Das Schwimmbecken

[Otmar]

Ein Mathematiker hat auf seinem Grundstück ein quaderförmiges Schwimmbecken errichtet. Länge und Breite und die Wasserhöhe sind, in Metern gemessen, Primzahlen. Den Betonboden hat der Mathematiker mit einem Mosaik verziert. Das Mosaik hat die Form eines unregelmäßigen konvexen Vieleckes und alle Diagonalen des Vielecks teilen die Mosaikfläche in Mosaiksteine. Der Mathematiker hat die Ecken des Vielecks so angeordnet, dass möglichst viele Mosaiksteine entstanden sind. Für jeden Diagonalen-Schnittpunkt innerhalb des Mosaiks (Schnittpunkte an den Ecken zählen nicht mit) hat der Mathematiker 1000 Liter Wasser eingelassen. Wie viel Wasser ist im Schwimmbecken, wenn das Wasservolumen bezüglich aller gemachten Angaben maximal ist?

[Friedel]

Das ist eine harte Nuss, und ich hätte sie wohl nicht gelöst, wenn ich nicht gerade eine Maßnahme vom Jobcenter machen würde und dadurch Zeit für sowas habe.

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Zuerst habe ich mir Gedanken darüber gemacht, wie viele Diagonalen es in einem Vieleck gibt. Das war noch relativ einfach. Von jeder Ecke gibt es eine Diagonale zu jeder anderen Ecke, außer zu den beiden Nachbarecken. In einem n-Eck gibt es in jeder Ecke also n-3 Diagonalen. Da jede Diagonale durch 2 Ecken geht, gibt es also n*(n-3)/2 Diagonalen.

Im nächsten Schritt habe ich mir überlegt, wie viele Diagonalenschnittpunkte es (maximal) geben kann. Das hat mich etwa 3 Stunden gekostet und ich glaube nicht, dass ich das hier so beschreiben kann, dass man es versteht. Jedenfalls gibt es in einem n-Eck maximal n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24 Ecken.

Das Wasservolumen in Kubikmetern entspricht ja der Zahl der Diagonalenschnittpunkte. Die Formel für die Schnittpunkte enthält im Zähler 4 Faktoren. Das Wasservolumen ergibt sich aber auch Länge * Breite * Höhe, die jeweils Primzahlen sind. Durch den Nenner der Schnittpunktgleichung müssen also so viele Primfaktoren herausgekürzt werden, dass noch 3 übrig bleiben.

Da die 4 Zahlen im Nenner der Formel aufeinanderfolgende Zahlen sind, können diese Zahlen höchsten 27, 26, 25 und 24 sein. Bei diesen Zahlen kürzt sich die 24 gegen den Nenner heraus. Ich brauche also "nur" die Schnittpunktzahlen der Vielecke bis 27 Ecken zu berechnen und zu untersuchen, ob sie 3 Primfaktoren haben. Das ist

• beim 8-Eck mit 70 = 2*5*7 Diagonalenschnittpunkten,
• beim 13-Eck mit 715 = 5*11*13 Diagonalenschnittpunkten und
• beim 14-Eck mit 1001 = 7*11*13 Diagonalenschnittpunkten

der Fall.

Das maximale Wasservolumen ist also 1001 m³. Das Schwimmbecken ist 7 m * 11 m * 13 m groß.

[Neuling]

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Es war für mich kein Problem die Anzahl der Diagonalen in einem unregelmäßigen konvexen n-Eck zu bestimmen.
---> (n * (n - 3) / 2)

Schwieriger war es, die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen zu errechnen.
---> (n über 4)

Das Ergebnis von n über 4 muss ein Produkt aus 3 Primzahlen sein, um die Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen.
Habe nacheinander die Werte für 5-Eck, 6-Eck, 7-Eck, ... berechnet.

Die nachfolgenden Vielecke erfüllen die Bedingung mit den 3 Primzahlen.

