Billardübung mit Stecknadel

[Otmar]

billard.png (3.66 KiB) 1275-mal betrachtet

In der Grafik ist ein Blatt Papier dargestellt. Auf diesem Blatt Papier ist ein Teil eines Billardtisches mit einer blauen Bande, einem grünen Spielfeld und drei Kugeln für eine Billardübung dargestellt. Ziel der Übung ist es, herauszufinden aus welcher Richtung die blaue Kugel gestoßen werden muss, so dass die rote Kugel von der blauen Kugel frontal getroffen wird. Die gesuchte Richtung soll mit Lineal und Bleistift auf das Blatt Papier gezeichnet werden. Leider hat das Lineal keine Skalierung aber es steht noch ein drittes Hilfsmittel und zwar eine Stecknadel zur Verfügung.

Habt ihr eine Idee, wie ich die gesuchte Richtung finden könnte?

[Otmar]

Obwohl das Rätsel noch nicht so alt ist, gebe ich schonmal einen Tipp:

Mehr ->

Zuerst sticht man durch die Mittelpunkte der eingezeichneten roten und blauen Kugel Löcher. Dann faltet man das Papier von links so um, das die linke Blattkante eine Kugel gerade überdeckt und sticht nochmal durch den Kugelmittelpunkt aber nun auch durch das umgefaltete Blatt.

billard1.png (4.65 KiB) 1263-mal betrachtet

Das macht man mit beiden Kugeln, so dass am Rand des Blattes zwei Löcher im Abstand des Kugelradius zum Rand entstanden sind. Nun faltet man nochmal von links bis zur blauen Bande sticht durch die beiden neuen Löcher und zeichnet eine parallele Linie im Abstand des Kugelradius zur Bande auf das grüne Rollfeld.

billard2.png (4.7 KiB) 1263-mal betrachtet

billard3.png (4.74 KiB) 1263-mal betrachtet

[Neuling]

Hallo Otmar!
Habe mal Dein Billardspiel wieder hervorgekramt.

Mehr ->

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, ist der Punkt auf der Bande gesucht, der sich als Schnittpunkt der Diagonalen eines Trapezes ergibt, das entsteht, wenn man die Billardkugeln an der der blauen Bande als Symmetrieachse spiegelt und danach die Kugeln als Eckpunkte dieses Trapezes sieht.
Wenn der Billardtisch in Wirklichkeit ein Blatt Papier ist, das man in beliebiger Richtung falten kann, dann sehe ich kein Problem, mit Hilfe der Stecknadel diese Eckpunkte zu finden. Einer würde sogar ausreichen, denn die Gerade von roter Kugel links und blauer gespiegelter Kugel rechts schneidet die Bande in dem gesuchten Punkt.
Ist das bis hierhin richtig?

Gruß Neuling

Edit:

Mehr ->

Habe nicht berücksichtigt, dass es ja keine Punkte, sondern Kugeln mit einem Radius r sind. Die "Symmetrieachse" für den Mittelpunkt der Kugel ist die Parallele zur Bande, die Du inzwischen eingezeichnet hast. Muss erst nochmal neu überlegen.

[Otmar]

Hallo Neuling,

Mehr ->

ja, genau so wie du es zuerst beschrieben hattest, hatte ich es beim Schreiben des Rätsels auch gedacht. Aber kurz nach dem Einstellen des Rätsels, ist mir aufgefallen, dass Billardkugeln relativ groß sind und die Annahme als Punkt nicht mehr geht. Deshalb hatte ich sehr bald eine weiter Linie eingetragen.

Aber jetzt ist es wirklich nicht mehr schwer. Natürlich musst du mit einem Kugelmittelpunkt auf der anderen Seite auskommen, weil das Blatt Papier ja für die andere Kugel nicht groß genug ist.

[Neuling]

Hallo Otmar!

Mehr ->

Ich kann es nicht zeichnen und mit dem Erklären geht's auch nicht viel besser. Versuche es trotzdem mal.
Den Mittelpunkt der blauen Kugel spiegele ich an der Symmetrieachse Bande. (Papier an der Bande knicken und durchs vorhandene Loch stechen.) Diesen Punkt verbinde ich mit dem Mittelpunkt der roten Kugel. Den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Bande verschiebe ich parallel zur Papierunterkante auf die von Dir inzwischen erstellte "Parallele zur Bande." Lässt sich mit unterer Papierkante umknicken erreichen. Diesen Punkt verbinde ich mit dem Mittelpunkt der blauen Kugel und wenn's sein muss, darüberhinaus bis zur Tisch(Papier)kante. Diese letzte Gerade ist die Stoßrichtung für die blaue Billardkugel.

Klingt eigentlich zu einfach für eine knifflige Aufgabe. Also, wo ist mein Denkfehler?
Gruß Neuling

[Otmar]

Klingt eigentlich zu einfach für eine knifflige Aufgabe.

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Hier reicht es vollkommen aus, ein wenig nachzudenken. Viel Lösungsaufwand muss dann nicht mehr geleistet werden.

