Eine Ziffer versetzen

[Neuling]

Wie heißt die kleinste natürliche Zahl, die folgender Bedingung genügt:

Nimmt man die Einerstelle von dieser Zahl weg und setzt sie vor die erste Ziffer, so ist die neu entstandene Zahl das Vierfache der ursprünglichen Zahl.

[Otmar]

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Eigentlich bin ich ja für die Null, aber wenn man die natürlichen Zahlen bei Eins startet, denn man ist sich nicht ganz einig, wo es losgeht, dann wären immerhin und erstaunlicher Weise, 102564 nötig. Die Rechnung schreib ich eventuell später, wenn ich etwas Zeit habe. Ist aber ganz nett.

[Friedel]

Die Aufgabe hat's in sich. Obwohl ich schon eine Weile daran brüte, ist bisher nicht viel herausgekommen.

Jedenfalls, wenn man die triviale Lösung nicht zulässt.

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Heutzutage wird die Menge der natürlichen Zahlen üblicherweise als die Menge der nicht negativen, ganzen Zahlen definiert. Nach dieser Definition ist natürlich die Null die Lösung. Aber diese Definition ist für diese Aufgabe imho nicht sinnvoll und wohl auch nicht gemeint.

Ich bezeichne die Zahl mit A, die umgestellte Zahl als B. Die Stellen der Zahl bezeichne ich als durch A bzw. B und einen Index, der der Position der Stelle entspricht.
Dabei nummeriere ich die Stellen der Zahl von hinten. A₁ ist also die letzte Stelle der Zahl, A₂ ist die vorletzte, B₂ ist die vorletzte Stelle der umgestellten Zahl usw. Mit A₁₂ bezeichne ich entsprechend die letzten beiden Stellen von A, mit A₂₃ die Zahl, die sich aus der vorletzten und drittletzten Stelle ergibt usw.

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1. Die vorderste Stelle von A kann höchstens 2 sein, sonst hätte das Vierfache von A eine Stelle mehr als B.
2. Die vorderste Stelle von A darf nicht größer als A₁ sein, sonst ist A<B.

Es gilt 4A₁%10 = B₁. B₁ muss 0, 2, 4, 6 oder 8 sein. B₁=A₂.
Ab hier wird es ohne Rechnerunterstützung mühsam.

[Neuling]

Hallo Otmar, Hallo Friedel!

Ja, da habe ich wieder etwas unsauber formuliert. Die gesuchte Zahl ist größer als Null.

@ Friedel - es geht mit Papier und Bleistift. Ein systematisches Durchprobieren (mit oder ohne Rechnerunterstützung) ist nicht notwendig.

[Otmar]

Jetzt habe ich doch noch ein paar Minuten, um meinen Lösungsweg einzutippen:

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Für eine k+1 stellige Zahl a mit Einerstelle e gilt:
a = 10b+e und entsprechend der gegebenen Regel gilt auch 4a = 10^k e + b
--> 40b+4e=10^k e + b --> 39 b = 13 * 3 b = (10^k - 4) e
wegen e < 13 muss 10^k-4 ein Vielfaches von 13 sein bzw. 10^k bei Division durch 13 Rest 4 lassen.

k         (10^k)%13
----------------------
0         1 % 13 = 1
1      1*10 % 13 = 10
2     10*10 % 13 = 9
3      9*10 % 13 = 12
4     12*10 % 13 = 3
5      3*10 % 13 = 4

Also muss k mindestens 5 sein.
39 b = (100000 - 4) e = 99996 e --> b = 2546e

Wegen k = 5 und weil ich nicht von führenden Nullen in a ausgehe, muss b fünfstellig sein, also e >= 4 und man erhält das kleinste a für e=4 und damit
b = 10256 also a = 102564.

[Neuling]

Hallo Friedel, ich hätte nicht von weiteren "Probierversuchen" abraten sollen.
Falls Du das hier noch vor der Spoileröffnung liest, dann verfolge mal Deinen Weg weiter, allerdings vom "anderen" Ende.

Du hast Recht, dass sich normalerweise nach jedem Schritt eine Menge neuer Möglichkeiten ergeben. Hier hilft aber Mister Zufall. Da wir die kleinste Zahl suchen, ist es sinnvoll, bei mehreren Möglichkeiten es immer erstmal mit der kleinsten zu versuchen. Und diese Methode führt hier tatsächlich in wenigen Schritten zum Erfolg.

