Fallhöhen Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Fallhöhen

Beitragvon Neuling » Freitag 11. April 2014, 17:20

Für Stabilitätstests werden Testobjekte (Kugeln) aus verschiedenen Höhen (ganzzahlige Meterabstände, beginnend ab
1 Meter) fallen gelassen. Es gibt nur zwei Möglichkeiten. Entweder die Kugel übersteht den Aufprall unbeschadet und kann für weitere Versuche benutzt werden oder sie zerberstet und wird damit unbrauchbar.
Um festzustellen, bis zu welcher Höhe eine Kugel einen Aufprall übersteht, benötigt man eine maximale Anzahl von Versuchen, die abhängig ist von der Anzahl der Testkugeln.

a) Für eine Testung standen 2 rote Kugeln zur Verfügung. Es sollten maximal 6 Fallversuche durchgeführt werden. Im 5. Versuch zerbrach eine Kugel und im 6. Versuch ebenfalls. Aus welcher maximalen Höhe überstehen die roten Kugeln unbeschadet einen Aufprall?

b) Für eine andere Testung mit maximal 5 Fallversuchen, konnten 3 blaue Kugeln verwendet werden. Dabei ging im 3. Versuch eine zu Bruch. Die beiden anderen blieben heil. Aus welcher maximalen Höhe überstehen die blauen Kugeln einen Aufprall unbeschadet?
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Freitag 11. April 2014, 17:20
Ende: Montag 14. April 2014, 17:20
Aktuell: Donnerstag 9. April 2020, 14:31
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Musagetes » Sonntag 13. April 2014, 04:50

Hi Neuling,

schön dich wiedermal auf der anderen Seite, bei den Aufgabenstellern zusehen und das auch noch mit einer schönen Textaufgabe.

Die Fallhöhen können ja für manche Persönlichkeiten, recht unterschiedlich sein, ob man diese auch optimieren kann?!

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F = Fallhöhe (m)
N = Anzahl von Versuchen
Np = positive Versuche
Nn = negative Versuche
N1 = 1. negativ Versuch
K = Anzahl von Kugeln
N = > K (=> ist gleich größer)

1. Testung: (rote Kugeln)
K = 2
N = 6
N1 = 5
Nn = 2

Da ich hier zwei Kugeln habe, kann man den 1. Versuch auf der 2. Fallhöhe also 2m beginnen, wenn der versuch negativ wäre,
dann könnte ich mit der zweiten Kugel die Fallhöhe bei 1m noch bestimmen.
Analog des 1. Versuchs kann der 2. Versuch mit der 4. Fallhöhe von 4m, der 3. Versuch mit der 6. Fallhöhe von 6m und sofort bis zum 5. Versuch mit der 10. Fallhöhe von 10m fortgesetzt werden. Da aber der 5. Versuch negativ war, muss nun mit der 2. Kugel die Fallhöhe von 9m im 6. Versuch noch getestet werden. Nun da der 6. Versuch ebenfalls negativ war, liegt bei der 1. Testung die maximale Fallhöhe, ohne dass die Kugel beschädigt ist, bei 8m Höhe.

Das lässt sich aber auch mit folgender Vorschrift ausdrücken.

F = K(N1 –- 1) + (K – Nn) => F = K x N1 – Nn => F = 2 x 5 –2 F = 8m


2. Testung: (blaue Kugeln)
K = 3
N = 5
N1 = 3
Nn = 1

F = K x N1 – Nn F = 3 x 3 – 1 F = 8m


Interessant wäre auch Tests beim Eierweitwerfen durchzuführen.

In diesem Sinne wünsche ich allen ein frohes Osterfest!
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Neuling » Sonntag 13. April 2014, 11:04

Hallo Musagetes!

Freut mich, dass ich dich mit einer interessanten Aufgabe auch mal wieder zu einem Kommentar animieren konnte.

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Da ich nicht weiß, was bis zur Spoileröffnung noch an Lösungsvorschlägen eingehen wird und ich dir gern die Gelegenheit geben möchte, deine Überlegungen nochmal zu überprüfen, vorab dieser Hinweis - beide Höhen sind leider nicht optimal.


