3-Bahnen-Schiebespiel Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Neuling » Montag 1. April 2013, 13:43

Max fordert Lena zu folgendem Spiel heraus.

Spielbahnen (3).png
Spielbahnen (3).png (1.79 KiB) 1375-mal betrachtet

Auf den drei gelben Spielbahnen soll abwechselnd je ein Spielzug getätigt werden. Lena hat 3 rote Spielsteine und Max drei blaue. Bei einem Spielzug darf man beliebig weit vor- oder rückwärts ziehen, gegebenenfalls bis zum gegnerischen Spielstein (dies kann auch das Ende der Spielbahn sein, falls sich der andere mit seinem Spielstein grad auf dem Startfeld befindet) oder aber auch bis auf das eigene Startfeld zurücksetzen. Überspringen des gegnerischen Spielsteines ist nicht erlaubt, auch nicht das Aufsetzen auf den gegnerischen Spielstein. Wann man auf welcher Bahn einen Zug tätigt ist jedem selbst überlassen.

Verloren hat, wer keinen Spielzug mehr tätigen kann.
Max ist Kavalier und lässt Lena beginnen. War das eine kluge Entscheidung?
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Montag 1. April 2013, 13:43
Ende: Donnerstag 4. April 2013, 13:43
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Friedel » Montag 1. April 2013, 15:27

Hallo.

Das ist imho eine sehr schöne Aufgabe. Obwohl ich solche Aufgabe liebe, kannte ich sie bisher nicht und ich konnte sie erst im dritten Anlauf lösen.

Wenn Max gewinnen will und Lena eine gute Logikerin ist, hat er einen Fehler gemacht.

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Lena muss erreichen, dass nach ihrem Zug auf jeder Bahn die Figuren unmittelbar voreinander stehen. Dann muss Max zurückziehen und Lena folgt. Dasgeht so lange, bis Max auf allen Bahnen am Startfeld angekommen ist und Lena auf allen Bahnen unmittelbar davor steht. Dann kann Max nicht mehr ziehen.


Ich skizziere hier mal meinen Lösungsweg. Der Algorithmus, nach dem Lena ziehen muss, ergibt sich daraus.

Um die Züge besser beschreiben zu können, nummeriere ich die Felder von links nach rechts. Dabei bekomme Lenas Startfeld jeweils die Nummer 0. Die Bhnen nummeriere ich von oben nach unten und hänge, getrennt durch einen Punkt die Feldnummer an. Feld 2.12 ist als das äußerst rechte Feld auf der mittleren Bahn, unmittelbar neben Max' Startfeld. Feld 1.0 ist Lenas Starfeld auf der oberen Bahn. Und Feld 3.12 gibt es nicht, denn die untere Bahn hat nur 10 Felder. Max' Startfeld wäre also Feld 3.11, und Feld 3.12 müsste rechts daneben sein, wenn es das Feld gäbe.

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Ich lasse Lena mal mit einem naheliegenden, aber nicht optimalen Zug anfangen. Sie setzt ihre obere Figur ganz nach rechts neben Max' Startfeld. Max versucht dann möglichst viel Boden zu gewinnen und zieht auf Bahn 2 ganz nach links neben Lenas Startfeld. Lena kann dann auf Bahn 3 ganz nach rechts ziehen und Max dort blockieren. Max kann dann nur mit der Figur auf Bahn 2 ziehen. Er muss nach rechts ziehen. Lena folgt ihm, sodass er immer weiter nach rechts muss, bis er auch hier wieder auf seinem Startfeld ist. → Lena gewinnt.

Max muss also versuchen das zu verhindern. Er darf also in seinem ersten Zug nicht ganz nach links ziehen. Er hält also einen Abstand von z.B. 1 Feld und zieht also auf das Feld 2.2. Wenn Lena wie oben beschrieben jetzt auf 3.10 setzt (unmittelbar vor Max' Startfeld), kann Max auf 2.1. setzen und Lena muss auf Bahn 1 oder 3 zurückweichen → Max gewinnt.

Lena wird also nicht auf 3.10 setzen. Wenn sie statt dessen auch 1 Feld Abstand lässt , gewinnt sie. Sie muss nur dafür sorgen, dass die Abstände auf Bahn 2 und 3 gleich bleiben und dabei immer kleiner werden. Da nach Lenas Zug beide Abstände gleich sind, muss Max die Abstände unterschiedlich machen. Lena macht sie wieder gleich, indem sie den größeren Abstand anpasst. Dabei muss Max immer weiter nach rechts ausweichen, bis er einen der Abstände auf 0 setzen muss. Dann hat Lena gewonnen, wie ich oben schon gezeigt habe.

