Im Schreibwarenladen

[Cujo]

Hans geht in einen Schreibwarenladen und kauft sich dort vier Stifte. An der Kasse unterhält er sich ein wenig mit der Kassiererin, wodurch diese abgelenkt ist. Anstatt die Preise zu addieren, multipliziert sie diese und verlangt von Hans 7,11 Euro. Als Hans sie auf ihren Fehler aufmerksam macht, addiert sie die Preise und erhält das gleiche Ergebnis (7,11 Euro). Wie viel haben die 4 Stifte gekostet?

Hinweis: Es muss nicht gerundet werden. Sowohl die Einzelpreise als auch der Gesamtpreis haben maximal 2 Stellen hinter dem Komma.

[ginger]

Ein Mathematiker kann bestimmt erklären, wie man das "elegant" berechnen kann, ich habe die Lösung nur durch Probieren herausgefunden:

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Die Preise für die vier einzelnen Stifte sind:
1,20 Euro
1,25 Euro
1,50 Euro
3,16 Euro

[Otmar]

Ein Mathematiker kann bestimmt erklären, wie man das "elegant" berechnen kann....

Ob dass wohl stimmt? Vielleicht kommt ja noch eine elegante Lösung. Ich hab meine Lösung zwar systematisch berechnet, aber es gibt schon einige Fallunterscheidungen, Größenabschätzungen, Primfaktorzerlegungen und Teilbarkeitsbetrachtungen. Zwar hab ich nirgends probiert und ohne Rechenhilfe gerechnet, aber elegant ist anders. Jedenfalls ist mein Lösungsweg nicht schön genug, dass ich ihn hier niederschreiben möchte.

Bis auf Vertauschung ist meine einzige Lösung:

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3,16 1,50 1,25 und 1,20

[Otmar]

Vielleicht eine grobe Skizze meiner Lösung:

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Ich rechne in Cent und suche a <= b <= c <= d als ganze Zahlen. a+b+c+d=711:=s und a*b*c*d = 7,11 * 100^4 = 2^6 * 5^6 * 3^2 * 79 := p.
Aus a + 3 (p/a)^(1/3) <= s (1) folgt a > 2^6 und damit d <= s - 3 a <= 519 (2).
Wegen (1) muss es mindestens 2 gerade Preise geben und da s ungerade ist, müssen es genau 3 gerade Preise sein. Ähnlich aber etwas komplizierter folgt aus (2) dass wenigstens 3 Preise durch 5 teilbar sind. Alle 4 durch 5 teilbar geht nicht, da s nicht durch 5 teilbar ist. Also sind genau 3 Preise durch 5 teilbar. Wären 3 Preise durch 10 teilbar, dann müsste ein Preis als letzte Ziffer 1 haben, was höchstens mit 3^2 * 79 geht, aber das ist zu groß und deshalb sind genau 2 Preise durch 10 teilbar. Von den anderen beiden endet genau einer auf 5 und der andere ist gerade, endet also auf 6, da die letzte Ziffer dieser Summe auf 1 endet. Der gerade Preis ist nicht durch 5 teilbar und teilt 2^4 * 3^2 * 79. Für die Endziffer 6 ist deshalb nur 2*3, 9*4, 79*4, 3*79*8 möglich. Wegen (1) und (2) ist nur 79*4 = 316 möglich, wodurch der erste Preis klar ist. Die anderen 3 waren alle durch 5 teilbar und seien durch 5 geteilt x, y, z. Dann gilt x+y+z = (711-316)/5 = 79 und xyz=p/(5^3 316) = 18000 = 5^3 * 3^2 * 2^4. Wegen 5^3 > 79 sind wenigstens 2 davon durch 5 teilbar und da 79 durch 5 Rest 4 lässt, muss auch eine der Zahlen x, y, z durch 5 Rest 4 lassen. Das machen nur 3^2 und 2^2 und 3 * 2^3. Da diese Zahl größer als 64/5 sein muss, kommt nur 24 in Frage. Für die anderen beiden erhält man dann sofort 25 und 30, notfalls durch eine quadratische Gleichung, wenn man garnicht probieren will. Die letzen 3 Zahlen mal 5 sind die anderen Preise.

[Phoenix]

Hinweis: Es muss nicht gerundet werden. Sowohl die Einzelpreise als auch der Gesamtpreis haben maximal 2 Stellen hinter dem Komma.

Ist das tatsaechlich nur ein Hinweis oder eine Bedingung?

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1.203824762
1.275425183
3.169899142
1.460850913
Wenn ich die Zahlen runde (auf zwei Stellen hinterm Komma), stimmt die Summe, aber das Produkt nicht ganz.

Wenn meine Loesung gueltig ist, schreibe ich noch dazu, wie ich darauf gekommen bin (scheint "eleganter" zu sein als Otmars ). Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

[Friedel]

Offensichtlich habt ihr diese Aufgabe verstanden und offensichtlich habe ich sie nicht verstanden. Ist das eine Scherzaufgabe?

So wie ich die Aufgabe verstehe, ist sie trivial und nicht lösbar.

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Stifte kosten 7,11€. Ein Stift kostet also 7,11 € / 4 = 1,7775 €. Das hat mehr als 2 Nachkommastellen und kann daher nicht die Lösung sein. Es gibt aber keine andere Zahl, die 7,11 ergibt, wenn man sie vervierfacht.

Kann man die Aufgabe auch anders interpretieren?

[Otmar]

@Phoenix
Ich glaube schon, dass der Hinweis eine Bedingung ist, denn eine Preisauszeichnung in einem Laden ist ja normalerweise auf ganze Cent beschränkt, es geht ja hier nicht um Benzin, wo man auch gern mal x,9 Cent je Liter zahlt. Im Prinzip sagt der Hinweis nur, dass im Laden alles mit rechten Dingen zugeht,... und wir deshalb noch eine starke Nebenbedingung zu berücksichtigen haben, die die Lösung sogar eindeutig macht. Würde man z.B. algebraische Zahlen als Preise zulassen, dann könnte man ja 2 fast beliebig wählen und die anderen beiden als Lösung einer quadratischen Gleichung ausrechnen.
@Friedel
Die Stifte sind wahrscheinlich verschieden, vom Bleistift, Filzstift oder Kugelschreiber könnte man ja aus einem breiten Sortiment wählen. Deshalb haben sie verschiedene Preise und dann geht die Rechnung los.
@Cujo
Das Rätsel ist ja ziemlich cool, wie bist du darauf gekommen?

PS:
Nach einmal drüber schlafen, finde ich meine Lösung schon besser, allerdings noch nicht elegant, da ist die Latte z.B. in "Das BUCH der Beweise" von Aigner und Ziegler zu hoch gelegt

[Friedel]

[Phoenix]

@Otmar
Und das Produkt der Zahlen ist exakt 7.11? Also ohne runden?

[Cujo]

Und das Produkt der Zahlen ist exakt 7.11? Also ohne runden?