Ein 8-Eck hat 20 Diagonalen und 8*7*6*5/1*2*3*4 = 7*2*5 = 70 Schnittpunkte.
Ein 13-Eck hat 65 Diagonalen und 13*12*11*10/1*2*3*4 = 13*11*5 = 715 Schnittpunkte.
Ein 14-Eck hat 77 Diagonalen und 14*13*12*11/1*2*3*4 = 7*13*11 = 1001 Schnittpunkte.

Im letzten Fall sind im Schwimmbecken dann 1001m³ Wasser.

Einen richtigen Beweis, dass dies die maximale Möglichkeit ist, kann ich nicht erbringen. Habe noch die beiden nächsten Vielecke betrachtet. Da kürzt sich dann immer weniger weg. Von den 4 aufeinanderfolgenden Zahlen im Zähler, ist eine durch 4, eine durch 3 und eine durch 2 teilbar. Wenn nach dem Kürzen im Zähler noch 4 Zahlen stehenbleiben, kann es kein Produkt aus 3 Primzahlen mehr ergeben.

[Friedel]

Das letzte Wort im zweiten Absatz meiner Lösung im Spoiler muss natürlich "Diagonalenschnittpunkte" heißen, nicht "Ecken".

[Musagetes]

Hallo Otmar,

kurz vor Torschluss möchte ich auch noch eine Lösung abgeben.

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Denke es ist ein Achteck daraus folgt

Formel der Schnittpunkte n!/(n-4)!/4!

Denach sind es 70 Schnittpunkte mal 1000l, sind also 70000l bzw. 70m³.

70m³ lässt sich genau in die drei Primfaktoren 2m, 5m und 7m zerlegen, was die Kantenlängen des Pools entspricht.

Grüße an Alle
Musagetes

[Otmar]

Herzlichen Glückwunsch an Friedel und Neuling. Ihr habt die richtige Lösung gefunden! Musagetes war kurz vorm Ziel und hat die wassersparende Möglichkeit gefunden.

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Da der Mathematiker möglichst viele Mosaiksteine durch die Lage der Eckpunkte erzeugt hat, werden sich nicht mehr als zwei Diagonalen in einem Punkt schneiden, denn sonst könnte er durch geringfügige Verschiebung von Eckpunkten in der Nähe eines Punktes, in dem sich mehr als 2 Diagonalen treffen, weitere Flächen erzeugen.

D.h. jeder Diagonalenschnittpunkt gehört zu genau zwei Diagonalen. Diese beiden Diagonalen haben offenbar keinen Eckpunkt des Vielecks gemeinsam. Also gehören zu so einem Schnittpunkt genau 4 Eckpunkte des n-Ecks. Andererseits gehört zu einer beliebigen Wahl von 4 Eckpunkten des konvexen n-Ecks genau ein konvexes Viereck. Die Kanten dieses Vierecks sind Diagonalen des n-Ecks, die sich nicht schneiden oder Kanten des n-Ecks. Die beiden Diagonalen dieses Vierecks sind auch Diagonalen des n-Ecks und die liefern genau einen der gesuchten Diagonalenschnittpunkte. D.h. die Anzahl A der Diagonalenschnittpunkte ist bei so einem n-Eck weder größer noch kleiner als die Anzahl der Möglichkeiten vier Ecken aus n Ecken ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Und das ist A=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/4!. A ist nun auch das Produkt dreier Primzahlen. Im Produkt n*(n-1)*(n-2)*(n-3) sind vier Faktoren enthalten von denen zwei gerade sind. Nehmen wir n>=6 an, dann sind die beiden geraden Faktoren größer als 2 und damit zusammengesetzte Zahlen. Nun dürfen nach dem Kürzen mit 4! nur noch drei Primzahlen übrig bleiben. Dazu ist einer der vier Faktoren komplett zu kürzen und die anderen so weit, dass insgesamt nur noch drei Primzahlen verbleiben. D.h. nachdem ein Faktor komplett gekürzt wurde, ist wenigstens einer der beiden zusammengesetzten geraden Faktoren noch übrig und auch noch zu kürzen. D.h. der komplett zu kürzende Faktor kann höchstens 12 sein. D.h. n <= 15. Für n = 15 erhält man A = 3 * 5 * 7 * 13, also ein Produkt aus vier Primzahlen aber schon für n=14 klappt es, denn dann ist A = 7 * 11 * 13. Damit ist die Annahme n >= 6 erfüllt und das größtmögliche Volumen V = 1000 Liter * A = 1001000 Liter gefunden.

