Das lukrative Geschäft

[Otmar]

Eine Gruppe von Geschäftsleuten möchte ein lukratives Geschäft machen. Leider stellt sich heraus, dass ihr gesamtes Vermögen nicht reicht.
Der reichste Geschäftsmann sagt: "Hätte ich doppelt so viel, wie ich habe, würde unser Vermögen genau reichen."
Der zweitreichste sagt: "Hätte ich drei mal so viel, wie ich habe, würde unser Vermögen genau reichen."
Der drittreichste sagt: "Hätte ich vier mal so viel, wie ich habe, würde unser Vermögen genau reichen."
Und so weiter bis zum ärmsten Geschäftsmann.

Ferner ist bekannt, dass ihr gesamtes Vermögen für das lukrative Geschäft gereicht hätte, wenn es
a) 50%
b) 30%
c) 5%
d) 1%
größer gewesen wäre.

Wie viele Geschäftsleute sind in den Fällen a bis d mindestens in der Gruppe?

Hinweis: Die Fälle a und b können gut mit einem Taschenrechner gelöst werden. Aber für die Fälle c und d muss ich entweder wiki oder google empfehlen und für c wäre auch ein kleines sehr einfaches Progi möglich. Natürlich sind auch alle anderen Ansätze willkommen.

[Kolabord]

Ich glaube ich weiß es:

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Das benötigte Vermögen sei x und das Gesammtvermögen aller Geschäftsleute von 1 bis n sei: E(n).
Der erste Geschäftsmann hat also ein Vermögen von 1/2 x.
Der zweite Geschäftsmann hat ein Vermögen von (1-1/2)/3 x.
Der nte Geschäftsmann hat also ein Vermögen von (1-E(n))/n x.

Nutzt man diese Formeln bei Excel findet man heraus:
a) 2 Geschäftsleute
b) 3 Geschäftsleute
c) 20 Geschäftsleute
d) 100 Geschäftsleute

[Otmar]

Wollte dir gerade antworten, da war der Nachtrag drin.

Warum kommen mir eigentlich immer nur dann gute Einfälle, wenn ich etwas poste?

Das täuscht, jedenfalls was deine eigenen Rätsel betrifft, denn da hattest du bislang immer sehr gut Einfälle, bevor du sie gepostet hast.

[Kolabord]

Oh tschuldige. Ich habe jetzt den ganzen Post geändert, weil mir der finale Gedankenblitz kam und ich dachte hier hätte eh noch keiner was gelesen .

[Otmar]

Oh, war ich zu schnell. Hab heute meinen freien Tag Aber zur Lösung sag ich frühestens was in 24 Stunden.

[Otmar]

@Kolabord: Wenn der erste Geschäftsmann halb so viel hätte, wie die Gruppe für das lukrative Geschäft braucht, dann hätten die anderen Geschäftsleute ja gar nichts, denn

Der reichste Geschäftsmann sagt: "Hätte ich doppelt so viel, wie ich habe, würde unser Vermögen genau reichen."

D.h. er wäre allein.

[Friedel]

Hallo.

Die Aufgabe hat mir sehr gut gefallen. Allerdings habe ich sie nicht wirklich gelöst. Dass man a) und b) gut mit einem Taschenrechner lösen kann, mag sein. Ich hatte keinen Taschenrechner und habe meine Lösung statt dessen hier in den Sand geschrieben. Ich wusste nicht mehr, wie viel Prozent der nötigen Summe die Geschäftsleute in den einzelnen Teilaufgaben hatten und habe deshalb einfach mal berechnet, wie das Geld bei welcher Anzahl Geschäftsleute verteilt ist.

Wenn die Gruppe nur 1 Geschäftsmann besteht, gilt 2a = x, wobei a das Vermögen des ersten Geschäftsmannes ist und x der Betrag, der für das Geschäft nötig ist. Die Geschäftsleute haben dann also 50% der nötigen Summe. Sie bräuchten also 100% mehr.

Wenn die Gruppe aus 2 Geschäftsleuten besteht, gilt folgendes:
(Das Vermögen des ersten Geschäftsmannes ist wieder a, das Vermögen des zweiten Geschäftsmannes ist b, das Vermögen des dritten Geschäftsmannes ist c, usw.)

