Die Rückkehr zum Schwerpunkt

[Otmar]

Vom Schwerpunkt eines Dreiecks wird ein Lichtstrahl gesendet der erst an Seite a danach an Seite b und schließlich an Seite c gespiegelt wird und von dort zum Schwerpunkt zurückkehren soll. Ob das möglich ist und wenn ja, wie der Strahl verläuft, soll geometrisch z.B. mit Zirkel und Lineal bestimmt werden. Die verspiegelten Seiten des Dreiecks sind a=5, b=4 und c=6 Zentimeter lang.

... wenn man es richtig anpackt, ist es eigentlich "nur" kniffelig.

Das ist auch bei diesem Rätsel so.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und eine Seitenhalbierende ist die Strecke von einem Eckpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

und

[Otmar]

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Man braucht zur Lösung keinerlei spezielle Mathematik- oder Geometriekenntnisse. Auch hätte ich an Stelle des Schwerpunktes irgendeinen anderen Punkt im Dreieck wählen können, ohne das Rätsel dadurch wesentlich zu verändern. Selbst bei zwei verschiedenen Punkten für Anfang und Ende des Lichtstrahles gibt es keine weiteren Schwierigkeiten, den Verlauf des Strahles zu finden.

Mehr will ich noch nicht verraten, sonst würde ich Euch den Spaß an der Lösung nehmen. Vielleicht noch soviel, ein Blick in den Spiegel könnte, wenn man mal vom eigenen Gesicht absieht, bei der Suche nach der entscheidenen Idee weiterhelfen.

[Otmar]

Das Rätsel ist tatsächlich nicht schwer. Es gibt nichts zum Rechnen und keine aufwändige Konstruktion. Man braucht nur eine einzige gute Idee!

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Am einfachsten könnte man den Weg des Lichtstrahles bestimmen, wenn man eine Schablone vom Dreieck hätte mit einem kleinen Loch im Schwerpunkt. Dann könnte man auf den Zirkel ganz verzichten und braucht auch das Lineal nur für eine einzige Linie.

[Claudi]

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Am einfachsten könnte man den Weg des Lichtstrahles bestimmen, wenn man eine Schablone vom Dreieck hätte mit einem kleinen Loch im Schwerpunkt. Dann könnte man auf den Zirkel ganz verzichten und braucht auch das Lineal nur für eine einzige Linie.

Otmar, diese Aufgabe beschäftigt mich zwischendurch immer wieder, aber ich finde einfach nicht den richtigen Dreh.

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Ich habe mir schon mehrmals Dreiecke aus Papier ausgeschnitten und versucht, sie irgendwie raffiniert zu knicken. Mehr als Knüllpapier ist bis jetzt leider nicht dabei rausgekommen.

Vielleicht könntest Du mir ja noch verraten, welche Linie ich einzeichnen müsste?

[Otmar]

Hallo Claudi,

freut mich, dass eins meiner Reflektionsrätsel noch nicht in Vergessenheit geraten ist.

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In das Dreieck musst du gar keine Linie mehr einzeichen, falls das Loch schon drin ist. Du musst auch nichts knicken. Die Linie wird zum Schluß auf einem (ausreichen großem) Stück Papier gezeichnet, auf dem die Konstuktion gemacht wird.

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Ich hatte das mit dem in den Spiegel schauen schonmal angesprochen. Ich frag mich gerade, was im Kopf meiner kleinen Tochter vorgeht, wenn sie in den Spiegel schaut und da ein lachendes Baby ist. Man sagt ja, dass Babys ihr Spigelbild noch nicht erkennen können. Was denken die dann? Die Lösung des Rätsels hat etwas damit (mit der Welt hinterm Spiegel) zu tun.

[Claudi]

Danke, das werde ich mir durch den Kopf gehen lassen.

[Otmar]

ich finde einfach nicht den richtigen Dreh.

