Der Zeitbonuskaffee

[Otmar]

Hallo Musagetes,

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bis zum Punkt 3 denke ich, dass alles passt. Aber offenbar ist die Problemstellung doch vertrakter als ich dachte.

Die Idee sich die Kaffeewartezeiten anzusehen und damit die Berechnung der Erwartungswerte für die Fahrzeiten zu sparen, ist genial.

Abs. Kaffeewartezeiten Hans h
Abs. Kaffeewartezeiten Franz f
„Eine über lange Zeit geführte Statistik besagt, dass beide im Durchschnitt die gleiche Zeit von zu Hause zum Büro benötigen.“
Daraus folgt:
3.) 3h=2f

Und stimmt auch, wenn man unter der Kaffeewartezeit die Zeit versteht, die einer der beiden mit Kaffeetrinken verbringt, bis der andere im Büro eintrifft. Leider folgt daraus nicht

4.) (H +A)/F = 2/3

Eine Begründung, warum 4 nicht passt, ist, dass für eine Lösung der Aufgabe mit H = 5min und F = 9min die Aufgabe auch mit H = (5 + d) Minuten und F = (9 + d) Minuten für all d >= -5 Minuten gelten müsste. Gleichung 4 gilt aber nur für d = 0.

Es wäre jetzt großer Zufall, wenn die Lösung trotzdem stimmt. Aber der ist nicht eingetreten.

Gruß Otmar

[Musagetes]

Hi Otmar,

ich hatte mich im Untergrund, in den wirren des Fahrplans, etwas verfahren und konnte nun in den Anschlusswartezeiten etwas nachdenken.

@Otmar:
...... Aber offenbar ist die Problemstellung doch vertrakter als ich dachte.

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Als Bezugspunkt habe ich gefälliger weise die Haltestelle „Dummstr.“ Gewählt.

U1-Takt U = 10min
Dummstr. Fahrzeit Klugp. A = 1min
Hans Fußweg H = 5min
Zeitdiff. U2-U1 Z
Summe Boni-Zeiten Hans X
Summe Boni-Zeiten Franz Z – (X + A)
Verhältnis Boni-Zeiten H./F. = 3/2 ==> X/[Z – (X + A)] = 3/2
Gemeinsame Ank.-Zeiten Y
Abs. Kaffeewartezeiten Hans h
Abs. Kaffeewartezeiten Franz f

Franz Fußweg F = H + X + A
U1-Takt U = X + A + Z – (X + A) + Y

1.) U = X + A + Z – (X + A) + Y ==> U = Z + Y
2.) X/[Z – (X + A)] = 3/2 ==> X/(Z – X – A) = 3/2 2X= 3(Z – X – A) ==> Z= (5X + 3A)/3
2.1) Z = (5X/3) + A

1.1) U = 5X/3 + A + Y

@Otmar:
„Eine über lange Zeit geführte Statistik besagt, dass beide im Durchschnitt die gleiche Zeit von zu Hause zum Büro benötigen.“

Daraus folgt:
3.) 2h=3f

Die absoluten Kaffeewartezeiten für Hans = h und für Franz = f sind für sich immer exakt gleich groß.

Bei den Einzelereignissen der Abfahrtszeiten der Boni-Zeiten für Hans X und Franz (Z–X–A) kann zur jeder Fahrzeit der nächstmögliche Abfahrtszeitpunkt für Hans bzw. Franz bestimmt werden.

Das wäre zu jedem Einzelereignis im Abfahrtszeitraum von X immer eine U1- U2 diff. von Z abzüglich A.

Daraus folgen die Abs. Kaffeewartezeiten von Hans h= Z-A

Demzufolge ergibt sich für jedes Einzelereignis im Abfahrtszeitraum (Z– X–A) von Franz eine Abs. Kaffeewartezeit von f =U – Z

Daraus folgt:
3.) 2h=3f
3.1) 2(Z-A) = 3(U–Z) =>
3.2) 2(Z-A) = 3{[U–[(5X/3) + A)]} =>
3.3) X = 3,24

Demzufolge ist der Zeitintervall in der die Boni-Zeiten für Hans erbracht wurden X =3:14 min.