Gruß und ebenfalls sonnige Ostertage!
Neuling
Zuletzt geändert von Cujo am Sonntag 13. April 2014, 16:04, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Spoiler gesetzt
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Otmar » Sonntag 13. April 2014, 11:37

Hallo Neuling,
schönes Rätsel! Lass mich raten:
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Neuling hat geschrieben:Das Verkürzen der Abstände um jeweils eine Einheit, kenne ich aus einer ähnlichen Aufgabe.

War es diese?

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mein rekursiver Ansatz liefert:
Die Kugeln fallen:
a) erste Kugel: bei 6, 11, 15, 18 und 20 Metern; zweite Kugel bei 19 Metern ---> maximale Höhe = 18 Meter
b) erste Kugel: bei 11, 18 und 22 Metern; zweite Kugel bei 20 und 21 Metern; dritte Kugel fällt aus ---> maximale Höhe = 21 Meter

Muss Musagetes zustimmen, dass zur Osterzeit Ostereier auch geeignete Testobjekte gewesen wären. Allerdings würde man bei Bioeiern eine kleine Variation in der Festigkeit erwarten.

Euch allen eine frohe Osterzeit! :juggle:
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Musagetes » Montag 14. April 2014, 03:40

Hi Neuling!

Da ist mir wohl ein Fehler bei der 2. Testung unterlaufen, ferner möchte ich meine Lösung noch etwas präzisieren.


Mehr ->
F = Fallhöhe (m)
N = Anzahl von Versuchen
Np = positive Versuche
Nn = negative Versuche
N1 = 1. negativ Versuch
K = Anzahl von Kugeln
N = > K (=> ist gleich größer)
I = Intervall (bezogen auf Fallhöhen von 1m und Anzahl von Kugeln) I/2^(K-1) = 1m => I = 2^(K-1)m

1. Testung: (rote Kugeln)
K = 2
N = 6
N1 = 5
Nn = 2
I = 2m (I = 2^(K-1)m)

Da man hier zwei Kugeln hat, kann man die Versuchsintervalle auf I =2 m bestimmen, demnach beginnt der 1. Versuch auf der Fallhöhe 2m,
wenn der Versuch negativ wäre, dann könnte ich mit der zweiten Kugel die Fallhöhe bei 1m noch bestimmen.
Analog des 1. Versuchs kann der 2. Versuch mit der Fallhöhe von 4m, der 3. Versuch mit der Fallhöhe von 6m und sofort bis zum 5. Versuch mit der Fallhöhe von 10m fortgesetzt werden. Da aber der 5. Versuch negativ war, muss nun mit der 2. Kugel die Fallhöhe von 9m im 6. Versuch noch getestet werden. Nun da der 6. Versuch ebenfalls negativ war, liegt bei der 1. Testung die maximale Fallhöhe, ohne dass die Kugel beschädigt ist, bei 8m Höhe.

Das lässt sich aber auch mit folgender Vorschrift ausdrücken.

F = I(N1 –- 1) + (I – Nn) => F = I x N1 – Nn => F = 2m x 5 –2 F = 8m



2. Testung: (blaue Kugeln)
K = 3
N = 5
N1 = 3
Nn = 1
I = 4m (I = 2^(K-1)m)

Hier hat man drei Kugeln, somit kann man die Versuchsintervalle auf I = 4m bestimmen, demnach beginnt der 1. Versuch auf der Fallhöhe 4m,
wenn der Versuch negativ wäre, dann könnte ich mit den zwei übrigen Kugeln die Fallhöhe bei 1m noch bestimmen.
Analog des 1. Versuchs kann der 2. Versuch mit der Fallhöhe von 8m, der 3. Versuch mit der Fallhöhe von 12m fortgesetzt werden. Da aber der
3. Versuch negativ war, muss nun mit einer der beiden übrigen Kugeln die Fallhöhe von 10m im 4. Versuch noch getestet werden. Da nun der
4. Versuch bei einer Fallhöhe von 10m positiv war, testet man nun noch im 5. Versuch die Fallhöhe von 11m, da dieser Versuch ebenfalls ohne Beschädigung der Kugel verlief, liegt bei der 2. Testung die maximale Fallhöhe bei 11m Höhe.