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Du brauchst nicht nur einen "Dreh" sondern drei davon. Und wenn es um die Schablone geht, die Schablone wird nicht in der Zeichenebene gedreht.

[Friedel]

Ich habe mich dann doch mal an die Lösung gemacht. Ich konnte die Aufgabe im Kopf recht schnell lösen, aber mir war klar, dass eine Beschreibung ohne Zeichnung schwierig ist und die Zeichnung Zeit kostet. Die Zeichnung ist nicht besonders genau, aber ich denke man kann die Lösung damit nachvollziehen.

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Schwerpunkt.gif (9.98 KiB) 1579-mal betrachtet

Ich habe zunächst das Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S gezeichnet, wobei a natürlich die Seite ist, die gegenüber von A ist, b ist gegenüber von B und c ist gegenüber von C. Dann habe ich das Dreieck mitsamt dem Schwerpunkt an a gespiegelt, wobei der Punkt S auf S' abgebildet wurde und A auf A'. Dann habe ich das entstandene Dreieck an A'C gespiegelt, wobei S" und B' als Abbildungen von S' und B entstanden sind. Dieses Dreieck habe ich dann an A'B' gespiegelt, wobei S''' und C' entstanden sind.

Dann habe ich S mit S''' verbunden. Die Schnittpunkte mit den Kanten der Dreiecke habe ich D, E und F genannt. Wenn man im ursprünglichen Dreieck vom Punkt S den Punkt D anleuchtet, verläuft der Lichstrahl entlang der roten Linie. Wenn man E an BC spiegelt, entsteht E'. Einfallswinkel und Ausfallwinkel an BC sind gleich. Entsprechend überträgt man dann F entweder indem man den Punkt erst an A'C und dann an BC spiegelt, oder indem man den Abstand zu A' oder C' auf AC überträgt. Dadurch entsteht F'. Der Lichtstrahl geht also von S zu D, dann zu E' und F# wieder zu S.

[Otmar]

Hallo Friedel,
deiner Lösung ist nichts mehr hinzuzufügen.

Mir ging es auch so, dass es am schwierigsten war, eine Zeichnung am PC zu machen. Mit einem echten Zirkel war ich sehr schnell fertig.

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Bei mir sieht es so aus:

dreieck.png (10.67 KiB) 1575-mal betrachtet

Am PC zeichnete ich erst einen türkisen, gelben und roten Kreis, deren Radien sich wie 4:5:6 verhalten. Als Mittelpunkt gab es ein X in der entsprechenden Farbe dazu. Als Zirkelersatz, hatte ich immer einen geeigneten Teil eines dieser Kreise mit Mittelpunkt verschoben. Das erklärt die farbigen X in meiner Grafik.

Ansonsten ist die Lösung, wie bei Friedel. In den gespiegelten Dreiecken hatte ich auf Striche an den Buchstaben a, b, c und S verzichtet, in der Hoffnung, dass man sieht, wie es gemeint ist. Für jede angegebene Reflexion spiegelt man nacheinander immer das zuletzt gezeichnete Dreieck an der Kante, an welcher der Lichtstrahl reflektiert werden soll. Die Spiegelung sorgt dafür, dass der Lichtstrahl geradlinig über die Kante geht, was man sich z.B. mit Hilfe des Reflexionsgesetz klar machen kann. Nach der dritten Spiegelung kann man den Schwerpunkt des ersten Dreiecks (bei mir links unten) mit dem Schwerpunkt des letzten Dreiecks (bei mir oben) verbinden. Wenn dieser nun nacheinander (vom ersten zum letzten Dreieck) die Kante a, dann b und schließlich c schneidet, dann ist die Rückkehr zum Schwerpunkt in der angegebenen Kantenfolge möglich, sonst nicht. Mit den angenommen Zahlen geht der Rundweg und er kann in eines der Dreiecke oder in ein neues (bei mir rechts unten) eingetragen werden indem die Reflexionspunkte aus den gespiegelten Dreiecken abgetragen werden.