Diese Werte müssten sich auch aus den durchschnittlichen Wartezeiten, den arithmetischen Mittelwerten ergeben, für Hans dX und für Franz d(Z – X – A) in denen die Boni-Zeiten erbracht wurden ergeben.

dX=(1+2+3+ …+X)/X frei nach Gauß dX=(X+1)/2
d(Z – X – A) => d(2X/3) => d(2X/3)=[(2X/3) +1]/2

Somit ergibt sich ein Fußweg für Franz von F = H + X + A => F=5min. + 3:14min +1min
F=9:14min.

Ich hoffe, dass Ihr meinen Ausführungen folgen konntet und dass ich nun etwas mehr Licht am Ende des Tunnels sehe.

Gruß
Musagetes

[Otmar]

Hallo,

Eigentlich hatte ich an eine Lösung ohne Computer gedacht, aber eventeull könnte man die Situation auch programmieren. Dann wären zwei Zeiten zu bestimmen: Zum einen die Zeit, die die U2 nach der U1 fährt und zum anderen die gesuchte Zeit, die Franz von zu Hause zur Dummstraße braucht. Zu prüfen wäre dann, ob das Kaffeeverhältnis passt und die durchschnittliche Zeit zur Arbeit gleich ist. Viel Zufall braucht man nicht. Man lässt die Abfahrtszeiten der U1 einfach in Sekundenschritten über ein 10 Minutenintervall laufen und macht dann jeweils eine Statistik mit 600 Werten.

Aber wenn das jemand programmieren kann, dann kann sie/er es sicher auch direkt ausrechnen. Das Wichtigste dabei ist, dass es Spass macht.

Auf alle Fälle könnte man mit so einem Programm eine Lösung, die man berechnet hat, überprüfen.

@Musagetes

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Ich hoffe, dass Ihr meinen Ausführungen folgen konntet

Das ist mir diesmal leider nicht gelungen. Es könnte mir helfen, wenn du schreiben würdest, warum welche Zeit ein Zeitbonus ist. Bezüglich der Zeitboni Zeiten hat die letzte Lösung eine Änderung bekommen, die ich nicht nachvollziehen kann.

Viele Grüße, euer Otmar

[Phoenix]

Eine Frage:

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Eine über lange Zeit geführte Statistik besagt, dass beide im Durchschnitt die gleiche Zeit von zu Hause zum Büro benötigen.

Die Zeit von zu Hause bis zum Buero berechnet sich doch wie folgt: Fussweg + Wartezeit + die Zeit, die sie nach der Dummstrasse noch brauchen(U-bahn + evt. Laufen). Die restliche Zeit ist fuer beide gleich viel, da sie gleich schnell laufen. Die durchschnittliche Wartezeit duerfte auch gleich viel sein, da die U-bahn ja regelmaessig und zufaellig kommt. Wenn wir dann eine Gleichung aufstellen (fuer Hans kommen noch die 10 Minuten Fahrzeit hinzu), fallen Wartezeit und Restzeit weg, uebrig bleibt: Fussweg von Franz = Fussweg von Hans (5 Minuten) + 10 Minuten => Fussweg von Franz = 15 Minuten. In diesem Fall kommt er jedoch nie in den Genuss eines Zeitbonuskaffes, Hans hingegen schon, wodurch das Raetsel unloesbar wird.

Habe ich etwas an der Aufgabenstellung falsch verstanden oder irgendeinen Fehler gemacht? Die erste Gleichung habe ich schon, aber hier bin ich auf diesen Widerspruch gestossen und kann leider nicht weiterrechnen. Nichtsdestotrotz: Ein sehr schoenes Raetsel Lange nicht mehr solche Knoten im Kopf gehabt

Edit: Arrgh! Ich sollte besser lesen Ok, es hat sich ergeben. Die U2 haelt nicht am Klugplatz.

[Musagetes]

Hi Otmar,

ich habe das Rätsel nicht mit einem Computer-Programm gerechnet, sondern sogar auf zwei verschiedenen Lösungswegen zu Fuß.

Lies mal ganzganz oben!
Da steht „Denksportforum“.

Ich hatte zur besseren Veranschaulichung in einem Zeitdiagramm andere Bezeichnungen verwendet, dabei hat sich ein Fehler eingeschlichen.

Nun habe ich auch den zweiten Lösungsweg, den ich angedeutet hatte, auch ausgearbeitet.

Beide Lösungswege führen nun zum gleichen Ergebnis.