Dies lässt sich wiederum mit folgender Vorschrift ausdrücken.

F = I(N1 –- 1) + (I – Nn) => F = I x N1 – Nn => F = 4m x 3 –1 F = 11m

Desto länger ich mich mit dem Rätsel beschäftige, kommt mir der Gedanke, als ob ich das Rätsel mit einer anderen Herangehensweise kennen würde.



Wenn Otmar schon mal zu raten beginnt, dann gebe ich auch mal eine Prognose ab.

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Wünsche euch eine schöne Osterzeit!

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Re: Fallhöhen

Beitragvon Musagetes » Montag 14. April 2014, 16:39

Hallo Neuling,

nun möchte ich doch noch, „kurz vor Torschluss“, eine schnelle Lösung, die mir zwar widerstrebt, die auch m. E. jeglicher Praxis entspricht und mit der ich mich nicht anfreunden kann, für die 1. Testung nachreichen.

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Fallhöhe max. 15m bzw. 18m


Falls nötig, reiche ich gerne, wenn ich etwas mehr Zeit zur Verfügung habe, eine Begründung nach.

Eine schöne Osterzeit
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Neuling » Montag 14. April 2014, 17:27

Hallo Musagetes!

...

Aus deinem Lösungsangebot wähle ich mir das Ergebnis 2 zur Aufgabe a) und gratuliere demzufolge zu einer richtigen Fallhöhe. ;)


Hallo Otmar!
:glueckwunsch: zu zwei richtig berechneten Fallhöhen.

Und ja, es war eine Aufgabe in dieser Art, an die mich die Falltüren und kurths Lösung erinnert haben.
Kann man auch unschwer an deiner Lösung für a) erkennen:
Mehr ->
6 (+5=) 11 (+4=) 15 (+3=) 18 (+2=) 20 ...

Habe die Lösungen für beide Aufgaben in je einer Tabelle dargestellt, die sogar noch etwas mehr aussagen.
Mehr ->
Folgendes muss man immer im Hinterkopf behalten - hat man nur (nur noch) eine Testkugel zur Verfügung, muss man (evtl. ab einer bereits bekannten Höhe) Schritt für Schritt jeden Höhenmeter testen, um zu einer sicheren Aussage zu gelangen.

Fallhöhen Lösungstabellen.png
Fallhöhen Lösungstabellen.png (33.07 KiB) 850-mal betrachtet


Zur rechten Tabelle, die den etwas kniffligeren Fall b) dokumentiert, hier mal ein paar Erläuterungen:
Links sind die Höhenmeter und oben die Anzahl der Versuche abzulesen.
Bei erlaubten 5 Versuchen und drei zur Verfügung stehenden Testobjekten, kann bei einer Höhe von 11 Metern begonnen werden. Würde bereits im ersten Versuch eine Kugel zu Bruch gehen, müsste der zweite Versuch bei 4 Metern erfolgen, damit man (falls auch die zweite Kugel zu Bruch geht) mit den noch erlaubten drei Versuchen und einer heilen Kugel die Höhen 1m, 2m und 3m testen könnte.
Bliebe die Kugel bei der Abwurfhöhe von 4 Metern heil, würde der 3. Versuch bei 7 Metern gestartet. Ginge die Kugel zu Bruch, hätte man noch eine heile Kugel und zwei Versuche für die Höhen 5 und 6 Meter. Bliebe die Kugel bei 7 Metern heil, könnte der 4. Versuch bei 9 Metern starten. Je nach Erfolg oder Misserfolg, könnte dann der 5. Versuch bei 10 oder 8 Metern durchgeführt werden.
Man erkennt, dass man für den nachfolgenden Versuch in der Tabelle nach oben gehen kann, wenn die Kugel heil geblieben ist und nach unten gehen muss, wenn die Kugel den Aufprall nicht überstanden hat.

In der gestellten Aufgabe b) ist die Kugel bei 11 Metern und 18 Metern heil geblieben. Beim dritten Versuch (Höhe 22 Meter) ging eine Kugel zu Bruch. Der 4. Versuch musste daher bei 20 Metern starten. Da hier die Kugel ganz blieb, konnte im 5. Versuch die Höhe 21 Meter getestet werden. Laut "Protokoll" blieb dabei die Kugel heil. Bei 22m kaputt, bei 21m heil, also sind hier 21 Meter die maximale Höhe.