Max kann aber natürlich den Spieß herumdrehen, indem er in seinem ersten Zug dafür sorgt, dass auf den beiden Bahnen, auf denen er sich bewegen kann, die Abstände gleich groß sind. Wenn Lena als mit 1.14 anfängt, antwortet Max mit 2.11. Jetzt ist Lena in der Situation, in der Max oben war und verliert.

Lena darf in ihrem ersten Zug also nicht ganz nach recht ziehen. Jeder Zahl kann man als Summe von Zweierpotenzen darstellen. Man kennt das ja aus dem Binärsystem. Die Abstände auf den Bahnen sind von oben 14, 12 und 10 Felder. 14=8+4+2, 12=8+4 und 10=8+2. Wenn Lena dafür sorgt, dass nach jedem ihrer Züge diese Zweierpotenzen immer paarweise oder gar nicht vorkommen und die Abstände nach Möglichkeit kleiner werden, gewinnt sie. Am Anfang ist in 2 der 3 Abstände die Zweierpotenz 2¹ enthalten, die 4 (2²) ist auch 2 mal enthalten. Die 8 (2³) ist 3 mal enthalten. Sie setzt also auf einer der Bahnen 8 Felder vor, egal auf welcher. Dann sind die Abstände also 6=2+4, 12=8+4 und 10=8+2 oder 14=8+4+2, 4 und 10=8+2 oder 14=8+4+2, 12=8+4 und 2. Egal wie Max zieht, es wird danach immer mindestens eine Zweierpotenz nur 1 mal vorkommen und Lena hat wieder die Möglichkeit, dafür zu sorgen, dass alle Zweierpotenzen paarweise oder gar nicht vorkommen. Da die Abstände dabei immer kleiner werden, sind die Abstände irgendwann alle 0 und Lena gewinnt.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Otmar » Montag 1. April 2013, 18:10

Neuling hat geschrieben:(dies kann auch das Ende der Spielbahn sein, falls sich der andere mit seinem Spielstein grad auf dem Startfeld befindet)

Entspricht das nicht einem Aufsetzen oder ist das Ende ein Feld vorm letzten Feld?
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Neuling » Montag 1. April 2013, 18:24

@ Otmar
Eigentlich ist die Formulierung eindeutig. Die Spielbahnen sind gelb. Das Ende der Spielbahn ist also vor dem Startfeld. Auf das gegnerische Starfeld darf man nicht, dies würde einem Aufsetzen entsprechen. Aber man darf auf das eigene Startfeld zurück.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Otmar » Dienstag 2. April 2013, 18:46

Neuling hat geschrieben:@ Otmar
Eigentlich ist die Formulierung eindeutig. Die Spielbahnen sind gelb. Das Ende der Spielbahn ist also vor dem Startfeld. Auf das gegnerische Starfeld darf man nicht, dies würde einem Aufsetzen entsprechen. Aber man darf auf das eigene Startfeld zurück.

:danke: hab wohl irgendwo überlesen, dass es eingefärbte Startfelder gibt und dachte, dass die bunten Flächen bereits die erwähnten Spielsteine auf darunter gelben Startfeldern sind.

Nun ein Lösungsversuch. Ich darf mich Friedel anschließen und sagen, dass das Rätsel sehr interessant ist und ich muss mich Friedel anschließen und sagen, dass es gar nicht einfach war. Und als ich meine Lösung hatte, stand ich vor einem weitern Rätsel: "Wie schreibt man das auf?"

Mein Lösungsversuch zu den beiden Rätseln:
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Lena kann gewinnen, wenn sie wie folgt spielt. Generell geht sie bei jedem ihrer Züge mit einem Stein nach rechts. Deshalb ist das Spiel in endlicher Zeit zu Ende und ein Remis wird es nicht geben.

Sollte vor ihrem Zug auch Max um n Felder nach rechts geschoben haben, schiebt Lena in der gleichen Bahn um n Felder Max hinterher. Also direkt nach so einem Zug von Max kann sie nicht verlieren, da sie ja noch schieben kann. Ansonsten folgt sie folgender Grafik, in der nur Rechtszüge von Lena und Linkszüge von Max dargestellt sind:
schiebespiel.png
schiebespiel.png (47.68 KiB) 1353-mal betrachtet