[Neuling]

Kleine, unwesentliche Ergänzung:

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Das Schwimmbecken ist 7 m * 11 m * 13 m groß.

... lässt sich genau in die drei Primfaktoren 2m, 5m und 7m zerlegen, was die Kantenlängen des Pools entspricht.

Das kann man so nicht sagen. Otmar hat von der Wasserhöhe im Becken gesprochen. Lässt er das Becken randvoll befüllen, dann habt ihr mit den gemachten Aussagen Recht. Anderenfalls können wir zur Höhe des Beckens keine Aussage treffen.
Auch eine genaue Zuordnung der drei Primzahlen zu Länge, Breite und Wasserhöhe bleibt offen.

[Musagetes]

Hi Neuling!

„....unwesentliche Ergänzung“

Nein, stell dir vor Otmar hätte eine Aufgabe über einem Staudamm gestellt und
ich wäre der Architekt des Staudammes gewesen. Katastrophal!!!!

Aber zum Glück machen wir hier nur Trockenübungen!

„Habe nacheinander die Werte für 5-Eck, 6-Eck, 7-Eck, ... berechnet.“

Diese Zeit hatte ich leider nicht, war froh, dass ich noch eine Lösung gefunden habe und
zwei Minuten vor der Spoileröffnung einstellen konnte.


Liebe Grüße und viel Spaß bei den Trockenübungen!
Musagetes

[Friedel]

Jetzt muss ich mich auch nochmal melden.

Die Erklärung der Schnittpunktformel von Otmar gefällt mir sehr gut. Sie ist vor allem verständlich. Bekanntlich führen viele Wege nach Rom (bzw. Grootfontein) und mein Weg zu dieser Formel war sehr viel komplizierter.

Außerdem hat Otmar eine sehr viel kleiner Obere Schranke für die Zahl der Ecken des Mosaiks angegeben als ich. Eine so niedrige Schranke hätte mir viel Arbeit erspart.

Die Aufgabe hat mir sehr gut gefallen, obwohl sie deutlich mehr Zeit erfordert, als ich normalerweise für sowas opfern kann.

Kleine, unwesentliche Ergänzung:
... Das kann man so nicht sagen. Otmar hat von der Wasserhöhe im Becken gesprochen. Lässt er das Becken randvoll befüllen, dann habt ihr mit den gemachten Aussagen Recht. Anderenfalls können wir zur Höhe des Beckens keine Aussage treffen.
Auch eine genaue Zuordnung der drei Primzahlen zu Länge, Breite und Wasserhöhe bleibt offen.

Otmar hat geschrieben, dass das ein Mathematiker ist! Ein Mathematiker errichtet ein Schwimmbecken aus Wasser, in diesem Fall aus einem Quader aus Wasser. Dass man um diesen Quader Wände für den Beckenrand braucht, ist ein technisches Problem. Damit befasst sich ein Mathematiker nicht. Ob da eine Mauer drum ist und wenn ja, wie hoch sie ist, ist aus Sicht eines Mathematikers irrelevant. Ich vermute, der Mathematiker hat sein Schwimmbecken praktischerweise in einem vorhandenen, leeren Swimmingpool errichtet... Aber das hat mit dieser Aufgabe nichts zu tun.

[Otmar]

@Friedel, freut mich dass dir das Rätsel gefallen hat und danke für die gute Kritik!

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Über den Quader hab ich mir tatsächlich wenig Gedanken gemacht. Aber Friedel könnte recht haben, denn jeder normale Mensch fragt sich doch, wie tief das Wasser in einem Schwimmbecken ist, also nach der Wassertiefe und nicht nach der Wasserhöhe. Wasserhöhe wird eher bei hohen Flusspegeln verwendet wird.