Lösungsweg:

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Ich nenne mal die Ausgangszahl = A und die mit 4 multiplizierte Zahl = B. Des weiteren spreche ich von links beginnend von erster, zweiter ... Ziffer.
Du hast schon erkannt, die erste Ziffer von A kann höchstens 1 oder 2 sein. Wir wählen die kleinste, also 1. Die letzte Ziffer von A muss daher mindestens 4 sein, weil das Vierfache von 1... mindestens eine 4 liefern muss.
A = 1 ...... 4
B = 41 .....
Die zweite Ziffer von A muss 0 sein, denn z. B. schon eine 1 würde wegen 11*4=44 eine Zahl größer 41 liefern.
A = 10 .... 4
B = 410 ....
Die schrittweise Suche nach der nächsten Ziffer müssen wir so lange durchführen, bis sich bei A zum 1. Mal eine 4 zeigt, weil dies dann die letzte Ziffer sein könnte.
Welche Teilzahl 10x kann bei Multiplikation mit 4 eine 410 erzeugen? Es geht nur x=2 (dazu muss allerdings die nächste Ziffer von A einen Übertrag von 2 liefern.)
A = 102 ... 4
B = 4102 ...
Welche Teilzahl 102x kann bei Multiplikation mit 4 eine 4102 erzeugen? Es geht nur x=5 (mit einem Übertrag von der nächsten Ziffer).
A = 1025 ... 4
B = 41025 ...
Welche Teilzahl 1025x kann bei Multiplikation mit 4 eine 41025 erzeugen? Es geht nur x=6 (mit einem Übertrag von der nächsten Ziffer).
A = 10256 ... 4
B = 410256 ...
Welche Teilzahl 10256x kann bei Multiplikation mit 4 eine 410256 erzeugen? Es geht juhu! mit x=4

A = 102564 ist die gesuchte kleinste Zahl.
B = 410256

[Neuling]

Hallo Otmar!
zur gefundenen Lösung, die natürlich richtig ist. Und Danke für Deinen Lösungsweg, der sich im Prinzip mit einem meiner Lösungswege deckt.

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Du hast geschickt die "Restzahl" zusammengefasst. Ausführlich hätte ich die gesuchte Zahl mit
n = (10 hoch k) mal (a Index k) + .... + 10² mal (a Index 2) + 10¹ mal (a Index 1) + aₒ bezeichnet.
(Wie man sieht, die Darstellung bereitet Schwierigkeiten. Wäre schön, wenn hochgestellt und tiefergestellt hier genauso zur Verfügung stünden, wie durchgestrichen oder unterstrichen.)
Der weitere Weg ist analog zu Deinem. Neue Zahl bilden und mit der mal 4 genommenen Ursprungszahl gleichsetzen. Umformen. Linke Seite der Gleichung alle Glieder mit (a Index 0) und rechts alle anderen. Rechts sind alle Glieder durch 39 = 3*13 teilbar.
Wie gesagt, der Weg entspricht Deinen Ausführungen.

Nun habe ich noch einen weiteren, sehr interessanten Lösungsweg. Bevor ich den dokumentiere, möchte ich euch die Gelegenheit geben, mal mit diesem Ansatz zu "experimentieren".

Lösungsansatz:

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Man denke sich die gesuchte Zahl n als Periode einer rationalen Zahl x.
Also x = 0,nnn... = 0, (a Index k) (a Index k-1) .... aₒ (a Index k) .... aₒ usw.

Wie erwähnt, mir fällt die Dokumentation schwer, denn ich kann die einzelnen Ziffern nach dem Komma ja nicht durch weitere Kommas voneinander trennen und Klammer wirken immer so, als würde multipliziert werden. Auch eine Darstellung x = 0,abcd... ist hier ungünstig, weil man allgemein von k oder (k-1) Gliedern der Periode spricht und da geht die Zuordnung verloren. Ich hoffe, ihr habt trotzdem verstanden, wie es gemeint ist.

Gruß Neuling

[Otmar]

Hallo Neuling,
das geht auch und ist nicht weniger interessant als die erste Lösung. Man benötigt aber m.E. einen Taschenrechner.