Die drei Zahlen in den Kästen sind die Abstände zwischen den Spielsteinen in den drei Bahnen, wobei es egal ist, welche Zahl zu welcher Bahn gehört. Die roten Pfeile sind Lenas Gewinnzüge. Die blauen Pfeile sind alle möglichen Züge, die Max in diesem Spiel nach links machen kann. (Seine Rechtszüge werden von Lena wie oben beschrieben erwidert und Lena landet im gleichen Kasten, in dem sie vor dem Rechtszug von Max schon war.) Lena startet vom grauen Kasten. In der unteren Bahn rückt sie neun Felder vor und hat einen Abstand von einem Feld zum bauen Stein. Die anderen beiden Abstände bleiben 12 und 13, also k ist nach dem ersten Zug gleich sechs. Nun sind acht prinzipielle Möglichkeiten von Max durch die acht blauen Pfeile von diesem Kasten aufgetragen, die dann durch Lena beantwortet werden. Vom dritten blauen Kasten geht Lena bei k = 2 nach unten und sonst nach oben. Nach einer endlichen Zahl von Zügen kommt sie unweigerlich in das rote Kästchen mit dem dicken Rand und irgendwann ist dort auch c=0. Dann hat sie gewonnen oder es bleibt Max nur noch ein Außreißen nach rechts, das Lena zum alsbaldigen Triumph führen wird.
-------
Im grauen Kasten in der Grafik stehen noch einige Bedingungen an die verwendeten Variablen. Der Vollständigkeit halber sollte noch gesagt sein, dass d und e im Kasten rechts unten natürlich größer als Null sind.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Neuling » Donnerstag 4. April 2013, 20:33

Hallo Friedel! Hallo Otmar!

Sorry, ich kann euch leider noch nicht zu euren Antwort gratulieren, weil
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ich die richtige Lösung nicht kenne.
Und meine eigenen Überlegungen enden mit - "Max gewinnt" oder "es gibt kein Ende des Spieles". Zwischen diesen beiden Varianten schwanke ich und hatte mir eigentlich eine Bestätigung der einen oder der anderen Möglichkeit erhofft. Dass ihr nun beide sagt "Lena gewinnt", macht mich sogar ein bisschen traurig.

Nichtsdestotrotz, erst einmal Danke für Eure Antworten.
Und nun ein paar Sätze zur "Entstehung" des "Rätsels" und zu meinen Überlegungen.
Mehr ->
Aus der Erinnerung - in einer älteren Zeitschrift stand, aber wohl eher als Logikaufgabe, als als Spiel gedacht:
Vorgegeben seien zwei Spielbahnen mit den genannten Bedingungen. Gefragt war, wer kann gewinnen und warum?
Bei zwei Spielbahnen ist diese Frage leicht zu beantworten. Derjenige, der beginnt und beim ersten Zug gleiche Abstände zwischen den eigenen und den gegnerischen Spielsteinen herstellt, gewinnt. (Hat so ja auch Friedel überzeugend erklärt und sorry Otmar, an Deinen Erläuterungen bin ich ein weiteres Mal gescheitert.) Man muss dann nur immer schauen, was der "Gegner" macht und es auf der anderen Bahn entsprechend nachvollziehen.
*** Bzw. wenn der "Gegner" zurückzieht, muss man auf dieser Bahn den gleichen Spielsteineabstand, wie auf der anderen Bahn schaffen.
Einzige Voraussetzung war, die Spielbahnen sollten unterschiedlich lang sein. Aber ob sie beide geradzahlig oder ungerade oder eine so und die andere so sind, spielte dabei überhaupt keine Rolle.

Jetzt habe ich einfach eine weitere Spielbahn "dazugeschmuggelt" und wollte mal sehen, wie sich das Blatt wendet ... !?
Logisch wäre für mich, wenn sich jetzt ergeben würde, dass der Andere gewinnt.
Bleiben wir mal bei Max und Lena und Lena beginnt. Auf nur zwei Spielbahnen gewinnt sie ja immer und Max ist chancenlos. Würde die 3. Spielbahn erst hinzugezogen, wenn Max gerade verloren hat, so könnte er jetzt den Spieß umdrehen und auf der 3. Bahn Lena blockieren. Sie müßte dann auf den beiden oberen Spielbahnen den Rückzug antreten und hätte verloren. Klingt logisch und wäre "gerecht".

Auch ein anderer "konstruierter" Fall führt Lena ins "Verderben". Wenn sie als erstes die 3.Spielbahn für Max blockiert, so würde ja Max jetzt als "Beginner" und nur 2 Spielbahnen gewinnen und Lena müsste dann am Schluß doch die Bahn 3 wieder freigeben und hätte so auch verloren.

Fazit: 3. Spielbahn bis zum Schluß ignorieren oder gleich zu Beginn blockieren, führt Lena auf die Verliererstraße. Also muss sie sich auf Bahn 3 irgendwo "mittig" hinplatzieren. Da aber die Anordnung der Bahnen auch willkürlich ist, heißt das doch, sie kann ihren ersten Zug irgendwo mittig auf einer beliebigen Bahn machen? Und Max macht das halt dann auch auf einer anderen Bahn.

Rein gefühlsmäßig müsste doch Max auch gewinnen? Es kann doch nicht sein, dass er das Spiel sowohl auf zwei, als auch auf drei Bahnen verliert ??? Die dritte Bahn ist doch sein Joker, weil er auf zwei Bahnen immer verliert.

