Im Schreibwarenladen Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Cujo » Samstag 30. Juni 2012, 11:01

Erstmal freue ich mich, dass das Rätsel auf so reges Interesse gestoßen ist :D

Zu den vorgeschlagenen Lösungen kann ich sagen, dass die von ginger und Otmar vollkommen richtig sind :super:

Phoenix kam zwar der Lösung recht nahe, ganz gestimmt hat seine Antwort aber nicht :verlegen:

@Otmar Das Rätsel habe ich hier gefunden :arrow: Problem beim Bäcker und dann etwas umgeschrieben :)
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Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Friedel » Samstag 30. Juni 2012, 16:29

Ich bin sehr auf den eleganten Lösungsweg gespannt. Man kann durch Überlegen viele Möglichkeiten ausschließen, aber es gibt immer noch recht viele, die man durchprobieren muss. Um als letzte Ziffer beim Produkt auf die 1 zu kommen, ist es naheliegend, für einen Stift einen Preis von
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4 * 0,79€ = 3,16 €
an zu nehmen. Man (ich) kommt so zwar in vertretbarer Zeit zu einer Lösung, aber wenn man auch beweisen will, dass das die einzige Lösung ist, ist der Aufwand recht hoch. Ich habe das ganze mit einem Script gelöst, aber das ist imho alles andere als elegant.
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Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Friedel » Sonntag 1. Juli 2012, 07:31

Mit der "Skizze" von Otmar kann ich leider nichts anfangen.
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Was bitte soll
  a*b*c*d = 7,11:=s  
bedeuten? Und was soll
  a*b*c*d = 7,11 * 100^4 = 2^6 * 5^6 * 3^2 * 79 := p  
bedeuten?

Otmar hat geschrieben:Wegen (1) muss es mindestens 2 gerade Preise geben
??? Was ist bitte (1)? Ich kenne keinen naheliegenden Grund, warum es mindestens 2 gerade Preise geben muss. Wegen a*b*c*d = 7,11 muss es eine ungerade Zahl von ungeraden Preisen geben und damit entweder 1 oder 3 gerade Preise.

Otmar hat geschrieben: da s ungerade ist, müssen es genau 3 gerade Preise sein
Was ist denn s?


Diese "Skizze" ist für mich leider nicht nachvollziehbar.
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Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Otmar » Sonntag 1. Juli 2012, 23:41

Friedel hat geschrieben:Mit der "Skizze" von Otmar kann ich leider nichts anfangen.

Und zu allem Überfluss ist auch gleich am Anfang ein Denkfehler drin, der auf der Suche nach der Lösung zwar nicht geschadet hat, aber den logischen Ausschluss weiterer Lösungen unvollständig, also zunichte gemacht hat. Da aber Interesse an einer vollständigen Lösung mit relativ wenig Probieren und der Möglichkeit, das mit Stift, Taschenrechner und Zettel zu machen besteht, versuche ich meine vollständige Lösung etwas besser aufzuschreiben.
Doch vorher zu Friedels Fragen:
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Friedel hat geschrieben:Was bitte soll
  a*b*c*d = 7,11:=s  
bedeuten? Und was soll
  a*b*c*d = 7,11 * 100^4 = 2^6 * 5^6 * 3^2 * 79 := p  
bedeuten?

Offenbar hat Friedel in der ersten meiner Gleichungen + durch * ersetzt und auch die 711 zu 7,11 gemacht hat.
Otmar hat geschrieben:Ich rechne in Cent und suche a <= b <= c <= d als ganze Zahlen. a+b+c+d=711:=s und a*b*c*d = 7,11 * 100^4 = 2^6 * 5^6 * 3^2 * 79 := p.

Also a,b,c und d waren die Preise der Stifte in Cent, denn die sollte ich ja suchen. Das ich in Cent und damit in ganzen Zahlen rechne, hatte ich ja angedroht. Mit := wird oft eine Definition einer neuen Größe festgehalten. OK, bei mir steht das falschrum, ich wollte hier die Größe s = 711 definieren und dann im Text wiederverwenden, damit man besser erkennen kann, welche Größe ich meine.

