "Wahnsinn" der Suche per Hand ab.

LG Neuling

[Neuling]

Hallo Otmar!
Habe noch ein bisschen mit den Lösungen der Fünfer-Grafik gespielt und allen 23 Lösungen mal ihre Muster zugeordnet, aus denen sie entstanden sind.

Mehr ->

Dachte, dass ich jetzt 23 verschiedene Bildchen bekomme. Dies ist aber nicht der Fall.

Musterpalette zu Lösungen von Otmar.jpg (159.53 KiB) 914-mal betrachtet

Identisch (u.a. durch Drehung) sind:
L4 = L12 = L20
L5 = L13 = L19
L8 = L15 = L22
L9 = L16
L14 = L18

Identisch durch Spiegelung und Drehung sind:
L6 = L10
L17 = L21

Damit reduziert sich das ganze auf diese 10 Muster:

Musterpalette zu Lösungen von Otmar reduziert.jpg (83.48 KiB) 914-mal betrachtet

Gruß Neuling

[Otmar]

Hallo Neuling,
du hast dich ja sehr intensiv mit dem Thema beschäftigt. Alle Achtung! Insbesondere gefallen mir die entstandenen Grafiken sehr gut. Mathematik und Kunst liegt doch sehr nah beieinander.

Mehr ->

Zu den 23 Elementarlösungen für die Fünferwabe: Du hast natürlich Recht, dass es nicht unbedingt sein muss, dass das Muster der unbenutzten Felder bei zwei Elemetnarlösungen verschieden sein muss. Denn bei der Elementarlösung spielt ja nicht nur die Anordnung der nicht mit Zahlen gefüllten Felder eine Rolle, sondern auch die Anordnung der Zahlen selbst. Wenn du z.B. Nr. 4 und Nr. 12 vergleichst, dann ist zwar das Muster der nicht benutzten Felder nach Drehung identisch, aber wenn du jetzt für die Zahlen auch Farben einsetzen würdest, dann kommt weder nach Drehung noch nach Spiegelung ein gleiches Muster raus, auch unabhängig davon, welche Farben du den Zahlen in den einzelnen Lösungen zuordnest.

Inzwischen hab ich mein Programm für die Sechserwabe durchlaufen lassen. Es gibt 50300 Elementarlösungen und 593060 verschiedenen Lösungen mit vorgegebener oberere Reihe. D.h. fast jede Elementarlösung liefern nach jeder der 12 Symmetrieopreationen (6 Drehungen 2 Spiegelbilder) eine neue Lösung nach geeigneter Permutation der Ziffern für das Problem mit vorgegebener oberer Reihe.

Ich bin mir zwar ziemlich sicher, dass die Anzahl der Lösungen mit der Wabengröße wächst, aber beweisen kann ich das nicht. Auch beim Berechnen wird es schwierig. Mein Programm stößt sehr bald an seine Grenzen, wenn die Wabe größer wird. Zumindest ist es gelungen je ein Beispiel bis zur Waabe mit 9 Ziffern zu finden. Daraus könnte man jetzt Waben-Sudokus herstellen, denn seit gestern weiss ich ganz genau, was ein Sudoku ist. Früher wusste ich das nur so ungefähr. Wenn man bei einer Wabe die leeren Felder vorgibt und noch ausreichend Ziffern, dann ist die Suche der fehlenden Ziffern im Prinzip das gleiche Problem, wie bei einem Sudoku.

6 Ziffern:
     1 2 3 4 5 6 
    2 . 1 5 6 3 4 
   3 1 . . 4 2 6 5 
  4 5 6 3 . . . 2 1 
 5 6 4 . 2 . . 1 . 3 
6 4 . . . . 3 . 5 1 2 
 3 2 1 . . 5 . 6 . 4 
  5 6 . 1 . . 4 2 3 
   2 3 5 . 4 . 6 1 
    1 . 2 6 3 4 5 
     4 1 3 2 5 6 

7 Ziffern:
      1 2 3 4 5 6 7 
     2 . 1 5 3 7 4 6 
    3 1 . . 2 5 6 7 4 
   4 5 . 6 7 . . 1 2 3 
  6 3 4 7 . . . 2 . 1 5 
 5 7 6 1 . 3 . . . 4 . 2 
7 4 5 . . . . . 6 . 2 3 1 
 6 7 2 . . . 4 3 . 1 . 5 
  2 . 4 1 . 5 . . 7 6 3 
   3 6 . 2 . . 5 4 1 7 
    1 2 3 . 7 6 . 5 4 
     4 1 . 5 2 3 7 6 
      5 3 1 7 6 4 2 

8 Ziffern:
       1 2 3 4 5 6 7 8 
      2 . 1 5 3 4 8 6 7 
     3 1 . . 2 5 6 7 8 4 
    4 5 . . 7 8 . 1 2 3 6 
   5 3 6 7 8 . . . . 1 4 2 
  6 4 8 1 . 7 . . . 2 . 5 3 
 8 7 2 6 . . 3 4 . . . . 1 5 
7 6 5 8 . . . . . . 2 3 4 . 1 
 8 7 . . . 4 . 5 . 1 6 . 3 2 
  4 2 1 3 . . 6 . . . 7 8 5 
   3 4 . . 2 . 5 . 8 6 1 7 
    6 1 2 . . . 3 4 5 7 8 
     2 5 3 1 7 8 . . 6 4 
      1 . 4 6 5 7 8 2 3 
       5 3 8 7 1 2 4 6 

9 Ziffern:
        1 2 3 4 5 6 7 8 9 
       2 . 1 5 3 4 8 9 6 7 
      3 1 . . 2 5 6 7 4 9 8 
     4 5 . . . 1 9 2 3 8 7 6 
    5 3 2 . 7 9 . . 8 . 6 1 4 
   6 4 5 1 . 8 . . 7 . 9 . 2 3 
  7 8 9 2 . . . 6 . . 3 . 5 4 1 
 8 9 7 6 1 . . . . 4 . . . 2 3 5 
9 7 6 3 8 . 4 . . . . . 1 5 . . 2 
 6 4 8 9 7 . . . 3 . . . . 2 1 5 
  8 9 . . . . . 5 2 7 6 1 . 4 3 
   7 6 3 2 . . . 4 5 . . 8 9 1 
    4 . 1 5 . 6 . 3 . 8 9 2 7 
     2 3 4 . 1 . 8 9 . 5 7 6 
      5 1 2 . . 9 7 6 4 3 8 
       3 5 . 1 2 8 9 7 6 4 
        1 2 5 4 3 7 6 8 9

[Neuling]

@ Otmar- nur der Kunst wegen

Mehr ->

Die Muster zu Deinen Beispielen:

Wabenmuster zu Lösungen Größe 6, 7, 8.gif (46.07 KiB) 900-mal betrachtet

Eine Waben-Grafik der Größe 9 habe ich nicht gefunden und selbst erstellen kann ich soetwas nicht.

Gruß Neuling

PS: Der "Trick" mit dem Klick auf die Grafik funktioniert in meinem Beitrag vom 18.4. nicht so, wie gewünscht. Es erscheint nicht die komplette Grafik. Wieso? Darf die Grafik doch nur eine bestimmte Größe haben?


Edit: Nachtrag

Mehr ->

Habe doch noch eine Wabengrafik der Größe 9 gefunden und zu Deinem Beispiel das Muster erstellt.

Wabenmuster zur Lösung Größe 9.gif (25.92 KiB) 893-mal betrachtet