Das unfaire Spiel

[gp3050]

Auch dieses Rätsel habe ich vor längerer Zeit einmal gelesen.


Stellen wir uns folgendes vor. Wir werfen eine Münze unendlich mal. Wichtig ist jedoch folgendes. Ihr sucht euch eine Kombination aus, danach suche ich mir eine Kombination aus, die in 3 WÜrfen passieren kann.

Das heißt, ihr würde z.b. Zahl(Z), Wappen(W), W nehmen, ich dann z.b. Z,Z,W

Wir einigen uns gemeinsam darauf, wann wir darauf achten, wann diese folge kommt. D.h. wenn wir das oben genannte Beispiel haben, dann werfen wir solange bis eine von den beiden Folgen kommt.

Ich wette mit euch 5:4. Das heißt, wenn eure Folge zuerst kommt bekommt ihr von mir 5 Euro, kommt meine zuerst bekomme ich 4 Euro. Würdet ihr diese Wette annehmen ??

[Enigmemulo]

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Solange am Anfang Ws kommen, hat keine Folge begonnen, ich starte die Wahrscheinlichkeitsuntersuchung mit dem ersten Z.

Wenn nun ein zweites Z kommt, habe ich verloren, denn egal, wie viele Zs kommen, am Ende steht ein ZZW. Dies passiert mit Wkeit 0,5.

Wenn als zweites ein W kommt, kann ich gewinnen, aber nur, wenn als drittes auch ein W kommt, das passiert mit Wkeit 0,25. Ebenfalls mit Wkeit 0,25 kommt als drittes ein Z, womit das Spiel wieder am Anfang ist. Das letzte Viertel an Wkeit teilt sich nach dem selben System zwischen uns auf: 0,5 für dich, 0,25 für mich und 0,25 für Neuanfang.

Deine Gewinnwkeit ist insgesamt 0,5 + 0,5*0,25 + 0,5*0,25² ... = 0,5*1/0,75 = 2/3
Meine Gewinnwkeit ist insgesamt 0,25 + 0,25*0,25 + 0,25*0,25² ... = 0,25*1/0,75 = 1/3

Nein, ich würde das Spiel nicht annehmen.

[gp3050]

Also Enig

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Dein Ansatz ist zwar gut, und auch gut durchgerechnet, aber leider falsch... Dein Fehler ist, du hast dich auf die beiden genannten Beispiele festgelegt. Was wäre denn, wenn ich statt ZZW WZZ nehmen würde ?. An sich gut gedacht, aber die Chance, eine der 8 Kombinationen zu bekommen liegt immer noch bei 1/8. Die Chance dass du eine von den Kombis bekommst ist immer gleich groß. Damit dürfte klar sein was ich meine.

[Enigmemulo]

Also gp3050

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Was du hier mit der Wkeit 1/8 willst, ist mir absolut nicht klar. Man muss doch die Folgen vor Spielbeginn festlegen und wenn nur zwei Folgen relevant sind, haben die nicht je 1/8.

Aber natürlich habe ich mich nur auf das Beispiel bezogen. Eine allgemeine Lösung müsste beinhalten, dass du zu jeder Folge, die ich wähle, eine andere findest, mit der du besser dastehst (du wählst ja nach mir). Meinst du das?

[gp3050]

Also Enig.

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Ich weiß was du meinst, aber egal wie man es betrachtet, bei 8 Möglichkeiten gibt es immer die selbe Chance dass diese gezogen wird. Und da ist es vollkommen egal, auch wenn nur 2 Folgen relevant sind, so werden diese trotzdem nur zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/8 gezogen. Die Regel dazu ist und bleibt 1/2 * 1/2 * 1/2. Die Frage die jetzt bleibt ist, warum du trotzdem nicht annehmen solltest.

[Enigmemulo]

Tja gq3050

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Was du da beschreibst, ist die Wkeit für eine bestimmte Folge bei dreimaligem Werfen der Münze. Das ist aber nicht das Spiel, das du oben beschrieben hast. Oben sagst du, dass so lange gespielt wird, bis eine der beiden Folgen gekommen ist. Es gibt also nur zwei Ergebnisse im Spiel und die müssen zusammen Wkeit 1 haben.