Würde es Lena schaffen, Max auch nur auf einer Bahn zu blockieren, nutzt er doch sofort seine Chance und macht auf den beiden anderen Bahnen gleiche Abstände. Da Lena jetzt verlieren würde, macht sie Ihren letzten Zug rückgängig. Das macht dann Max natürlich auch, falls er jetzt auf der Verliererstraße wäre. Was folgt - ein Spiel ohne Ende?

???
Ihr seid nun aber beide und unabhängig voneinander zu der Erkenntnis gelangt, dass Lena gewinnt. Mein Gefühl wehrt sich dagegen und Eure Argumentationen verstehe ich nicht. Was nun?
Spielt denn die Länge der Bahnen bei Euch eine Rolle? Ich habe sie ja willkürlich gewählt.

Habe nach euren Kommentaren mal versucht, ein Spiel auf den Bahnen der Länge 3, 4 und 5 nachzuspielen, bin aber noch zu keinem Ergebnis gelangt.

Gruß Neuling

Edit: Habe an der mit *** gekennzeichneten Stelle ein Satz ergänzt.
Zuletzt geändert von Neuling am Donnerstag 4. April 2013, 23:50, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Klaus » Donnerstag 4. April 2013, 21:23

Eine raffinierte Aufgabe. Mein erster Ansatz ist mit dem von Friedel identisch. Dann habe ich angefangen, verschiedene Anfangsvariationen durchzuspielen. Der zweite Zug entschied jeweils, wer gewinnen konnte. Bei einigen Fällen konnte z.B. Max seine drohende Niederlage verhindern, indem er seinen Zug rückgängig machte, was auch Lena zum entsprechenden Schritt zwang. Es könnte dann eine unendliche Geschichte werden.
Ist es durch die Spielregeln erlaubt, ein Remis dadurch zu erzingen, dass man immer zwei identische Züge durchführt.
Kurz vor dem Ende der Spoilersperre hatte ich die Idee, dass die Anzahl der Spielfelder (13, 12 und 10) eine Rolle spielen könnte, war aber zu faul, die Idee weiter zu verfolgen. :snoopy: Es wäre vielleicht auch klüger gewesen, das Spielfeld auf ein Stück Papier zu übertragen und die Züge mit Mensch-ärgere-dich-nicht-Steinen durchzuspielen.
Hut ab vor Friedel und Otmar, die sich durchgequält haben. :respekt: In einer ruhigen Minute werde ich mal versuchen, mich durch ihre Lösung zu kämpfen. :time:
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Otmar » Freitag 5. April 2013, 00:32

@Friedel
:respekt:
Mehr ->
die Idee mit den Paaren von Zeierpotenzen in den Abständen finde ich absolut genial!

Ich hab auch mal geprüft, ob sich das was du geschrieben hast beweisen lässt und es geht völlig problemlos. Lena kann bei jedem Zug nach rechts gehen und damit gibt kein Remis.

Allerdings hatte die Bahn mit 13 Feldern in deiner Lösung eins mehr. Ist aber nicht tragisch. Lena startet von 10, 12, 13 und macht z.B. 10=8+2, 12=8+4, 6=4+2. Das hattest du ja auch angegeben.

Ich hatte auch mal meine Lösung auf Zweierpotenzen untersucht. Da ist das auch so. Lena hat in jedem Zustand Paare von Zweierpotenzen und Max hat in keinem seiner Zustände ausschließlich Paare. Die Lösung ist also ein spezieller Fall deines Algoithmus, alledings viel komplizierter.

@Neuling:
Mehr ->
Wenn du möchtest, dass Max gewinnt, dann mach z.B. die Bahnen 12, 11 und 7 Felder lang, denn wie wir jetzt von Friedel wissen, das Spiel wird genau dann von Max gewonnen, wenn die Zweierpotenzen in den Zahlen der 3 Bahnlängen ausschließlich paarweise auftreten.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Friedel » Freitag 5. April 2013, 01:01

Um das ganze noch ab zu runden (bzw. nach neuester Rechtschreibung "abzurunden"), möchte ich noch erwähnen, dass die Zweierpotenzen nicht paarweise vorkommen müssen, sondern in einer geraden Anzahl. Mit dieser Formulierung klappt es dann auch bei beliebig vielen Bahnen.
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Re: 3-Bahnen-Schiebespiel

Beitragvon Otmar » Freitag 5. April 2013, 08:15

Friedel hat geschrieben:Um das ganze noch ab zu runden (bzw. nach neuester Rechtschreibung "abzurunden"), möchte ich noch erwähnen, dass die Zweierpotenzen nicht paarweise vorkommen müssen, sondern in einer geraden Anzahl. Mit dieser Formulierung klappt es dann auch bei beliebig vielen Bahnen

:zustimm:
Liebe Grüße, Otmar.
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