Die Umfahrung

[Otmar]

Taddeus Punkt umfährt eine ebene Figur in 13 Sekunden auf einer 500 Längeneinheiten (LE) langen geschlossenen Linie ohne Pause. Diese Linie hat keine Ecken und überall den gleichen Abstand zur umfahrenen Figur. Die Krümmung der Linie ist gemessen in °/LE so groß, wie die Anzahl der echten Teiler des Zahlenwertes der Zeit der jeweils angefangenen Sekunde.
Wie groß ist der Umfang der umfahrenen Figur, wenn diese konvex ist und wenigstens eine Ecke hat.

Anmerkung:

In der ersten, zweiten und dritten Sekunde ist die Krümmung 0 in der vierten Sekunde ist die Krümmung 1°/LE und so weiter bis zur 13ten Sekunde in der wiederum keine Krümmung vorhanden ist, weil 1, 2, 3 und 13 keinen echten Teiler haben, 4 aber genau einen echten Teiler, die 2 hat. Beim Teilerzählen vernachlässigt man die negativen Teiler.

Legt man eine bestimmte Wegstrecke s zurück, dann ändert sich dabei die Richtung um einen bestimmten Winkel µ(s). Die Krümmung ist nun das Verhältnis von µ(s)/s für sehr kleine Wegstrecken s. Bei Bewegung auf einer Gerade ist die Krümmung 0, da die Richtung nicht geändert wird. Bewegt man sich auf einem Kreis, ist die Krümmung konstant.

edit: Länge geändert

[Otmar]

zu einer möglichen Hürde bei diesem Rätsel:

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Es ist zu erkennen ist, dass die Geschwindigkeit bei der Umfahrung nicht konstant sein kann. Denn wäre sie konstant, dann würden in jeder Sekunde 500/13 LE zurückgelegt. Die Krümmungen je Sekunde in °/LE sind: 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 4 und 0. D.h. bei konstanter Geschwindigkeit wäre die Winkeländerung bei der Umfahrung (0+0+0+1+0+2+0+2+1+2+0+4+0)°/LE * 500/13 LE =12*500/13°. Das ist aber verschieden von 360°, dem Wert den man bei so einer Umfahrung erreichen muss, da die Umfahrung keine Ecken hat.

Tatsächlich gibt es viele mögliche Geschwindigkeitsverteilungen, die zu unterschiedlichen Formen der umfahrenen Figur gehören. D.h. die genau Form der umfahren Figur wird man nicht ermitteln können, aber die Frage nach dem Umfang der Figur lässt sich eindeutig beantworten.

[Musagetes]

Hi Otmar,

man möchte sich ja regelrecht in Taddeus Punkt hineinversetzen, wie die Figur bildlich vor dem eigenen Auge Wirklichkeit wird. Ich hatte zwar bei meinen ersten Überlegungen auch einen Gedanken für einen direkten Lösungsansatz, den ich aber erst einmal hintenanstellte, um eine Grafik mit relativen Zeitaufwand (Geonext) anzufertigen,
an der ich aus nun bekannten Gründen kläglich scheiterte.
Es war zwar keine Grafik gefordert, aber mit dem Anspruch, kommt man schnell ins Zweifeln, ob man auf den richtigen Weg ist,
oder man sich auf der Umlaufbahn verfahren hat.

Ich hoffe nun, dass ich noch die richtige Kurve bekommen habe und werfe mal folgende Lösung in den gesuchten Ring.

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Der Umfang der Figur beträgt 410LE.

Eine ausführliche Lösung reiche ich noch zeitnah nach!

Liebe Grüße
Musagetes

[Otmar]

@Musagetes,
der von dir gefundene Umfang hat die gesuchte Länge.

Damit ist das Rätsel gelöst. Wäre natürlich super, wenn du noch eine Begründung angibst.

[Musagetes]

So nun, wie versprochen mein Lösungsvorschlag.

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Lösungsvorschlag Taddeus Punkt.pdf

(69.07 KiB) 359-mal heruntergeladen

Ich hoffe, ihr konntet meiner Lösung gut folgen?!

Liebe Grüße
Musagetes

[Friedel]

Die Lösung als (kaum verständlichen) Text in ein Pdf zu schreiben und dann hier zum Download an zu bieten, statt die Lösung hier zu posten, halte ich für eine Unverschämtheit. Bei dem Text wurde entweder Wert darauf gelegt, dass er schwer verständlich ist, oder es wurde nur kein Wert darauf gelegt, dass er verständlich ist. Bei den Definitionen werden munter Einheiten und Größen gemischt. Und unbekannte Größen werden definiert, indem sie mit anderen unbekannten Größen beschrieben werden...

