Eingerahmte Würfelquader

[Neuling]

Um sich die Zeit bis zum Eintreffen des Weihnachtsmannes etwas zu vertreiben, haben Paulchen und Lena ihre Spielzeugkiste mit den farbigen Würfeln hervorgekramt. Es gibt Würfel in 3 Farben - rot, gelb und grün. Alle Würfel sind gleich groß. Paulchen nimmt sich zunächst alle roten Würfel und Lena alle gelben. Lena hat mehr Würfel als Paulchen. Jetzt teilen sie sich die grünen und zwar bekommt Paulchen genauso viele grüne, wie er rote besitzt und Lena bekommt so viele grüne, wie sie gelbe hat. Ein grüner Würfel bleibt übrig.

Paulchen legt (in der Ebene) alle roten Würfel zu einem Quader und Lena legt aus allen gelben Würfeln einen Quader (ebenfalls in der Ebene, es werden also keine Türme oder dergleichen gebaut).
Danach legen beide mit ihren grünen Würfeln einen Rahmen um ihren Quader (vergrößern somit ihren ursprünglichen Quader). Die grünen Würfel reichen bei beiden genau aus, es fehlt keiner und es bleibt auch keiner übrig.

Wie viele Würfel (gesamt und von jeder Farbe) befanden sich ursprünglich in der Kiste???

beim Knobeln und frohe Weihnachtstage!

[SteinchenSchlau]

Brauche mir nicht mehr die Zeit vertreiben, Essen und Bescherung sind abgehackt.
Aber ein schönes Rätsel, bis ich auf dem richtigen Weg war, hats gedauert, danach war es aber echt einfach.

Ich habe mir das so gedacht:

Mehr ->

Paulchen hat 24 Rote Würfel, er legt damit eine Fläche von 6 * 4 Würfeln, so brauch er auch 24 Grüne Würfel für einen Rand zu legen.
Und Lea hat 30 Gelbe Würfel, sie legt damit eine Fläche von 3 * 10 Würfeln, braucht also exakt 30 Grüne für den Rand.
Also: 24 + 24 + 30 + 30 + 1 = 109 Würfel befanden sich in der Box.
Davon sind 24 Rot, 30 Gelb und 55 Grün!

Noch schöne Weihnachtstage wünsche ich euch.

[Friedel]

Ich verstehe das Rätsel nicht.

Paulchen legt (in der Ebene) alle roten Würfel zu einem Quader und Lena legt aus allen gelben Würfeln einen Quader (ebenfalls in der Ebene, es werden also keine Türme oder dergleichen gebaut).

Was soll das bedeuten? Ich kann mir nicht vorstellen, wie man 3-dimensionale Körper "In der Ebene" legt.

Danach legen beide mit ihren grünen Würfeln einen Rahmen um ihren Quader (vergrößern somit ihren ursprünglichen Quader).

Hä? Unter einem Rahmen, stelle ich mir ein flaches Gebilde vor. Wenn man einen Rahmen um einen Quader legt, ist das imho ein Rechteck. Aber das passt nicht zu dem Text in der Klammer.

[SteinchenSchlau]

Habe hier auch erst mit dem Text gestrauchelt

Aber es passt, wenn du bedenkst, dass ein Würfel nicht Flach ist. Die 3 Dimensionen hast du durch die eigentliche Höhe des Würfels, dann durch die Würfel nebeneinander in Tiefe sowie Breite.
Angenommen, du hast 12 rote Würfel, legst die in der Form - 3 * 4 - dann hast du also auch 12 Grüne, legst diese also um die roten, dann würden dir noch 6 grüne Würfel fehlen um den Rahmen zu vervollständigen. Ob du diese Gebäude nun auf mehrere Stockwerke aufbaust, ist egal, die zahl der Würfel innen und außen, wächst Proportional. aber man soll ja kein Türmchen bauen.
Also, es bleibt alles 'Flach', ausgenommen der eigentlichen Körperhöhe der Würfel selbst.

[Friedel]

????

[Otmar]

Hallo Neuling, will Max heute nicht mit Lena spielen? Verstehe, Max ist noch mit dem Sudoku beschäftigt und da muss Paulchen ran.

So wie ich das lese, handelt es sich bei den Würfeln in der Ebene, um ein Bauwerk mit einer Würfel-Etage:

Mehr ->

Beim Rahmen bin ich mir nicht ganz sicher. Denn der könnte durchaus mehrere grüne Steine breit sein. Dann hätte man die Gleichung:

a b = 2 d (a+b)+4d² wobei a und b die Kanten des inneren Quaders sind und d die Dicke des Rahmens. Da es bei frei wählbarem d sehr viel Lösungen gibt, gehe ich davon aus, dass nur der dünnste Rahmen, also d=1 zugelassen ist. Bezeichnet man mit a die kürzeste Seite des Rechtecks also b >= a und stellt die Gleichung a b = 2a+2b+4 nach b um, dann ist

b=2(a+2)/(a-2). Für a=2 wäre 2b=2b+8, was nicht sein kann, also muss b=2(a+2)/(a-2) sein. Offenbar wird b mit wachsendem a kleiner. Für a >= 5 ist b <= 14/3 < 5. Da nun b >= a sein soll, ist a offenbar kleiner als 5. Es gibt dann ganzzahlige Lösungen für a=3 und a=4 mit b=10 und b=6. Also gibt es 30 gelbe und 24 rote Würfel und wenn ich alles richtig gelesen und verstanden habe, sind es 55 grüne Würfel. Zusammen sind das 109 Würfel in der Kiste. Das ist eine Primzahl. Also wenn alle Würfel ohne Lücke in der Kiste waren, hat diese die ungewöhnlichen Abmaße 1x1x109.

[SteinchenSchlau]

Ja genau so meine ich das, ein Bauwerk mit einer Etage.
@Friedel: Hoffe ich habe dich nicht mehr verwirrt als du schon warst

[Neuling]

an SteinchenSchlau und Otmar. Ihr habt euch von der leicht unsauberen Formulierung nicht beirren lassen und das Rätsel richtig gelöst.
Hier die beiden Lösungen in der Draufsicht.

Mehr ->

Eingerahmte Würfelquader Draufsicht.gif (20.55 KiB) 689-mal betrachtet

Mathematisch betrachtet gibt es auch nur diese beiden Lösungen.
Ich übernehme gleich mal Otmars Gleichung und forme sie etwas anders um:

a*b = 2*a + 2*b + 4
a*b - 2*a - 2*b + 4 = 4 + 4
(a - 2)*(b - 2) = 8

Da a und b ganzzahlig sein sollen, gilt wegen 8 = 1*8 und 8 = 2*4
a = 3 und b = 10 bzw. a = 4 und b = 6

a und b sind natürlich vertauschbar, führt aber im Prinzip zu keinen weiteren Lösungen.

Und die Anzahl der Würfel ist, wie ihr richtig zusammengezählt habt, gleich 109.
24(rot) + 24(grün) + 30(gelb) + 30(grün) + 1(grün) = 24(rot) + 30(gelb) + 55(grün) = 109

@ Otmar - einen möglichen doppelten Rahmen (oder noch dicker) habe ich nicht bedacht. Zum Glück habt ihr ja Beide dies auch nicht weiter in Betracht gezogen.
Ein Problem mit dem Stapeln der Würfel gibt es am Ende auch nicht, da die "Lücken" innerhalb der Kiste mehr oder weniger optimal mit allerlei Kostbarkeiten aus Überraschungseiern und dergleichen gefüllt werden.

So, alles geklärt?
@ Friedel - tut mir echt leid, dass du nicht mitspielen konntest.