Das Dorf Infinity

[black]

Im Dorf "Infinity" gibt es unendlich viele Häuser. Jedes dieser Häuser hat eine natürliche Zahl als Hausnummer (1,2,3,...)
In jedem der Häuser stehen unendlich viele Kühlschränke, die sich wiederum jeweils mit natürlichen Zahlen durchnummerieren lassen (KS1, KS2, KS3,...).
Da alle Kühlschränke nur dazu dienen, Hühnereier zu kühlen, besitzen sie jeweils 5 große Eierfächer.
Jedes dieser Eierfächer hat unendlich viele Mulden, die sich wiederum jeweils mit natürlichen Zahlen durchnummerieren lassen (M1, M2, M3,...).
In jede Mulde passt ein Ei.

Als nun alle dieser Eiermulden des Dorfes mit einem Hühnerei belegt sind, geschieht die Tragödie: Huhn Erna legt noch ein Ei.

Panik bricht aus. Aber glücklicherweise haben die Dorfbewohner vom Rätselforum gehört.

1) Lässt sich das Ei noch unterbringen?

Aber da ein Ei für euch nur leichte Kost wäre, gleich noch die Frage:

2) Wie viele jener Kühlschränke braucht man insgesamt mindestens, um alle nun vorhandenen Eier unterzubringen?

Bitte mit Begründung, die Dorfbewohner sind sehr skeptisch.

[spargeltarzan]

Auch wenn ich mich jetzt zum Horst mache (naja einer muss es ja tun )

Mehr ->

unendlich ist doch unendlich, oder?
dann müsste für dieses Ei ja auch noch ein Platz sein...

und bei unendlich vielen Mulden würde für alle Eier ein Kühlschrank reichen...

Aber wahrscheinlich liegt meine Lösung zu nahe, oder besser zu weit weg, um zu stimmen

[black]

Mehr ->

Auch wenn ich mich jetzt zum Horst mache (naja einer muss es ja tun )

Du machst dich mitnichten zum Horst und darfst dich daher weiter Spargeltarzan nennen.

unendlich ist doch unendlich, oder?

Das stimmt so allgemein nicht. (Kann ich ja nach der Lsg. noch mal begründen.)

dann müsste für dieses Ei ja auch noch ein Platz sein...

und bei unendlich vielen Mulden würde für alle Eier ein Kühlschrank reichen...

Schlag doch mal ein Vorgehen/Algorithmus vor, mit dem du sicher alle Eier in einen Kühlschrank bekommst.

[Cujo]

Mehr ->

Schlag doch mal ein Vorgehen/Algorithmus vor, mit dem du sicher alle Eier in einen Kühlschrank bekommst.

Mehr ->

Vorausgesetzt, ich hätte unendlich viel Zeit, würde ich einfach immer nur ein Ei in den Kühlschrank legen und wenn ich das verbraucht hätte, würde ich das nächste hineinlegen

[black]

Mir fiel grad ein Bespiel mit einer anderen Art der Unendlichkeit ein, das ich nur mal als Kontrast poste:

Im Dorf "New Infinity" stehen unendlich viele Häuser. In jedem Haus ist für jeden Tag von heute bis in alle Ewigkeit jeweils ein Kühlschrank zu finden (Datum steht jeweils drauf). Jeder der Kühlschränke enthält genau ein Eierfach mit unendlich vielen Mulden (M1, M2, M3, ...). Aber nicht in jeder Mulde muss ein Ei liegen.

Eine unendliche Anzahl von Eiern ist so klever auf alle Kühlschränke verteilt, dass einem Besucher des Dorfes der (nach der Verteilung der Eier) eine beliebige (ggf. unendliche) Folge* natürlicher Zahlen (oder 0) nennt, an ein Haus verwiesen werden kann, in dessen Kühlschränken für jeden Tag genau die passende Anzahl von Eiern enthalten ist.

* Anzahl der Eier, die er heute, morgen, übermorgen usw. essen will

Hier würde einer der Kühlschränke sicher nicht für alle Eier genügen.

[Musagetes]

Hi Black,

ich möchte bei diesem mathematisch/philosophischen Problem der Zahlentheorie auch ein paar Gedanken da lassen.

Mehr ->

Bei dem „Dorf New Infinity“ sehe ich das auch so, da in unendlich vielen Häusern genau so viele Kühlschränke mit vor definierten unterschiedlichen Mengen belegt sind.

Diese einzelnen Mengen weisen alle reellen Anzahlen von Eiern in Abhängigkeit von der Anzahl der Tage bis in die Ewigkeit auf.
Also, 1. Menge für den 1. Tag ein Ei; 2. Menge für den 2. Tag zwei Eier .....und sofort bis ins Unendliche (Unendliche =Inf.)

Wenn man das mathematisch erfasst, ergibt die Gesamtheit aller Häuser- bzw. Kühlschrankmengen (n) folgende Eier-Summe.(S)

S = 1Ei + 2Eier + 3Eier + 4Eier + 5Eier..... + n-Eier ==>

S = n/2 x (n +1) ==> S = (n^2 + n)/2

Wenn (n) unendlich (Inf.) ist:
S = (Inf.^2 + Inf.)/2

Dieses Beispiel verdeutlicht, zum einen, dass hier mehrere Kühlschränke benötigt werden und dass hier kein einzelnes Ei mehr hinten angefügt oder auch vorangestellt werden kann.
Da die nächst größere Menge schon wieder (Inf. + 1) groß wäre.