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①           2a + b = x;
②           a + 3b = x;
③=①-②      a - 2b = 0;
③           a = 2b;
④=③in①     2(2b) + b = x;
④           5b = x;
5*①        10a + 5b = 5x;
⑤=④in①    10a + x = 5x;
⑤         10a = 4x;

Der erste Geschäftsmann hat also 40% der nötigen Summe, der zweite hat 20%. Zusammen haben sie 60%, sie müssten also 40/60 = ⅔ ≈ 67% mehr haben, damit es reicht.

Bei drei Geschäftsleuten kommt man schnell auf die Vermögensverteilung a = 2b = 3c. Dabei gilt
a = 6x/17;
b = 3x/17;
c = 2x/17.
Die drei haben zusammen also 11/17 des nötigen Betrages und damit weniger als ⅔. 50% mehr reicht also noch nicht.

Meine weiteren Überlegungen möchte ich hier nicht wiedergeben. Obwohl ich etwa 1,5 Morgen des Sandstandes vollgeschrieben habe, kann man das leider in Google Maps nicht nachlesen. Zum einen sind die Luftbilder älter als meine Berechnungen, zum anderen reicht der Zoom nicht. Jedenfalls haben mich meine Kinder irgendwann daran gehindert, weiter zu machen. Angeblich soll der Bau einer Wasserburg wichtiger sein und außerdem habe ich die ganze Zeit mit dem Rücken zum Wasser geschrieben, sodass ich auf der einen Seite schon einen starken Sonnenbrand hatte.

[Otmar]

habe deshalb einfach mal berechnet, wie das Geld bei welcher Anzahl Geschäftsleute verteilt ist.

Das geht in die richtige Richtung. Allerdings ist ein Gleichungssystem nur für Fall a und mit Computerhilfe sicher auch für b geeignet, aber bei c und ganz sicher bei d kann ein Computer nur noch begrenzt helfen. Die Relationen zwischen a, b und c passen und auch alle anderen Ergebnisse. Die Berechnung müsste noch vereinfacht werden, so dass eine relativ direkte Verbindung zwischen der Anzahl der Geschäftsleute und des Prozentsatzes des fehlenden Vermögens ein Weiterkommen auch für die Fälle c und d ermöglicht.

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Es könnte helfen, anstelle des nötigen Vermögens für das lukrative Geschäft den Betrag des fehlenden Vermögens und den Betrag des vorhandenen Vermögens aller Geschäftsleute ins Zentrum der Betrachtung zu stellen.

[Kolabord]

Ich hätte da einen Ansatz im Angebot:

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Investmentplan.gif (15.18 KiB) 1089-mal betrachtet

In die Formel unten müsste man, wenn ich richtig gerechnet habe, nur noch die Zahlen einsetzen. Das mache ich aber nicht jetzt, um zumindest kurz glauben zu können, meine Lösung sei richtig.

[Otmar]

Hallo Kolabord,

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Leider gelten die Anfangsbeziehungen nicht so, wie du sie aufgestellt hast. Z.B. ist Gn nicht dV/(n+1) sondern Gn = dV/n. Das siehst du z.B. am Fall, wenn n=1 ist, es also nur einen einzigen Geschäftsmann gibt. Oder wenn der Fünfte sagt: "Hätte ich sechs mal so viel....", dann ist "ein mal" ja im vorhandenen Vermögen und "fünf mal" fehlt.

Aber im Prinzip geht deine Lösung schon in die Richtung, die du eingeschlagen hast. Erst kümmert man sich um alle einzelnen Vermögen bzw. um ihre Relation zum fehlenden Vermögen und dann kommt das vorhandene Vernögen oder die Relation des vorhandenen Vermögens zum fehlenden Vermögen.

Bei dir hab ich weiter unten eine arithmetrische Folge und ihre Summenformel gesehen. Diese Folge kommt in der Lösung nicht vor, aber dafür eine ähnlich bekannte Folge, die keine Summenformel hat und etwas musikalisch klingt. Das war schon ein Tipp, aber ist ja alles im Spoiler.