[gp3050]

Also, da ich keine AHnung habe, wie ich es hier weiter erklären soll, schreib ich hier einfach mal die Lösung rein wie ich sie gefunden habe :

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"Es stimmt dass die Wahrscheinlichkeit für alle 8 kombinationen gleich ist, aber mit der Wahrscheinlichkeit wann diese gezogen wird, sieht es ganz anders aus" Oben stehen die 8 Kombinationen die du nehmen kannst mit der Gewinnchance, unten meine, welche ich nehmen müsste um eher gezogen zu werden

Hier die Gewinnchancen : Deine Wahl : KKK 1/8;KKZ 1/4;KZK 1/3;KZZ 2/3;ZKK 1/3;ZKZ 1/3;ZKK 1/4;ZZZ 1/8
Meine Wahl : ZKK 7/8;ZKK 3/4;KKZ 2/3;KKZ 2/3;ZKK 2/3;ZZK 2/3;KZZ 3/4;KZZ 7/8

Hoffe das war jetzt verständlich.

[Enigmemulo]

Das ist das, was ich am 23. September geschrieben habe.

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In meiner ursprünglichen Berechnung habe ich nur das Beispiel ich ZKK 1/3 du ZZK 2/3 durchgerechnet, das so auch in der Liste steht. Am 23.9. habe ich geschrieben, dass eine allgemeine Lösung auch die anderen 7 Kombinationen beinhalten müsste. Das hast du jetzt geliefert.

Du musst jetzt nur noch die falsche Wkeit 1/8 rausschmeißen, die sich auf ein Spiel bezieht, das wir hier nicht spielen. Nur weil du die Lösung irgendwo gefunden hast, heißt das ja nicht, dass sie richtig ist. Und die Liste in deiner Lösung zeigt doch auch, dass 1/8 Quatsch ist!

[Otmar]

Kleiner Tippfehler:

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Deine Wahl : .... KZZ 2/3 ....

muss heißen:
Deine Wahl : .... KZZ 1/3 ....

Sonst würde ich das Spiel annehmen

Finde die Lösung von Enigmemulo sehr schön, obwohl sie nur für einen der 8 Fälle war. Ich stell mal eine Möglichkeit ein, wie man die Gewinnwahrscheinlichkeit für zwei vorgegeben Sequenzen berechnen kann. Damit kann man oben genannte Wahrscheinlichkeiten nachrechnen. Falls sich jemand auch für andere Fälle oder andere Varianten des Rätsels, z.B mit Würfeln anstelle von Münzen oder mit mehr als 3 Würfen in der Gewinnersequenz interessiert, kann das Verfahren dafür angepasst werden.

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Man definiert vier Ereignisse für die letzten beiden aufeinanderfolgenden Würfe:
A = (W, W)
B = (W, Z)
C = (Z, W)
D = (Z, Z)
Unter der Voraussetzung, dass noch mindestens ein Wurf zur Spielentscheidung nötig ist, fragt man nach den bedingten Wahrscheinlichkeiten für den eigenen Sieg (Ereignis S) unter der Bedingung A, B, C oder D. Ich nenne diese bedingten Wahrscheinlichkeiten
P(S|A) = a
P(S|B) = b
P(S|C) = c
P(S|D) = d
Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten sind die Summe 0.5 * x + 0.5 * y wobei der erste Summand für den nächste Wurf = W und der zweite Summand für den nächsten Wurf = Z steht. Wenn nach Wurf W bzw. Z das Spiel entschieden ist, ist x bzw. y gleich 1, falls ich gewonnen habe oder 0 falls mein Gegner gewonnen hat. Ist das Spiel immer noch nicht entschieden ist x bzw. y eine der vier bedingten Wahrscheinlichkeiten. D.h. es ergibt sich für a, b, c und d ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und den vier Unbekannten a, b, c, und d. Löst man dieses Gleichungssystem, dann erhält man a, b, c und d. Da nach den ersten zwei Würfen das Spiel unentschieden ist und die Ereignisse A, B, C und D jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/4 auftreten, ist meine Gewinnwahrscheinlichkeit P(S) = (a+b+c+d)/4.

[Myrlin]

Moin.

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Der Münzwurf generiert eine 50% Wahrscheinlichkeit.
Diese in Folge eine für beide geltende halbierung, wobei die Chancen immer gleich sind.
Da gibt es keine Tricks.
Jetzt kommt aber ein unterschiedlicher Gewinn hinzu.
Zu meinem Vorteil von 25%.
Laut Wahrscheinlichkeit würden beide Folgen gleich oft fallen und mein Gewinn dadurch grösser sein als deiner.
Also ...... wenn ich dich nicht leiden könnte, würde ich mit dir Spielen und umgekehrt.