Im Gegensatz zum „Dorf Infinity“, hier liegt keine Reihung einzelner unterschiedlicher Mengen vor und somit können Vielfache von einzelnen Eiern je in die Mulden (Inf. + 1) eines Kühlschrankes oder gar unendlich viele Mengen hinzu bzw. eingefügt werden.

Die zweite Frage ist wohl bewusst etwas zweideutig (insgesamt mindestens) gestellt.

Wie oben erläutert, würde ein Kühlschrank ausreichen um alle Eier und auch das von Huhn Erna,
vollkommen unterzuibringen.

Ich hoffe, ich bin nicht zu stark ins philosophische abgeschweift, sodass Ihr meinen Ausführungen folgen konntet.

Gruß
Musagetes

[Shorty]

Hi Black

Mehr ->

Bei unendlich vielen Mulden, sehe ich kein Problem alle Eier unterzubringen.

Aber trotzdem kann man Platz für ein weiteres Ei schaffen indem wir das Ei von M1 in M2 legen, das Ei von M2 in M3 legen, das Ei von M3 in M4, usw.
Danach wird für das Ei von Erna die Mulde 1 frei.

Zur 2. Frage
Ich hätte auch spontan gesagt, dass ein Kühlschrank reichen würde, weil unendlich viele Mulden in ihm vorhanden sind.

[black]

@Musagetes:

Mehr ->

Ich bin noch nicht überzeugt :

Bei dem „Dorf New Infinity“ sehe ich das auch so, da in unendlich vielen Häusern genau so viele Kühlschränke mit vor definierten unterschiedlichen Mengen belegt sind.

"Genau so viele" ist angesichts zweier Unendlichkeiten (unterschiedlichen Typs) mehr als problematisch.

Diese einzelnen Mengen weisen alle reellen Anzahlen von Eiern in Abhängigkeit von der Anzahl der Tage bis in die Ewigkeit auf.
Also, 1. Menge für den 1. Tag ein Ei; 2. Menge für den 2. Tag zwei Eier .....und sofort bis ins Unendliche (Unendliche =Inf.)

Wenn man das mathematisch erfasst, ergibt die Gesamtheit aller Häuser- bzw. Kühlschrankmengen (n) folgende Eier-Summe.(S)

S = 1Ei + 2Eier + 3Eier + 4Eier + 5Eier..... + n-Eier ==>

S = n/2 x (n +1) ==> S = (n^2 + n)/2

Die Eier-Anzahl ist - je nachdem, was man betrachtet - ganzzahlig oder unendlich, nie reell.

Randbemerkung:

Obige Rechnung entspricht ja nur dem einen Haus, zu dem jener Besucher, der jeden Tag ein Ei mehr als am Vortag essen will, geschickt würde.

Wenn (n) unendlich (Inf.) ist:
S = (Inf.^2 + Inf.)/2

Dieses Beispiel verdeutlicht, zum einen, dass hier mehrere Kühlschränke benötigt werden und dass hier kein einzelnes Ei mehr hinten angefügt oder auch vorangestellt werden kann.
Da die nächst größere Menge schon wieder (Inf. + 1) groß wäre.

Unendlich + 1 ist immer noch unendlich.
Auch beim Dorf "New Infinity" ist es kein Problem, Ernas Ei in den vorhandenen Kühlschränken unter zu bringen. Das ist sogar für beliebig (aber endlich) viele Eier und mit einer Nebenbedingung sogar für unendlich viele Eier möglich.

Im Gegensatz zum „Dorf Infinity“, hier liegt keine Reihung einzelner unterschiedlicher Mengen vor und somit können Vielfache von einzelnen Eiern je in die Mulden (Inf. + 1) eines Kühlschrankes oder gar unendlich viele Mengen hinzu bzw. eingefügt werden.

Damit ich nicht falsch verstanden werde: Es geht nur darum (New Infinity), dass einer jener Kühlschränke nie alle Eier fassen kann - nicht darum, dass man dann nicht mehr für jeden Tag einen passenden Kühlschrank hat.

Die zweite Frage ist wohl bewusst etwas zweideutig (insgesamt mindestens) gestellt.

Wie oben erläutert, würde ein Kühlschrank ausreichen um alle Eier und auch das von Huhn Erna,
vollkommen unterzuibringen.

Wo wurde das erläutert? Stand da nicht nur eine Behauptung, die noch gezeigt werden müsste?

[black]

@Shorty:

Der von dir genannte Algorithmus löst Frage 1).
Beim Dorf "New Infinity" ...

Mehr ->

... geht man einfach zu dem Haus, bei dem in jedem der Kühlschränke genau ein Ei liegt, und wendet die Idee analog an.

Ein ähnlicher Algorithmus lässt sich auch für Frage 2) finden.
Das Argument "unendlich" allein genügt leider nicht.

(New Infinity ist ein Gegenbeispiel für dieses Argument. Wobei ich die Erklärung dafür bis zu Lösung des Rätsels schuldig bleiben werde. )

[black]

Ein für einen Nachweis zu 2) :

Mehr ->

Es hilft sicher, die Aufgabe in Einzelschritte zu unterteilen. Bspw:

a) Pro Kühlschrank jeweils alle Eier ins erste Eierfach.
b) Pro Haus jeweils alle Eier ins erste Eierfach des ersten Kühlschranks.
c) Alle Eier ins erste Eierfach des ersten Kühlschranks des ersten Hauses.

Hat man für b) oder c) eine Idee, wie dies zu machen ist, kann man diese analog auf alle 3 Schritte anwenden.