Gefrorene Kugeln

[Otmar]

Der Weihnachtsmann bereitet für die Einwohner Alaskas eine besondere Weihnachtsüberraschung vor. Er will dort 100000 Weihnachtsbäume vor den Häusern aufstellen. Da es in Alaska kalt ist, möchte er jeden Baum mit 10 eingefrorenen Seifenblasen schmücken. In seinem Keller steht die neue Seifenblasen-Aufblas-und-Gefrier-Maschine, die exakt kugelförmige Seifenblasen mit 5 Zentimetern Durchmesser und einer farbig schimmernden Wand, die überall 452 Nanometer dick ist, produziert. Einige Testkugeln hat die Maschine schon hergestellt, aber plötzlich leuchtet eine rote Lampe auf, die anzeigt, dass die enthaltene Flüssigkeit nur noch für wenige Kugeln reicht. Wie viele Flaschen Seifenblasenlösung muss der Weihnachtsmann für sein Vorhaben besorgen, wenn jede Flasche 710 Milliliter Flüssigkeit enthält.

[Friedel]

Ich dachte zuerst, die Aufgabe wäre gar nicht lösbar. Zu viele Angaben fehlen, zu viel ist unklar.

Seifenlauge besteht größtenteils aus Wasser. Das Volumen des Produktinhalts von Flaschen muss immer bei 20°C angegeben werden. Wir wissen nicht, wie viel Volumen die Seifenlauge aus einer Flasche noch hat, wenn man sie bis zum Gefrierpunkt abkühlt. Wir wissen nicht mal, bei welcher Temperatur die Flüssigkeit gefriert. Und wie kalt sind die Kugeln? Das Eis verliert mit sinkender Temperatur ja an Volumen. Dazu kommt, dass ja schon einige Kugeln fertig sind, und wir gar nicht wissen, wie viele noch gemacht werden müssen. Aber

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wenn man all das nicht berücksichtigt, braucht man etwas mehr als 1,8 cm³ Seifeblauge. Durch die fertigen Kugeln und die Volumenänderungen durch das Gefrieren und die Temperaturunterschiede braucht man wohl ein bisschen mehr oder weniger. Aber die 710ml aus einer Flasche reichen auf jeden Fall.

[Musagetes]

„Ja ist denn schon wieder Weihnachten???“

Nun habe ich noch nicht einmal meinen Italien Sommerurlaub bewältigt, da verführt mich Otmar in die Weihnachtszeit.

Da es sich um ein Rätsel handelt, gebe ich mal einen einfachen Lösungsvorschlag ab,
ohne nach unzähligen Problemen und nach unwegsamen naturwissenschaftlichen Phänomen zu suchen.

Bei einem Rätsel herrschen grundsätzlich ideale Bedingungen.

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R = Äußerer Kugelradius
r = Innerer Kugelradius
D = Seifenblasenhüllendicke
VH = Volumen Seifenblasenhülle
VG = Volumen Seifenblasenlösung Gesamt
K = Anzahl Kugeln pro Tannenbaum
T = Anzahl Tannenbäume
S = Seifenblasenmenge pro Flasche
F = ges. Anzahl Flaschen Seifenblasenlösung

S = 710 Milliliter (ml) > S = 0.00071000m³

Kugelvolumen VK = 4/3 π r³
R = 0,025m > VR = 0,00006544984694978736m³
r = R - D
r = 0,025m - 452m x 10^-9 > r = 0,024999548m
r = 0,024999548m > Vr = 0,00006544629701427241 m³
VH = VR –Vr = 0,00006544984694978736m³- 0,00006544629701427241m³
VH = 0.00000000354993551495m³
VG = VH x K x T > VG = 0.00000000354993551495 m³ x 10 x 100000
VG = 0.00354993551495m³
F = VG/S > F = 0.00354993551495m³/0.00071000m³
F = 4.99990917598591549

Somit dürften fünf Flaschen der Seifenblasenlösung reichen.

Liebe Grüße und allen eine fröhliche Weihnachtszeit!
Musagetes

P. S. Hieraus ergebe sich schon wieder ein weiteres Problem, wenn man danach sucht.
Wie bekommt man das letzte „Tröpfchen“ aus der Flasche ….lach?

[Friedel]

Hallo Musagetes,

ich beneide dich um deinen Urlaub. Aber um diese Jahreszeit machst du Sommerurlaub? In Italien?

Egal. Für diese Aufgabe spielt es ja keine Rolle. Ich halte es nicht für sinnvoll, als Längeneinheit den Meter zu verwenden. Ich habe in Millimetern gerechnet. Hättest du das auch gemacht, hättest du wahrscheinlich gemerkt, dass in deiner Rechnung die Seifenblasenhülle nicht 452 Nanometer sondern 452 Mikrometer dick ist.

mfg Friedel

[Otmar]

Es kann gratuliert werden:

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Mein geht an Musagetes.

@Friedel

Da hat sich sicher eine Rechenfehler eingeschlichen. Allerdings finde ich deine Überlegungen zu den Randbedingungen sehr schön. Auch ich hatte mir einige Gedanken dazu gemacht und die Zahlen so gewählt, dass solche Überlegungen bei einer Lösung auch nötig sind. Allerdings habe ich die Anomalie des Wassers vorausgesetzt.

Hier mein Lösungsweg:

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Der Weihnachtsmann braucht eine Millionen Kugeln, da je 10 Kugeln an jedem Baum hängen sollen. Die Kugeln sind Hohlkugeln und das Volumen V der Kugelschale ist etwas kleiner als die äußere Kugeloberfläche mal die Dicke. Also gilt V < Pi * (5 cm)² * 452nm. Das noch benötigte Seifenflüssigkeitsvolumen ist kleiner als 1000000 * V, weil ja schon Kugeln da sind und Eis im Wasser schwimmt, also eine kleiner Dichte als Wasser hat. Demnach reicht es, wenn er noch n Flaschen besorgt, wobei n die nächstgrößte ganze Zahl ist, als

10 * 100000 * V/710cm³
< 1000000 Pi * (5 cm)² * 452nm/710cm³
= Pi * 25 cm² * 452mm/710cm³
= Pi * 25 * 45,2cm³/710cm³ = Pi * 1130/710 = 5 * (Pi * 113/355) = 5 * Pi / (355/113)

und weil 355/113 eine extrem gute Näherung der Zahl Pi ist, die allerdings etwas größer als Pi ist, sind fünf Flaschen ausreichend und auch nötig, wenn man mal annimmt, dass alle Unsicherheiten in den Abschätzungen der noch unbekannten Größen wesentlich kleiner als 20% waren.

@Cujo,

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ich glaube, deine Einschätzung, dass das Rätsel für den Adventskalender zu schwer ist, war begründet.