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Als Bezugspunkt habe ich gefälliger weise die Haltestelle „Dummstr.“ Gewählt.

U1-Takt U = 10min
Dummstr. Fahrzeit Klugp. A = 1min
Hans Fußweg H = 5min
Zeitdiff. U2-U1 Z
Gemeinsame Ank.-Zeiten Y
Summe Boni-Zeiten Hans X
Summe Boni-Zeiten Franz (Z – X –A)
Verhältnis Boni-Zeiten H./F. = 3/2
Abs. Kaffeewartezeiten Hans h
Abs. Kaffeewartezeiten Franz f

Franz Fußweg F = H + X + A
U1-Takt U = X + A + Z – X –A + Y

Verhältnis Boni-Zeiten H./F. = 3/2 ==> X/(Z – X) = 3/2

1.) U = X + A + Z – X –A + Y ==> U = Z + Y
2.) X/(Z – X –A) = 3/2 ==> 2X= 3(Z – X– A ) ==> Z= 5X/3 +A
3.) (Z – X– A)= 5X/3+A – X – A => (Z – X– A)= 2X/3

1. Lösungsweg:
@Otmar:
„Eine über lange Zeit geführte Statistik besagt, dass beide im Durchschnitt die gleiche Zeit von zu Hause zum Büro benötigen.“

Daraus folgt:
4.) 2h=3f

Die absoluten Kaffeewartezeiten für Hans = h und für Franz = f sind für sich immer exakt gleich groß.

Bei den Einzelereignissen der Abfahrtszeiten in den Boni-Zeiten für Hans X und Franz (Z–X) kann zu jeder Fahrtzeit der nächstmögliche Abfahrtszeitpunkt für Hans bzw. Franz bestimmt werden.

Das wäre zu jedem Einzelereignis im Abfahrtszeitraum der X-Bonizeiten für Hans immer eine U1- U2 diff. von Z.

Daraus folgen die Abs. Kaffeewartezeiten von Hans h= Z

Demzufolge ergibt sich für jedes Einzelereignis im Abfahrtszeitraum der (Z– X)-Bonizeiten von Franz eine Abs. Kaffeewartezeit von f =U – Z

Daraus folgt:
4.) 2h=3f
4.1) 2Z = 3(U–Z) =>
4.2) Z=3U/5
4.3) Z=6

2.) Z= 5X/3 +A =>
X = 3(Z – A)/5 =>
X = 3


Demzufolge ist der Zeitintervall in der die Boni-Zeiten für Hans erbracht wurden X =3min.

2. Lösungsweg:

@Otmar:
„Eine über lange Zeit geführte Statistik besagt, dass beide im Durchschnitt die gleiche Zeit von zu Hause zum Büro benötigen.“

Demnach kann man für Hans und Franz folgende durchschnittliche Wegzeiten setzen.

5.) dHw = dFw

Folglich sind die durchschnittlichen Wartezeiten, den arithmetischen Mittelwerten der Einzelereignisse der Abfahrtszeiten, in denen die Boni-Zeiten erbracht haben.

Für Hans dX und für Franz d(Z – X – A).

5.1) H + 3*dX + A = H+ X+A +2*d(Z – X – A)
5.2) 3*dX = X + 2*d(Z – X – A)

Die statistischen durchschnittlichen Wartezeiten für Hans und Franz in denen sie die
Boni-Zeiten erbracht haben werden folglich ermittelt.

dX=(1+2+3+ …+X)/X => frei nach Gauß => dX=X(X+1)/(2X) => dX = (X+1)/2

Aus 3.) => d(Z – X – A) = d(2X/3) => d(2X/3) = [(2X/3) +1]/2

Beide Werte in 5.) eingesetzt ergibt:
5.3) 3(X+1)/2 = X + 2[(2X/3) +1]/2
5.4) 3(X+1) = 2X + 2[(2X/3) +1]
5.5) 3X – 2X – 4X/3 = –1
5.6) – X/3 = –1
5.7) X=3

Folglich: F = H + X + A =>F=5min. + 3min +1min F=9min.

Somit ergibt sich ein Fußweg für Franz von 9min. und die U2 fährt 6min. nach der U1 des Weiteren ist Y = 4min.

Ich hoffe nun, dass Ihr meinen Ausführungen folgen konntet und dass meine Lösung auch ohne Computerprogramm korrekt ist.