[Musagetes]

Liebe Rätselfreunde?!

Zu dem o. a. Posting von @Friedel, möchte ich kurz Stellung beziehen.

Da ich versprochen hatte und nachdem auch @Otmar das Rätsel als gelöst abgehakt hatte, eine zeitnahe Lösung einzustellen, habe ich aus zeitlichen Gründen diese einfache und schnelle Variante der Eingabe gewählt, da die Eingabe im Forum für mathematische Texte auch etwas unkomfortabel und zeitaufwendig ist.
Andere benutzen hierfür *.bmp, *.bng, *.jpg oder *.gif –Dateien, ich habe hierfür eine *,pdf-Datei genutzt, ob das eine Unverschämtheit ist, dass sollen andere
beurteilen.

Um bei der Intensität der Wortwahl zu bleiben, dein respektloser Beitrag ist eine Unverschämtheit!
Aber das kennen wir ja, das zieht sich durch das ganze Forum hindurch, dass sich im Allgemeinen klar verständliche Rätsel, nicht lösbar sein sollen, weil aus irgendwelchen spitzfindigen grammatikalischen Gründen das Rätsel nicht klar definiert sein soll.
Wir befinden uns in einem öffentlichen Forum und nicht in einem geschlossenen naturwissenschaftlichen Forum!

@Friedel:
„ …unbekannte Größen werden definiert, indem sie mit anderen unbekannten Größen beschrieben werden ….“

Es sehr leicht nachprüfbar, dass ich bei meinem Lösungsvorschlag, nur Größen verwendet habe, die in der Aufgabenstellung vorgegeben waren und daraus ganz normal neue Größen berechnet habe.

Diese gegebenen Größen, habe ich auch noch meiner Lösung vorangestellt.

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Lösung:
Länge gesamt: U = 500LE
Zeit gesamt: tg = 13s
Zeiteinheiten t1; t2; t3;.. t13: t = 1s
Strecke pro Zeiteinheit: s1; s2; s3;.. s13
Krümmungswinkel pro Zeiteinheit: µ
Anzahl echter Teiler: T = K
Krümmungsfaktor: K = °/LE bzw. K=µ/s

Zudem bezweifle ich, dass du die Lösung im Wesentlichen nicht verstanden hast.

Denn wäre es dir tatsächlich um Unklarheiten gegangen, dann hättest du konkret anfragen können und ich hätte versucht diese zu beseitigen.
Aber deine Intention ist ganz eine andere, nämlich andere mit fadenscheinigen Gründen zu diskreditieren.

Diese Einschätzung kommt nicht aus einer gewissen Dünnhäutigkeit meinerseits.

@Friedel:
„. Bei dem Text wurde entweder Wert darauf gelegt, dass er schwer verständlich ist, oder es wurde nur kein Wert darauf gelegt, dass er verständlich ist.“

Hier wird auch noch in dem Raum gestellt, dass ich mit Absicht, die Lösung unverständlich gefertigt hätte.
Ich frage mich, welchen Grund ich hierfür haben könnte?!

Das Gegenteil ist der Fall, ich habe hier im Forum, besonders bei mathematischen Rätseln, dafür plädiert, dass teilweise auf einem zu abgehobenen (Abitur LK) Niveau
Lösungen erst eröffnet werden.
Ich habe bei meinen Lösungen, auch bei diesem, immer versucht die Rätselinteressenten auf einem viel niedrigeren Niveau abzuholen und mitzunehmen,
damit sie auch für derartige Rätsel sich begeistern und nicht gleich vorweg mit unverstandener Mathematik abgeschreckt werden.

Das soll nicht bedeuten, dass meine Lösungen nicht erklärungsbedürftig sind,
im Gegenteil, ich freue mich auf jeden, der Interesse hierfür zeigt.

Liebe Grüße
Musagetes

[Otmar]

Jetzt ward ihr wieder schneller und habt Lösung und Diskussion während meines Kletterurlaubs eingestellt. Könnte sein, dass es bei Friedel oder auch anderen Lesern noch Unklarheiten gibt. Deshalb habe ich selbst noch eine Lösung vorbereitet:

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Die genannte geschlossene Linie, auf der Taddeus Punkt sich bewegt sein L.
Die umfahrene konvexe Figur sein F, der konstante Abstand von L zu F sein h.
L sei der Umfang der Figur U. F liegt innerhalb von U und könnte aus U gewonnene werden, wenn man alle Punkte aus U, die zu irgend einem Punkt von L einen kleineren Abstand als h haben, entfernt. Der verbleibende Rest ist F.