In der zweiten Gleichung habe ich für spätere Verwendung p = 711000000 definieren wollen. Wobei p das Produkt der Preise in Cent ist. Eigentlich ist das Produkt von vier Preisen ja Euro^4. Da die Verkäuferin aber einen Fehler gemacht hat, hat sie die Einheit der Summe (also Euro) verwendet und nicht Euro^4. Den Fehler muss man erkennen, um die Umrechnung von Euro in Cent richtig machen zu können. Also in der Produktgleichung jeden Euro Preis mal 100 genommen heißt, dass das Produkt mal 100^4 zu nehmen ist. Das hab ich extra so aufgeschrieben, dass man den Gedankengang erkennen kann. 2^6 * 5^6 * 3^2 * 79 ist einfach die Primfaktorzerlegung von 711000000, die man ja sofort im Kopf machen kann: 711000000 = 711 * 1000000. Da 711 Quersumme 9 hat, ist 3 mindestens zweifacher Primfaktor von 711 und wegen 711/9 = 79 und 79 ist Primzahl, hätten wir 711 in Primfaktoren zerlegt und wegen 10 = 2*5 ergibt sich der Rest der Zerlegung.

Friedel hat geschrieben:
Otmar hat geschrieben:Wegen (1) muss es mindestens 2 gerade Preise geben
??? Was ist bitte (1)? Ich kenne keinen naheliegenden Grund, warum es mindestens 2 gerade Preise geben muss. Wegen a*b*c*d = 7,11 muss es eine ungerade Zahl von ungeraden Preisen geben und damit entweder 1 oder 3 gerade Preise.

Otmar hat geschrieben:Aus a + 3 (p/a)^(1/3) <= s (1) folgt a > 2^6 und damit d <= s - 3 a <= 519 (2).

Also (1) ist die Ungleichung:
  a + 3 (p/a)^(1/3) <= s  

a war der kleinste Preis in Cent, s die Summe in Cent und p das Produkt in Cent^4. Tatsächlich habe ich bei der Folgerung
Wegen (1) muss es mindestens 2 gerade Preise geben
einen Fehler gemacht. Der Gedankengang war, dass nicht alle 6 Primzahlen 2 aus 2^6 in einem Preis drin sein können, da der Preis dann 64 wäre und damit wegen a > 64, zu klein. Damit, so dachte ich muss wenigstens eine Zwei in einem anderen Preis sein. Das ist natürlich falsch, denn der Preis der alle Zweien enthält könnte ja auch noch eine 3 oder 5 enthalten. Aber da auch diese Fälle keine Lösung liefern, hat meine Lösung durch den Denkfehler keine Schaden erlitten. Es ist ja nicht unlogisch aus Falschem auf Wahres zu schließen. Ich schreib aber nochmal eine Lösung auf, die auch diese Fälle untersucht.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Otmar » Montag 2. Juli 2012, 21:15

Also nun ein Versuch meine Lösung verständlich zu machen:

Nur zwei unbekannte Stiftpreise:
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Bevor ich zu meiner Skizze zurückkehre, gibt es zum Warmmachen eine vereinfachte Aufgabe mit 2 Stiften und den Einzelpreisen u und v wobei nur P und S mit P=u*v und S=u+v bekannt sei.
Dann kann nach dem Satz von Vieta und der „Mitternachtsformel“ u=½(S+sqrt(S^2–4P)) und v=½(S-sqrt(S^2–4P)) direkt aus P und S berechnet werden. Für eine gültige Lösung muss S^2–4P eine Quadratzahl sein, damit u und v ganzzahlig werden. Nun sind wir aufgewärmt und kehren zur ursprünglichen Aufgabe zurück. Dort suchen wir ganzzahlige Preise a<=b<=c<=d in Cent und haben p = a*b*c*d und s=a+b+c+d gegeben mit s=711 und p=711000000=2^6*3^2*5^6*79. Wollen wir für zwei Preise m und n testen, ob sie in der Lösung sind, dann benutzen wir den zwei Stifte Fall für die restlichen beiden Preise u und v, indem wir P = p/(m*n) und S=s–m-n berechnen. Die Preise m und n gehören nicht zur Lösung, wenn S^2-4P keine Quadratzahl ist. Im Folgenden sei das der Zweistiftetest mit den Preisen m und n.