M. E. werden hier für ähnliche Probleme leider viel zu viel diverse Progs aus den Fundus, die immer wieder modifiziert werden herangezogen.
Dies sollte aber nicht der Sinn eines „Denksportforums“ sein.
Zur Überprüfung mag das aber legitim sein.

Gruß
Musagetes

[Phoenix]

Nach meinem peinlichen Start praesentiere ich mal meinen Vorschlag:

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Fuer die Rechnung betrachte ich einen einzigen Tag und rechne dafuer mit Wahrscheinlichkeiten. Ich lasse einfach mal die Einheiten weg, sie stiften nur Verwirrung.

x = Zeit des Fussweges von Franz
y = Zeitdifferenz zwischen Ankunft U1 und U2
pH = Wahrscheinlichkeit, dass Hans einen frueheren Zug erwischt und somit einen Kaffee trinkt
pF = pH fuer Franz
tH = Durchschnittliche Zeit, die Hans benoetigt, um an der Haltestelle Dummstrasse in einem Zug zu sitzen
tF = tH fuer Franz

pH = (x-6)/10. Franz kommt erst nach dem Zug, in dem Hans sitzt, am Bahnhof an.
pF = (y-x+6)/10. Franz erwischt den Zug der U2-Linie, der vor dem Zug der U1-Linie, den Hans nimmt, kommt.
tH = 5(Fussweg)+5(durchschnittliche Wartezeit)+1(Zeit in der U-Bahn) = 11
tF = x(Fussweg)+(10-y)/10(Wahrscheinlichkeit, dass er auf die U1 wartet)*(10-y)/2(Durchscnittliche Wartezeit auf die U1)+y/10*y/2(analog)
= x+((10-y)^2+y^2)/20

Nun gelten folgende zwei Gleichung:
pH = pF*1,5
tH = tF
Aus ersterer folgt: x = 6*y + 6
Aus zweiterer: x = 15-((10-y)^2+y^2)/20
Wenn ich die beiden Gleichungen gleichstelle und nach y aufloese, erhalte ich: y = sqrt(25^2+40)-25, also rund = 0,7876 Minuten = 47, 2556 Sekunden.
Diesen Wert dann in eine der beiden ersten Gleichungen eingesetzt, ergibt: x = 10,7256 Minuten

Also meine Antwort: Franz benoetigt fuer den Fussweg rund 10, 7 Minuten, und die U2 faehrt immer rund 47,3 Sekunden nach der U1.

Ehrlich gesagt erwarte ich, dass meine Loesung falsch ist, da ich wirklich sehr viele Versuche gebraucht habe, ein Ergebnis zu erzielen, das mir plausibel erscheint. Trotzdem poste ich sie mal, da mein Rechenweg sich von dem anderen, der hier diskutiert wurde, grundlegend unterscheidet.

[Otmar]

Hallo,
@Musagetes

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Summe Boni-Zeiten Hans X
Summe Boni-Zeiten Franz (Z – X –A)

Eine der beiden Gleichungen ist nicht richtig. Je nachdem, was X genau ist. Ich dachte du hattest in der zweiten Gleichung schonmal Z-X stehen (ohne das A). Dann würden beide Gleichungen passen.

Ich hatte zur besseren Veranschaulichung in einem Zeitdiagramm ...

Leider kann ich das Diagramm nicht sehen, sondern muss mir aus den Beziehungen, die du daraus ableitest, ein Bild davon machen. Das ist gar nicht so leicht. Aber wir machen ja Denksport, also passt schon...
Ich hab inzwischen das Programm geschrieben. Sind ja nur ein paar Zeilen. Natürlich nur um ganz sicher zu gehen, dass die Lösung, die ich erwarte auch stimmt, denn wie du ja auch schon gesagt hast, man kann sich im Fahrplan leicht verirren..