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Mit r =0,... wobei ... die Ziffernfolge der gesuchten Zahl a in unendlicher Wiederholung ist: Es gilt dann r < 0,25, weil 4a sonst eine Stelle mehr als a hätte was nicht sein darf. Dann ist r >= 0,1 weil a keine führenden Nullen hatte. Deshalb ist auch die Periode von 4r genau so lang, wie die Periode von r und wir können schreiben: 4r = (r+e)/10, wobei e der Einer von a ist. Daraus folgt sofort 39r=e und wegen 0,1 <= r < 0,25 muss die Ziffer e aus der Menge {4,5,6,7,8,9} sein. Da wir über die Periode noch nichts wissen, können wir alle 6 Ziffern testen und am Taschnrechner sieht man, dass die Periode bei allen Ziffern wenigstens 6 Ziffern lang ist, z.B.: 6/39 = 0,152846153.... Die Probe der Originalaufgabe mit e = 4 und r = 4/39=0,102564102.... also a=102564 mit 4a=410256 bestätigt, dass die angenommene Periodenlänge passt. Da die Ziffern {5,6,7,8,9} keine kleinere Periode haben, ist das gefundene a auch das kleinste.

Man kann natürlich die Periode auch testen indem man a/999999 = a/(10^k-1) rechnet und dann umformt. Dabei kommt man aber wieder auf die Formeln der ersten Lösung.

[Neuling]

Hallo Otmar!
Nöööö, einen Taschenrechner benötigt man dazu nicht. Das "bisschen" Dividieren machst Du schnell mal mit Papier und Bleistift!
Und ich finde diesen Ansatz sehr interessant. Wer denkt denn bei so einer Aufgabe an rationale Zahlen und Perioden???

Hier mein der Lösungsweg:

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Also, die gesuchte Zahl n sei die Periode einer rationalen Zahl x.
x = 0,(a Index k)(a Index k-1)....aₒ(a Index k)....aₒ...
Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung aₒ

x + aₒ = aₒ(Komma)(a Index k).... (weiter wie oben)
Wir dividieren beide Seiten durch 10 und nennen die neue Zahl y.

y = (x + aₒ)/10 = 0,aₒ(a Index k)... (weiter wie oben)
Die Zahl y hat eine andere Periode als die Zahl x. Nach Aufgabenstellung ist diese Periode das Vierfache der ursprünglichen Periode. Damit ist auch die Zahl y das Vierfache der Zahl x.
y = 4*x

Aus beiden "y Gleichungen" folgt:
4*x = (x + aₒ)/10 ----> Umformen ----> x = aₒ / 39
Da x nach dem Komma nicht mit einer Null beginnen kann (ist ja unsere gesuchte Zahl n), muss aₒ mindestens 4 sein.

4/39 = 0,102564102564.... und damit ist n = 102564.
(Zur Probe: y = 16/39 = 0,410256410256... ----> Periode hier: 410256)

[Otmar]

Hallo Neuling,
ich glaube, da machst du es dir zu einfach.

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Denn du berechnest nur y = 4/39 und behauptest damit das kleinste n gefunden zu haben. Das trifft aber nur dann zu, wenn andere potentielle y Werte mit y = 5/39, 6/39, ..., 9/39 keine kürzere als eine 6 stellige Periode haben. Wenn z.B. y=7/39=0,179179179... wäre, dann hätten wir ja ein kleineres n=179 gefunden. Es ist natürlich in diesem Fall so, dass alle y die gleiche Periodenlänge haben, wie die erste Lösung gezeigt hat, bei der vor Berechnung der Zahl n erstmal ausgerechnet wurde, wie viele Stellen die Zahl n haben muss. Aber wenn diese Lösung unabhängig von der ersten Lösung sein soll, ist es imho nötig nachzuweisen, dass die anderen oben genannten rationalen y keine kürzere Periode haben, als die Länge der Periode von 4/39. Das hatte ich durch Ausrechnen (mit Taschenrechner) gemacht. Man kann es auch anders machen, aber wenn du (oder derjenige von dem du die Lösung hast), dich (sich) gar nicht dazu äußert, lässt du (derjenige) bei dieser Lösung eine Lücke.

Oder hab ich irgendwas übersehen?