Die Wurzelschnecke

[Otmar]

Ein ebene Wurzelschnecke baut ihr Haus mit Hilfe einer Menge roter Punkte:

wurzelschnecke.png (6.73 KiB) 1141-mal betrachtet

Diese sind um den grünen Mittelpunkt angeordnet und haben in Zentimeter gemessen zum Mittelpunkt den Abstand Wurzel aus 1, Wurzel aus 2, Wurzel aus 3 und so weiter. Alle benachbarten roten Punkte haben zueinander einen Abstand von einem Zentimeter. Durch die roten Punkte verläuft die Scheckenhauswand. Nachdem die Schnecke die beiden ersten Runden fertig hat, bemerkt sie, dass nach der zweiten Runde der Abstand zur inneren Wand mehr als 1,5% kleiner ist, als der Abstand zur inneren Wand nach der ersten Runde. Wieviele Runden kann ihr Schneckenhaus haben, wenn die Schnecke mindestens drei Zentimeter breit ist und sie auch mal aus dem Haus kriechen möchte?

[Musagetes]

Hi Otmar,

bei deinem Wurzelschneckenhaus,
musste ich sofort an die Behausung von Elli denken.
„https://www.raetsel-forum.net/kniffliges-f9/geschlaengelt-und-gekringelt-t4076.html“

Nach meiner Fleißarbeit, scheint das Wurzelschneckenhaus wesentlich
komfortabler zu sein, als das der Elli.
Wenn das überhaupt, so genau, bis auf dem letzten (roten) Punkt, zu bestimmen ist!?

Ich habe das näherungsweise mal versucht.

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Die Berechnung des Wurzelschneckenhauses läuft auf eine rekursive Funktion hinaus.

Nach meiner Näherung haben die Wände des Wurzelschneckenhauses eine Länge von 599 cm;
bzw. 600 roten Punkten. Die Schnecke hat beim Bau der Wände, auf dem Mittelpunkt bezogen,
2683,666442° gesamt Winkelgrade durchlaufen. Der geringste Abstand zweier Wände
ist am Eingang bzw. Ausgang des Wurzelschneckenhauses und beträgt 3,00003274 cm.

Dieses Wurzelschneckenhaus birgt noch einige Rätsel!

Liebe Grüße
Musagetes

[Otmar]

Vorm Einloggen hat mich das Forum gerade daran erinnert, welche Küchengeräte ich noch einkaufen muss. Ist ja clever, aber das hat noch Zeit. Also erstmal zur Antwort von Musagetes:

@Musagetes

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Ich glaub die Näherung hat etwas weggemacht, was dann zu einem falschen Ergebnis führt.

Das Rätsel ist ja "nur" knifflig, d.h. man muss gar nicht viel rechnen.

[Otmar]

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Man kann schnell zum Ziel kommen, wenn man von einem zum nächsten roten Punkt das Wachstum des Abstandes zum Mittelpunkt je Winkeleinheit herausfindet und dieses Wachstum auf eine volle Umdrehung hochrechnet.

[Musagetes]

Hallo Otmar,

aus der Aufgabenstellung heraus, war für mich selbstverständlich,

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dass es ein Ereignis mit der Anzahl von roten Punkten oder der
Gleichen geben müsste. Da aber meine Ergebnisse was anderes sagten,
behalf ich mich mit einer Näherungsfunktion.
Deshalb wollte ich es wohl nicht wahrhabe, dass es kein
Ereignis könnte, wo der Abstand zweier Wände kleiner 3cm ist.

Nach meiner Feststellung, nähert sich der Abstand (Differenz
zweier Radien r) der Wände, bezogen auf jeweils einer Umdrehung,
auf die Kreiszahl Pi.
Dieses Ergebnis könnte daraus resultieren, dass bei einem Vollkreis,
das Bogenmaß 2Pi ist und hier die beiden Kreisring-Abstände,
also die Differenz der beiden Kreisring-Durchmesser 2Pi entspräche.

Demzufolge, könnte die Schnecke ihr Schneckenhaus wohl unendlich
groß bauen.

Hoffe demzufolge, dass die Schnecke immer schön Diät hält.

Liebe Grüße
Musagetes

[Otmar]

Die ist gelöst.

Hab muss gleich zum Schlittenfahren und schreib in kürze eine Lösung. Aber vielleicht hat ja bis dahin auch ein anderer eine Idee, wie man das Resultat von Musagetes einfach begründen kann.

[Musagetes]

Hallo Otmar,

ich bin das Schneckenhaus nochmal im Geiste abgegangen.

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Wenn das Schneckenhaus bzw. die Anzahl der
Spiralringe sehr groß sind, kann man diese wie Kreisringe betrachten.

Nach meiner Lösung nähern sich die Abstände der Spiralwände
bei einer sehr großen Anzahl von Kreisringen der Kreiszahl Pi an.

Otmar:
……. wie man das Resultat von Musagetes einfach begründen kann.

Bild.png (35.54 KiB) 1011-mal betrachtet

Liebe Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes,
kann man gelten lassen, eventuell sind noch Kleinigkeiten zu ändern, soweit ich das überblicke.

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Es müsste doch eigentlich arcsin(1/Sqrt(n+1)) heissen.
"propertional" sollte durch "monoton zu" o.ä. ersetzt werden.

Ohne Differentialrechnung kann man auch zu diesem Ergebnis kommen:

Zuerst eine Skizze:

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schnecke_lsg.png (4.78 KiB) 997-mal betrachtet

Erklärung:

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Es seien A und B zwei beliebige benachbarte rote Punkte der Schneckenhauswand. Mit Längenangaben in cm heißt das für die Strecken:
AB=1, MA=Wurzel(n), MB=Wurzel(n+1)
und aus der Umkehrung des Satzes des Phytagoras folgt, dass der Winkel MAB ein rechter Winkel ist. Der Punkt C sei auf der Gerade MA so hingelegt, dass MC=MB ist. D.h. die Strecke AC=MC-MA=MB-MA ist der Gewinn an Dicke des Hauses beim Erweitern des Hauses um den eingetragenen Winkel µ. Der
Winkel ABM=180°-90°-µ.
Das Dreieck BMC ist wegen MC=MB gleichseitig mit
Winkel MCB = Winkel CBM = (180°-µ)/2. Folglich ist der
Winkel ABC = Winkel CBM - Winkel ABM = (180°-µ)/2-(180°-90°-µ)=µ/2 so wie in der Skizze eingetragen.
Um die Lösung zu erleichtern, ist Dreieck ACB an der Kante BC gespiegelt, also AC=CA'. Offenbar ist AC+CA' länger als der grüne Bogen zwischen A und A' und damit AC größer als der grüne Bogen im Dreieck ACB. Wegen AB=1 ist dieser grüne Bogen ein Stück vom Einheitskreis. Wenn man also alle Gewinne an Dicke bei einer Umrundung zusammenzählt, ist dieser summierte Dickengewinn größer als der halbe Umfang des Einheitskreises, also größer als Pi. Jedenfalls, wenn die Schnecke die Wand zwischen zwei roten Punkten bezüglich des Umrundungswinkels gleichmäßig wachsen lässt. Und weil Pi > 3 ist, kann die Wurzelschnecke beliebig lange ihre Wand weiterbauen.