Also, wo ist mein Denkfehler?

Erstmal, deine Erklärung ist doch super.

Mehr ->

Aber es gibt noch einen kleinen Fehler. Du triffst die Bande zu hoch. Das kannst du auch überprüfen, wenn du das Reflexionsgesetzt für den Kugelmittelpunkt mit der Einfallsrichtung anwendest. So wie du es beschreibst, kommt es noch nicht zum frontalen Stoß.

[Claudi]

Hallo Otmar und Neuling,
ich hab mich auch mal an der Aufgabe versucht und folgendes gemacht:

Mehr ->

Die ersten Schritte bis zur Lochmarkierung am Bandenrand bin ich mitgegangen. Dann habe ich einfach die Kugelmittelpunkte kreuzweise mit den Löchern an der Bande verbunden, also den blauen mit der oberen und den roten mit der unteren Bandenmarkierung. Nun knicke ich das Blatt von unten parallel zum unteren Blattrand genau bis zum Schnittpunkt der beiden Linien und markiere den Schnittpunkt des umgefalteten Blattes mit dem Bandenrand. Jetzt müsste die Verbindungslinie vom Mittelpunkt der blauen Kugel zu diesem eben markierten Punkt die Stoßrichtung vorgeben. Stimmt das?

[Neuling]

Hallo Otmar!
Wie viele Versuche habe ich noch?

Mehr ->

Vorrede:
Wenn ich die Kugelmittelpunkte zunächst wirklich nur als Punkte betrachte, diese an der Bande als Symmetrieachse spiegele, das Trapez erstelle und die Diagonalen einzeichne, dann funktioniert es mit der Stoßrichtung entlang der Diagonalen.
Ersetze ich jetzt den "blauen" Punkt durch die blaue Billardkugel, so berührt die Billardkugel die Bande genau eine Radiuslänge unter dem Schnittpunkt der zuvor erstellten Diagonalen und der Mittelpunkt der Kugel würde zu "früh" umgelenkt. Seine Bahn wirkt als Tangente an die rote Kugel. Zumindest sieht es auf meinem Blatt Papier so aus.
Ich brauche also eine "steilere" Stoßrichtung.

Neue "Konstruktion":
Ich spiegele den blauen Mittelpunkt nicht an der Bande als Symmetrieachse, sondern an der von Dir bereits eingezeichneten Parallelen. Prinzip wie oben. Diesen Punkt verbinde ich mit dem Mittelpunkt der roten Kugel. Der Schnittpunkt dieser Diagonalen mit Deiner Parallelen (zur Bande) ist der gesuchte Punkt, den ich jetzt mit dem Mittelpunkt der blauen Kugel verbinde. Diese Gerade ist jetzt meine neue Stoßrichtung.

Gruß Neuling

PS: Mich irritiert gerade, dass Du geschrieben hast, ich treffe die Bande zu hoch?

[Otmar]

Hallo Claudi, hallo Neuling,

ihr habt beide die richtige Lösung gefunden.

@Claudi
ja, deine Konstuktion stimmt!

Mehr ->

billard claudi.png (9.21 KiB) 1236-mal betrachtet

Nach Strahlensatz gilt a/q=b/p und wegen a = c und b = d gilt damit auch c/q = d/p und damit sind Einfalls- und Ausfallswinkel des so gestoßenen Kugelschwerpunktes gleich. D.h. der Kugelschwerpunkt wird einen Kugelradius vor der Bande reflektiert. Ohne Drall und Reibungsverluste passiert das auch so beim Billard.

Diese Lösung hatte ich noch gar nicht überlegt. Aber sie passt!

@Neuling

Wie viele Versuche habe ich noch?

Keinen, denn nach der richtigen Lösung werden alle weitere Versuche gesperrt!

Mehr ->

Ich hab in die Grafik deinen vorletzten Versuch in rot und den letzten in grün eingetragen. Da sieht man, dass bei der roten Stoßrichtung die Bande zu weit oben getroffen wird. Den Kugelradius hatte ich zur Verdeutlichung etwas vergrößert:

billard neuling.png (10.09 KiB) 1236-mal betrachtet

Die Lösung war genau die von mir gesuchte und sollte, so wie du es gemacht hast, einen kleinen Tipp für die anderen beiden Reflexionsrätsel geben. Wenn man anstelle der Kugeln Punkte nimmt und anstelle der Bande einen Spiegel und mit Zirkel und Lineal konstruiert, dann ist das Rätsel eine "olle Kamelle". Ich hoffe aber, das die anderen beiden Reflexionsrätsel tatsächlich neu sind.

[Neuling]

@ Otmar, @ Claudi

Mehr ->

Bevor Otmar seine Zeichnungen gepostet hat, hatte ich mal meine und Claudis Idee "übereinandergemalt" und verschiedene Stoßrichtungen erhalten. Aber dann irre ich wohl, denn Otmar hat etwas anderes aus Claudis Kommentar herausgelesen als ich? Für mich sind Bande und Bandenrand das gleiche. Die andere Linie ist eine Parallele zur Bande im Abstand r.