@Phoenix

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x = Zeit des Fussweges von Franz
y = Zeitdifferenz zwischen Ankunft U1 und U2
pH = Wahrscheinlichkeit, dass Hans einen frueheren Zug erwischt und somit einen Kaffee trinkt
pF = pH fuer Franz
tH = Durchschnittliche Zeit, die Hans benoetigt, um an der Haltestelle Dummstrasse in einem Zug zu sitzen
tF = tH fuer Franz

pH = (x-6)/10. Franz kommt erst nach dem Zug, in dem Hans sitzt, am Bahnhof an.
pF = (y-x+6)/10. Franz erwischt den Zug der U2-Linie, der vor dem Zug der U1-Linie, den Hans nimmt, kommt.
tH = 5(Fussweg)+5(durchschnittliche Wartezeit)+1(Zeit in der U-Bahn) = 11
tF = x(Fussweg)+(10-y)/10(Wahrscheinlichkeit, dass er auf die U1 wartet)*(10-y)/2(Durchscnittliche Wartezeit auf die U1)+y/10*y/2(analog)
= x+((10-y)^2+y^2)/20

Nun gelten folgende zwei Gleichung:
pH = pF*1,5
tH = tF

Ist sehr ähnlich zu meinem ersten Ansatz und auch völlig richtig. Ich hab mal meine Lösung eingesetzt und dann passt alles. Da die aber nicht mit deiner übereinstimmt, hast du dich wahrscheinlich irgendwo verrechnet. Also wenn das Ergebnis die Proberechnung übersteht, sollte es passen

Gruß Otmar

[Phoenix]

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Diesmal habe ich mehr Vertrauen in meine Loesung, da sehr schoene, gerade Zahlen herauskommen, und y nicht etwas zu klein geraten erscheint. Tatsaechlich habe ich noch zwei Fehler gefunden

x = Zeit des Fussweges von Franz
y = Zeitdifferenz zwischen Ankunft U1 und U2
pH = Wahrscheinlichkeit, dass Hans einen frueheren Zug erwischt und somit einen Kaffee trinkt
pF = pH fuer Franz
tH = Durchschnittliche Zeit, die Hans benoetigt, um an der Haltestelle Dummstrasse in einem Zug zu sitzen
tF = tH fuer Franz

pH = (x-6)/10. Franz kommt erst nach dem Zug, in dem Hans sitzt, am Bahnhof an.
pF = (y-x+6)/10. Franz erwischt den Zug der U2-Linie, der vor dem Zug der U1-Linie, den Hans nimmt, kommt.
tH = 5(Fussweg)+5(durchschnittliche Wartezeit)+1(Zeit in der U-Bahn) = 11
tF = x(Fussweg)+(10-y)/10(Wahrscheinlichkeit, dass er auf die U1 wartet)*(10-y)/2(Durchscnittliche Wartezeit auf die U1)+y/10*y/2(analog)
= x+((10-y)^2+y^2)/20

Nun gelten folgende zwei Gleichungen:
pH = pF*1,5
tH = tF
Aus ersterer folgt: x = 0,6*y + 6
Aus zweiterer: x = 11-((10-y)^2+y^2)/20
Wenn ich die beiden Gleichungen gleichstelle und nach y aufloese, erhalte ich: y = 4 Minuten.
Diesen Wert dann in eine der beiden ersten Gleichungen eingesetzt, ergibt: x = 8,4 Minuten.

Also meine Antwort: Franz benoetigt fuer den Fussweg 8,4 Minuten, und die U2 faehrt immer 4 Minuten nach der U1.

Rein rechnerisch ergab sich noch eine Loesung mit y = 0 und x = 6, das heisst, U1 und U2 fahren parallel, keiner von beiden trinkt je einen Zeitbonuskaffee und das Verhaeltnis passt auch. Jedoch hast du vorausgesetzt, dass manchmal haeufig jemand einen Kaffee trinkt, deswegen ist das ganze wieder eindeutig. In der Hoffnung, dass meine Loesung diesmal stimmt, bedanke ich mich schon mal fuer die sechs vollgekritzelten Din-A4 Seiten und wie schon gesagt, so stark konzentrieren musste ich mich lange nicht mehr; eigentlich haette ich die Fehler in den Formeln fuer die Wahrscheinlichkeiten vermutet, denn die waren der Hauptteil des Raetsels und erforderten die Denkarbeit, fuer die ich mich wirklich bedanken moechte.

[Otmar]

Hallo zusammen,
@Phoenix:

Diesmal habe ich mehr Vertrauen in meine Loesung

und wiedermal liegst du völlig

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RICHTIG!