D.h. wenn L tatsächlich einen konstanten Abstand h zu einer konvexen Figur F hat, dann wäre F eindeutig durch L und h festgelegt.

L besteht nach Voraussetzung ausschließlich aus Kreisbögen und geraden Linien. Zum besseren Verständnis möchte ich als Beispiel für so eine Linie den äußeren Schienenstrang einer ringförmigen Modelleisenbahnstrecke verwenden.

Wenn man bei einer Modelleisenbahn Schienenstücke zu einer ringförmigen Modellbahnstrecke zusammensteckt, dann besteht der äußere und der innere Schienenstrang ausschließlich aus Kreisbögen (Gleise für Kurven) und geraden Linien (gerade Gleisabschnitte). Nimmt man an, dass Schienenstücke beliebiger Länge und beliebiger Krümmung verfügbar sind, dann könnte man eine Modellbahnlinie so zusammenstecken, dass der äußere Schienenstrang mit L identisch ist. Innerer und äußerer Schienenstrang haben immer den gleichen Abstand, die sogenannte Spurweite. Wäre diese Spurweite gleich dem Wert h, dann wäre der innere Schienenstrang identisch zum Umfang von F. Ein Kurvenstück mit Innenradius r und Außenradius r+h , das so lang ist, dass beim Durchfahren der Kurve die Fahrtrichtung um den Winkel µ geändert wird, hat einen im Vergleich zur Innenschiene um d längere Außenschiene:

d = µ/360° * (2Pi * (r+h) - 2Pi * r) = 2Pi * h * µ / 360°

Der Längenunterschied hängt also gar nicht von der Krümmung oder den Radien der Kurve ab, sondern nur davon, wie viel die Kurve zur Fahrtrichtungsänderung beiträgt. Da Taddeus Punkt über die gesamte Strecke seine Fahrtrichtung um 360° ändert, ist der äußere Schienenstrang der ringförmigen Modelleisenbahnstrecke immer 2Pi * h länger, als der innere Schienenstrang.

Leider hat der innere Schienenstrang keine Ecken, es sei denn, es gäbe ein Kurvenstück, bei dem die innere Schiene ein einziger Punkt wäre. Dieser Punkt ist dann der Mittelpunkt des Kreisbogens der äußeren Schiene. Steckt man an so eine Schiene zwei gerade Schienenstücke, dann hat der innere Schienenstrang die gewünschte Ecke. Offenbar gibt es Ecken nur dann, wenn der äußere Schienenstrang maximale Krümmung hat. Taddeus Punkt durchläuft in der 12ten Sekunde einen Kreisbogen mit maximaler Krümmung von 4°/LE. Macht man aus solchen Kurvenstücken einen Kreis, dann muss der äußere Schienenstrang 360°/(4°/LE) = 90LE lang sein. Die innere Schiene ist ein einziger Punkt und hat eine Länge von 0. D.h. die äußere Schiene ist 90LE länger als die innere. Und wegen der Erkenntnis von oben, wird bei jeder Modellbahnstrecke mit Spurweite h der innere Schienenstrang um 90LE kürzer sein, als der äußere. Sollte es also überhaupt eine Umfahrung mit den genannten Daten geben, dann hat die umfahren Figur F einen Umfang von 500LE-90LE = 410LE.

Man kann sehr einfach zur Vervollständigung der Lösung eine passende Linienführung L finden, wenn man dafür sorgt, dass es zwei parallele gerade Gleise gibt. Das erreicht man beispielsweise wenn man Taddeus Punkt in jeder Sekunde in der die Krümmung von 0 verschieden ist, seine Fahrtrichtung um 60° ändert. Oder wenn in der achten, neunten und zehnten Sekunde in jeder dieser drei Sekunden die Fahrtrichtung um 30° geändert wird und in sowohl in der vierten und sechsten als auch der zwölften Sekunde die Fahrtrichtung um 90° geändert wird. Natürlich gibt es noch viele weitere Formen für L.

@Musagetes,
Deine Lösung ist richtig und ein Spezialfall der Musterlösung. Das Rätsel war durchaus so gedacht, dass man anhand eines speziellen Falles für die Linienführung die richtige Lösung findet. Bei der Wahl deiner Winkel ist es allerdings nicht ganz einfach, geeignete Längen für die geraden Linien zwischen den Kurven zu finden, da es keine zwei geraden Linienabschnitte von L gibt, die zueinander parallel sind.