Erste Preisspanne
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Nun wieder zu meiner Skizze, die etwas Farbe bekommen soll. Ich hatte mit einer Abschätzung für den kleinsten Preis a und den größten Preis d begonnen. Ungleichung (1) war: a+3(p/a)^(1/3)<=s. Vielleicht sollte ich dazu noch was schreiben: Fangen wir mit der Ungleichung (bcd)^(1/3) <= (b+c+d)/3 an. Diese gilt für alle positiven Zahlen b, c und d und ist als Ungleichung zwischen geometrischen und arithmetischen Mittel bekannt.Wiki
D.h. s=a+b+c+d=a+3(b+c+d)/3>=a+3(bcd)^(1/3) = a+3(p/a)^(1/3). Wir setzen f(a)=a+3(p/a)^(1/3) und substituieren a durch x umkehrbar mit x^3=a/p und betrachten f(a)=y(x)=px^3+3/x mit y’(x)=3px^2–3/(x^2). Dann finden wir für positives x einen einzigen lokalen Extremwert von y(x) bei x^4=1/p bzw. einen Extremwert f(a) bei a = p^(1/4) = 163.29…. An dieser Stelle ist f(a) kleiner als s. Aber f(2^6) ist größer als s. Deshalb ist das Extremum f(p^(1/4)) ein Minimum und für alle a<=2^6 ist f(a) > s. Also muss a größer als 2^6 sein, so dass Ungleichung (1) nicht widersprochen wird.
Wenn aber der kleinste Preis in Cent größer als 2^6 = 64 ist, dann sind drei Preise in Summe größer als 3*64 und damit ist der größte Preis in Cent d<711–3*64=519. Das war Ungleichung (2) in der Lösungsskizze. Nun haben wir eine erste Preisspanne für die Stifte. Sie liegen zwischen 64 und 519 Cent.


Teilbarkeiten
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Wieviele Preise sind durch 2 teilbar? Da s ungrade ist, ist entweder nur ein Preis (Fall 1) oder es sind genau drei der vier Preise (Fall 2) durch 2 teilbar. Da es viel mehr Möglichkeiten die 6 Zweien aus der Primfaktorzerlegung für Fall 2 als für Fall 1 aufzuteilen gibt, wäre es sinnvoll zu vermuten, dass 3 Preise durch 2 teilbar sind und man kommt damit auch zum Ziel. Will man aber beweisen, dass die Lösung eindeutig ist, muss man sich auch um den ersten Fall kümmern. Angenommen es wäre genau ein Preis, nennen wir ihn m durch 2 teilbar dann ist m ein Vielfaches von 2^6. Da 64<m<519 gelten muss, ist m entweder 3*2^6=192 oder 5*2^6=320. (Der nächste wäre 3^2*2^6=576 und der ist schon zu groß.) Nun muss ein anderer Preis, nennen wir ihn n ein Vielfaches von 79 sein. Ferner darf n nur noch Primfaktoren 3 und 5 enthalten, da alle Zweien schon in m sind. Für n gilt 64<n<711-192-2*64=391. Also ist für n nur 79 oder 237 möglich. Insgesamt macht das 4 Möglichkeiten, die im Zweistiftetest für m und n überprüft werden müssen. Hier ein Beispiel für m=192 und n=79. S=711-192-79=440 und P=711000000/(192*79)=46875. Dann ist S^2-4P=6100. Wegen 78^2=6084<6100<6241=79^2 ist 6100 keine Quadratzahl und der Zweistiftetest schließt das Paar 192 und 79 aus der Lösung aus. Auch die anderen drei Möglichkeiten gehören nicht zur Lösung. Also ist Fall 1 auszuschließen und genau drei Preise sind geradzahlig.

Wieviele Preise sind durch 5 teilbar? Jetzt wird 5^6 aufgeteilt. Da 5^4=625>=519 ist, kann ein Preis maximal dreimal durch 5, also durch 5^3 geteilt werden. Es müssen also wenigstens zwei Preise durch 5 teilbar sein. Angenommen es sind genau zwei, dann ist jeder der beiden ein Vielfaches von 5^3=125. Zudem ist einer der beiden, nennen wir ihn m, geradzahlig. Also ist m = 250 oder 500. Weitere Möglichkeiten werden für m wegen (2) ausgeschlossen. Ist der andere Preis n, dann ist n <= 711-m-2*64. Für m=500 ist n<=83 was nicht sein kann, da n>64 ein Vielfaches von 125 sein soll. Also ist m=250 und n<=333. Also ist n entweder 125 oder auch 250, da 3*125=375 schon zu groß ist. Da der Zweistiftetest für beide verbliebenen Paare von m und n fehl schlägt, müssen mehr als 2 Preise durch 5 teilbar sein. Da s nicht durch 5 teilbar ist, können nicht alle Preise durch 5 teilbar sein, also sind genau 3 Preise durch 5 teilbar.