Nochmal eine Zusammenfassung der wichtigsten Ideen:

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Wir vereinfachen die Aufgabe, wenn wir annehmen, dass Hans nicht zur Klugstraße lief, sondern in 6 Minuten zur Dummstraße gelangte, dort aber nur die U1 benutzte. Denn dann benutzte Hans den selben Zug, wie in der Aufgabenstellung, erlaubt uns aber, die Situation allein an der Dummstraße zu untersuchen.
Für die grobe Eingrenzung der Zeit für den Fußweg von Franz stellen wir fest, dass sowohl Hans als auch Franz manchmal einen früheren Zug erwischten, weil sonst einer der beiden nie Kaffee bekam (der andere nach Aufgabenstellung schon) und dann das angegeben Kaffeeverhältnis nicht stimmten kann.

So folgt einerseits, dass Franz nach Hans an der an der Dummstraße ankam, denn sonst wäre Hans niemals vor Franz gefahren und andererseits folgt:
Wenn, die U2 y Minuten nach der U1 fährt, und Franz x Minuten nach Hans ankommt, muss x < y gelten, da sonst Franz nie vor Hans im Büro gewesen wäre.

Nun habe ich für die Dummstraße ein Diagramm gemacht. Es ist so zu lesen, dass nebeneinander verschiedene Möglichkeiten des Fahrplans dargestellt sind und es für jeden Tag einen senkrechter Schnitt durch die Grafik gibt, der die Zeitverhältnisse an diesem Tag angibt.

Zeitbonuskaffee.JPG (22.37 KiB) 815-mal betrachtet

Der Wert z ist die Zeit der nächsten U1 nach der U2 in Minuten, also y + z = 10. Links ist die Taktverschiebung so, dass Hans Kaffee bekommt, in der Mitte kommen beide mit dem gleichen Zug am Börsenplatz an und rechts ist die Taktung so, dass Franz Kaffe bekommt. Da die U1 und U2 Geraden 45° geneigt sind, lesen wir das Kaffeeverhältnis:
Kaffeetage Hans / Kaffeetage Franz = x / (y-x) ab. Um die gleiche mittlere Fahrzeit sicherzustellen, können wir bei Hans und Franz 6 Minuten vom Weg zur Dummstraße und auch die immer gleiche Zeit nach dem Einsteigen in die U Bahn weglassen. Nun kann man entweder wie Phoenix die Mittelwerte der Wartezeiten von Hans und Franz in Formeln schreiben oder wie Musagetes benutzen, dass die akkumulierte Kaffeepausenzeit, die hier jeweils zur gelben (Hans) und braunen (Franz) Parallelogrammfläche proportional ist, gleich sein muss. Der Gedanke dafür war, dass beide gleichzeitig zu Hause aufbrechen und gleichzeitig, ggf. nach einem Kaffee mir der Arbeit beginnen. Also ist die durchschnittliche Zeit von zu Hause zum Arbeitsbeginn für beide gleich. Davon abgezogen wird die durchschnittliche Fahrzeit, die nach Aufgabenstellung gleich sein soll und man erhält die durchschnittliche Kaffeepausenzeit. Gehen wir zurück zu den Parallelogrammflächen, dann erhalten wir A(gelb) = x y und A(braun) = (y-x) z.
Fassen wir unsere Formeln zusammen, dann erhalten wir 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten:
y+z=10 und x/(y-x) = 3/2 und x y = (y-x) z.
Aus der zweiten und dritten Gleichung entnehmen wir, Musagetes folgend:
z/y = 3/2 und wegen der ersten Gleichung y = 4 und z = 6. Und dann erhalten wir aus der zweiten Gleichung: 2x = 3y – 3x --> x = 3/5 y = 12/5.
Und dann schon die Lösung: Franz muss 6 + 12/5 Minuten = 8 Minuten und 24 Sekunden zur Dummstraße laufen.

und noch eine Anmerkung:

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Teilt man Gleichung 3 durch xyz und addiert anschließend 1/y, dann erhält man:
1/x = 1/y + 1/z. D.h. die Problemstellung ist auch durch die 3 Gleichungen:
y+z=10 und z/y = 3/2 und 1/y + 1/z=1/x beschrieben. Tauscht man nun die Werte von y und z, ändert sich nur die rechte Seite der zweiten Gleichung, also das Kaffeeverhältnis kehrt sich um. D.h. man hätte die Aufgabe auch so stellen können, dass einer der beiden anderthalbmal soviel Kaffee trinkt, wie der andere, ohne die Lösung zu verändern.

Lg. Otmar