Aus der rechten Tabelle ist auch ersichtlich, dass man mit 3 Testkugeln und 5 Versuchen maximal eine Höhe von 25 Metern austesten kann.

Und in beiden Tabellen ist erkennbar, dass für jeden Höhenmeter im Bedarfsfall ein Testversuch innerhalb der erlaubten (maximalen 5 oder 6 ) Versuche möglich wäre.

@ Otmar - ich weiß, dass man dies alles für allgemein x Versuchsobjekte und y erlaubte Versuche mit Rekursionsformeln darstellen kann. (Du könntest es, ich kann es nicht.) Kleinere Testungen, wie diese beiden Fälle, kann ich mit Tabellen dokumentieren, an wesentlich größeren Vorgaben würde ich wahrscheinlich scheitern.

LG Neuling
Zuletzt geändert von Cujo am Montag 14. April 2014, 21:10, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Nicht zur Sache gehörender Text wurde gelöscht
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Otmar » Montag 14. April 2014, 21:18

Hallo Neuling,
nochmal danke für dieses schöne Rätsel. Gehört m.E. zu den kleinen Juwelen, solange man die Lösung nicht kennt.
Mehr ->
Neuling hat geschrieben:@ Otmar - ich weiß, dass man dies alles für allgemein x Versuchsobjekte und y erlaubte Versuche mit Rekursionsformeln darstellen kann.

Da weiß du mehr als ich. Ich habe keine Formel gefunden, aber auch keine gesucht. Mit "rekursivem Ansatz" habe ich nur gemeint, dass ich die beiden gestellten Probleme auf prinzipiell gleichartige Probleme geringerer Komplexität zurückgeführt habe, um das mal kompliziert auszudrücken. Aber im Prinzip habe ich es nicht anders gemacht, als du. Bei b habe ich zuerst einen Strich auf ein Blatt gemalt und gesagt, hier fällt die erste Kugel. Dann habe ich gedacht, geht sie kaputt, dürfen höchstens so viele Meter unter diesem Strich sein, wie man mit nur 2 Kugeln und 4 Versuchen eindeutig bestimmen kann. Dieses Problem ist einfacher. Geht aber die Kugel beim ersten Mal nicht kaputt, entsteht auch ein einfacheres Problem, nämlich über dem Strich habe ich die Aufgabe von vorher um einen Versuch reduziert. Man kommt dann sehr schnell zum trivialen Problem, bei dem nur eine Kugel oder nur ein Versuch übrig ist.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Fallhöhen

Beitragvon Neuling » Dienstag 15. April 2014, 13:57

Hallo Otmar!

Otmar hat geschrieben:Da weißt du mehr als ich.


Alles was ich dazu noch weiß, ist ...

Mehr ->

h(v, k) = 1 + h(v-1, k) + h(v-1, k-1) für v > 1 und k > 1


mit
h(v,1) = v und h(1, k) = 1

v = Anzahl der Versuche
k = Anzahl der Kugeln
h = maximale Höhe in Abhängigkeit von v und k

LG Neuling
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Re: Fallhöhen

Beitragvon MadMac » Dienstag 26. Juli 2016, 07:09

Mehr ->
Optimiert wird nicht die Höhe, sondern die "Auflösung", die man mit den begrenzten Anzahlen Kugeln und Würfen erzielen kann. Man will es ja hinterher genau wissen und nicht nur ungefähr.

a) 1. Wurf: 6m (kaputt => die zweite Kugel wird von 1m, 2m, 3m, ... fallen gelassen).
2. Wurf: 11m
3. Wurf: 15m
4. Wurf: 18m
5. Wurf: 20m (kaputt)
6. Wurf: 19m (kaputt)

=> 18m

b) 1. Wurf: 11m (kaputt => 4m, 7m, 9m, 10m)
2. Wurf: 18m (kaputt => 14m, 16m, 17m)
3. Wurf: 22m (kaputt)
4. Wurf: 20m
5. Wurf: 21m


Gruß,
MadMac
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