Und der Rest:
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Der Rest der Lösung ist schon recht deutlich in der Lösungsskizze beschreiben. Der Vollständigkeit halber noch kleine Details:

Wieviele Preise sind durch 10 teilbar? Da jeweils drei durch 2 bzw. 5 teilbar sind, sind entweder drei oder zwei Preise durch 10 teilbar. Angenommen drei Preise sind durch 10 teilbar, dann muss ein Preis als Endziffer eine 1 haben. Dieser ist offenbar weder durch 5 noch durch 2 teilbar also nur durch 3 oder 79. Es bleiben wegen (1) und (2) die Möglichkeiten 79 und 3*79=237. Auch diese beiden haben nicht die Endziffer 1. Deshalb sind genau 2 Preise durch 10 teilbar. Von den anderen beiden hat der durch 5 teilbare die Endziffer 5 und der durch 2 teilbare die Endziffer 6, damit in der Summe s=711 die Endziffer 1 entsteht. Der gerade Preis mit Endziffer 6 ist aus 1..4 Primzahlen 2 aus 0..2 Primzahlen 3 und 0..1 Primzahlen 79 zusammengesetzt. Da diese Zahl kleiner als 519 sein muss bleiben die Preise in der Tabelle übrig:
*          3      9   79  237
-----------------------------
2 | 6 18 158 474
4 | 12 36 316 -
8 | 24 72 - -
16 | 48 144 - -

Der Preis muss auch größer als 64 sein und Endziffer 6 haben, also bleibt nur 316. Damit hätten wir den ersten Preis in Cent: m=316.

Die restlichen Preise sind durch 5 teilbar. Vergessen wir x und y von oben und nennen diese Preise durch 5 geteilt entsprechend der Lösungsskizze x, y und z. Dann gilt
x+y+z=(711-316)/5=79 und x*y*z=p/(5^3*4*79)=2^4*3^2*5^3. Alle müssen kleiner als (711-316-2*64)/5 also kleiner als 54 sein. Deshalb sind wenigstens zwei, es seien x und y, durch 5 teilbar, da 5^3=125>54 ist. Da 79 bei Division durch 5 den Rest 4 lässt und x+y durch 5 teilbar ist muss z bei Division durch 5 den Rest 4 lassen. Nun ist z höchstens 3 mal durch 2 teilbar und höchstens 2 mal durch 3 teilbar. Andere Primfaktoren sind schon verbraucht. Da z > 64/5 also größer als 12 ist, bleibt für z nur 24 übrig. Damit haben wir den zweiten Preis und wir nennen ihn n = 5*24. Mit m=316 und n=120 gehen wir in die zwei Stifte Lösung und erhalten u=150 und v=125 als dritten und vierten Preis und als einzige Lösung des Rätsels.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Otmar » Mittwoch 4. Juli 2012, 08:09

ginger hat geschrieben:Ein Mathematiker kann bestimmt erklären, wie man das "elegant" berechnen kann

Erst hatte ich Zweifel, aber es gibt eine einfache und elegante Lösung. Ich hab sie im Internet gefunden. Diese Lösung verwendet gleiche Prinzipien, wie sie auch in meiner Lösung zu finden sind, nämlich
-Ungleichung vom arithmetrischen und geometrischen Mittel
-Teilbarkeitsregeln
-Quadratische Gleichung
aber in andere Reihenfolge und sparsamer, so dass eine sehr kompakte vollständige Lösung entsteht.

Etwas Probieren wird bei der Aufgabe aber immer nötig sein, da es für das Problem keine allgemeine Lösungsvorschrift gibt. Bei anderen Summenpreisen gibt es auch mal zwei oder noch mehr mögliche Lösungen und oft gibt es gar keine.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Im Schreibwarenladen

Beitragvon Friedel » Samstag 7. Juli 2012, 23:20

Danke. Diese Lösung ist imho tatsächlich vergleichsweise elegant. ( - Im Vergleich zu meinen Versuchen.)
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