Karten mit den Ziffern 0 bis 9

[Neuling]

Max hat 10 Kärtchen, auf denen je eine der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9 steht. Jede Ziffer ist genau einmal vorhanden. Max mischt die Karten gut durch und legt sie verdeckt auf den Tisch. Lena darf jetzt 5 Karten ziehen, die anderen nimmt Max.

Nur Lena schaut sich ihre Karten an und sagt zu Max, dass er seine 5 Ziffern aus den folgenden Angaben ermitteln kann:
1) Keiner von uns hat fünf aufeinanderfolgende Ziffern.
2) Max du hast einmal drei und einmal zwei und ich sogar vier aufeinanderfolgende Ziffern.
3) Ich kann aus meinen Karten eine zweistellige und eine dreistellige Zahl so bilden, dass du das Produkt aus diesen beiden Zahlen mit allen deinen Karten legen kannst.
4) Ja ich kann das sogar mit zwei anderen Zahlen (wieder einer zwei- und einer dreistelligen) wiederholen, so dass du auch dieses Produkt mit allen deinen Karten legen kannst.
5) Keine der so gebildeten Zahlen beginnt mit einer Null.

Kann Max tatsächlich mit Hilfe dieser Angaben seine 5 Ziffern bestimmen?
Wenn ja - Welche Ziffern hat Lena gezogen und welche beiden Aufgaben hat sie daraus gebastelt?

[Enigmemulo]

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Aus den Angaben 1) und 2) kann man folgern, dass es nur 8 Möglichkeiten gibt, die Karten aufzuteilen, und zwar in die Mengen 26789, 23459, 36789, 34569, 03456, 04567, 01236, 01237 für Lena und die jeweils restlichen 5 Karten für Max. Jetzt beginnt die Probiererei, auf die ich selber keine Lust hatte, aber ich habe ein Progrämmchen geschrieben, und das besagt:
396*45=17820
495*36=17820
und das ist die einzige Möglichkeit, wo zwei Produkte durch die jeweils anderen Zahlen gebildet werden können.

Damit ist das Rätsel eindeutig lösbar und Max hat die Zahlen 01278.

für das Rätsel.

[Neuling]

an Enigmemulo zur gefundenen Lösung.
Mit Rechnerunterstützung kommt man wahrscheinlich sehr viel schneller zu einem Ergebnis und die Gefahr, eine Möglichkeit zu übersehen, sinkt stark.

Trotzdem ist diese Aufgabe mit etwas Fleiß auch per Hand (mit Taschenrechner) zu bewerkstelligen.

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Es gibt zunächst 30 Möglichkeiten von vier aufeinanderfolgenden Zahlen für Lena. Davon entfallen
22 Möglichkeiten, weil die Karten (Ziffern) bei Max nicht der Bedingung 2 genügen (einmal zwei aufeinanderfolgende und einmal drei aufeinanderfolgende Ziffern).
Bleiben also für die weitere Untersuchung folgende 8 Möglichkeiten (links Lena, rechts Max):
1) 0123 6 ---> 45 789
2) 0123 7 ---> 456 89
3) 2345 9 ---> 01 678
4) 3456 9 ---> 012 78
5) 0 3456 ---> 12 789
6) 0 4567 ---> 123 89
7) 2 6789 ---> 01 345
8) 3 6789 ---> 012 45

Bei 1) und 2) wären die größten Produkte, die Lena bilden kann, viel kleiner, als die kleinste fünfstellige Zahl bei Max. ---> Fälle erledigt.
Auch Möglichkeit 8) kann man ausschließen, wenn man die Teilbarkeit durch 3 betrachtet. Die Zahlen, die Max bilden kann, sind alle "nur" einmal durch 3 teilbar, wegen Quersumme gleich 12. Die Faktoren, die Lena bilden kann, sind entweder alle beide nicht durch 3 teilbar (z.B. 37 und 689) oder alle beide sind durch 3 teilbar (z.B. 78 und 369). Das heißt, Lenas Produkt ist entweder nicht durch 3 teilbar oder mindestens durch 3*3 = 9 teilbar. ---> Fall erledigt.

Bei den anderen Möglichkeiten betrachtet man zunächst die Einerstellen der Faktoren und schaut, ob Max die so gebildete Ziffer hat.
Mal konkret an Nr. 7 erklärt:
26789 ---> 01345
Nur a2 * bc7 = ....4; a6 * bc9 = ....4; a8 * bc9 = ....2 wären möglich und natürlich die Vertauschung der beiden Einerstellen.
Eine derartige Konstellation führt zu 6 Multiplikationen:
a2 * bc7; a2 * cb7; b2 * ac7; b2 * ca7; c2 * ab7 und c2 * ba7

Doch es müssen hier gar nicht alle 6x6=36 Multiplikationen durchgeführt werden.
Wenn sich z.B. bei Lena ein Faktor zeigt, der durch 3 teilbar ist (897, 987, 279, 87, ... und weitere), kann man sich die Multiplikation sparen, weil die Quersumme der Ziffern von Max (hier 13) nicht durch 3 teilbar ist.

Auch die Nr. 5) und Nr. 6) sind wegen der 0 und der 5 bei Lena (was die möglichen Faktoren reduziert), schnell überprüft.

Aus Nr. 4) ergeben sich die beiden Lösungen:
36 * 495 = 17820
45 * 396 = 17820
Max kann also seine Ziffern eindeutig bestimmen.

[MadMac]

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Ja das geht:
3, 4, 5, 6, 9
396*45=17820
495*36=17820

Gruß,
MadMac